Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Это поле представляет собой коническую электромагнитную ударную волну, аналогичную сверхзвуковой ударной волне †.конусу Маха. 471. и=но ехр [-2ечВгЯЗтзс') г ]. 48.1. Для эллиптически поляризованной плоской волны Е=Ео(е+!ц[яе])ехр[!(йг) — ног], й=ов)с, (ев)=0, аФ!. Согласно (48.!), (48.5) и (48.6), дифференциальное сечение равно до=гогЩ[1-1- (ве)г(пг !) Ч пг(во)г](! ! пг) г(! 6 [2вго)(3с)]г) Л=тг')6 — тйг(2+61')(2гг), лег=В!",2 — 140( — г), где В=а(! — г) ', а=4ягут'г'. Уравнения движения имеют вид 2г+ЗХ=Зу')(ти), у+у(1 — г) Всг)а6 ВО( — г), ув(1)сг. График процесса представлен на рис. 14.
51.2. Из уравнений движения В!и)г-ЬИ(с'=(7 — В1, тй=1В!)с — йи 325 полное же сечение совпадает с (48.8). 48.2. Добавляя силу — йг — туот в правую часть (48.4) и повторяя выкладки 6 48, вместо (48.8) получаем о(в) = о~в~ [(в] — оэг) г 4 вгуг ] ', где в) = й)т, у=уо+2вгго)(Зс). Для атмосферы п(в) максимально при вжгооге10'* с ' (слабый ультрафиолет), а плотность потока ] Во(в) ! солнечного света максимальна в зеленой части спектра. Поэтому мошносп рассеянного света Р,(в)=п(в)!Бо(в)! имеет максимум в промежуточной (голубой) области.
Красный цвет заката объясняется тем, что в прямом солнечном свете сильно ослабляется после прохождения атмосферы фиолетовая часть спектра. Отметим, что в реальной атмосфере свет рассеивается на флуктуацнях диэлектрической проницаемости. 50.1. Согласно (50.7) и задаче 30.1, В=(пио)Яас), ~де ш=Мо4ха'(062) магнитный момент шара. 51.1. Обозначая через г координату свободного конца катушки и считая, что разрыв цепи происходит при г=О, имеем находим для скорости стержня и к.п.д. оценки: и < и„= [с(!)(В!Д [1+ АЯс*)(В'!')] -', ц<цо -— тие((2()г)1дл)=г!аеВ!/(2с(!)]г!!+)гг((тио)] '< —.
2 52.1. После скалярного умножения (52.3) на Н н интегрирования по частям с учетом граничных условий находим — — ~ Неду'= — ~ (го! Н)зб~'<О, т. е. дН)д(<0. 2орядГ з Г дг~ 522. Записав (52.!0) в виде 1=Е„ехр( — !вг)Е ', находим импеданс Е=(2яоаб) '(1 — !), откуда Е'"го/аз= — !шит/в=(2хпабв) 54.1.
Полагая в цилиндрических координатах и=и„, для В„и В„согласно (54.5), получим уравнения дВ,(дг< у (Ь вЂ” г ')В„дВ,)дгс а АВ., из которых, как и в задаче 52.1, вытекает, что В„В, затухают с течением времени. Таким образом, при г- ° со [иВ] 0 и (54.5) принимает вид дВ(дг=г„АВ, т. е.
в соответствии с задачей 52.1  — ° 0 при ! оэ. 54 3. В =(и+ го!) гог С, где С удовлетворяет уравнению Гельмгольца (А+ аз) С = О. Согласно (54.23) и (54.5), векторный потенциал А удовлетворяет уравнениям гогАи яА, дА)дг= [иго!А]. Поэтому для его реальных вариаций бА= [иго!А]80 (бАго!А)=0 и вариация магнитной энергии в области Г с границей Я равна 1 Г 1 Г бИ'„= — ~ В (го! бА — пбА)0$'= — ~ бА (го! — аВ)ОК 4я~ Здесь выполнено интегрирование по частям с учетом того, что бА]г=О. Поэтому с учетом (54.23) бИ' =О, т, е, бессиловое поле реализует минимум энергии магнитного поля.
58.1. 1. Согласно (25.1), дипольный момент металлического шарика радиуса а равен р=а'Е, т, е, а=а'. 2. Считая, что в атоме Томсона положительный заряд равномерно распределен по объему шарика радиуса а, находим возвращающую силу, возникающую при смещении электрона: Р= — ге~(а'. Отсюда а=а'. 3. Усредняя по времени и по ориентациям орбиты уравнение движения электрона в атоме т,г'= — е'гг зч-еЕ и полагая (гг ')=а '(г), где а=А'1(т,е') — боровский радиус атома водорода, находим (г) =Еаз)е, т. е. опять а=аз.
Строгий квантовый расчет дает п=9а'(2. 58.2. Подстановка в граничные условия (22.9) потенциала Р(с<В) = — Е'гсоз 9, в(г)Я)=соя 9(С)г' — Ег) дает уравнения Е'=Š— СВ ', Е'=е(Е+2СЯ '), разрешая которые приходим к (58.21). 58.3. Учитывая действие силы Лоренца и центробежный эффект, находим напряженность действующего поля Е'=Е+ (4я(3)Р+нъвг(йлв)(е, где й=еВе1(тс), и поляризованносгь Р=йеЬЕ'=боец [Е+т,вг(йтв)(е](1-4яНа 13) '.
Отсюда р""= — 2Ага,(т,в[е)(в+й)(198кХа„)3) ', Е=2кр' 'гО(а-г), ц'""'= — р" а(2. 59.1. Момент силы Лоренца представим в виде (е(г) [г [гВ]] = [ЙК] + О! е -(- — [ — (г[гВ]], тле й= — еВ((2т,с), К=т, [гг]. При усреднении по быстрым дг~,2с 326 электронным движениям последнее слагаемое исчезает и получается уравнение прецессии момента К с угловой скоростью 12 (теорема Резала): К= [12К]. 59.2. По Лоренцу и Онсагеру, имеем соответственно р=(3+2ч)(3 — ч) р=!3ч+1-1-3(!+2ч/3+чг)пг ]/4, где ч=(4ягс//3) [тог/(/сТ) — Лег(гг)/(2тсг)].
61.1. Пусть Ч(с, г) — отклонение электрона от среднего положения г. Тогда поляризованность равна Р=Х,еЧ и Р=ЕгУ,е'/т,. С учетом кваэннейтральности плазмы имеем рр — — — й!чР=й)чЕ/(4я), т. е, роо-в~рр=О. 61.2. Учитывая, что энергия отдельного электрона равна т,(аз+аз)гг/2, при усреднении получаем й= — (]Есо]'-» ]Ва]') -» — '/у. (со'-»со.')]го]"у(в.)йв., 1бя 4 о что приводится к виду (61.33) в области прозрачности. 61.3. Выражение ]гЕгйГ, пользуясь представлением 8-функции Ь()с — К)= =(2я) г]есв ч/'й)г, запишем в форме — — Ее~Ее(й) Е,(К)ео' 'ч'- 'щ/ — ев "''й'/сйг/сй»'= 2 дй о °, д = — 4гс'Ке Ео(й) Ео(К)ео'"а' "впг — 8()с — К)й'/сй'/с' Лс что после интегрирования по частям сводится к следующему: 4я'г(]Ее()с)]'ехр [2в" (й)с](да/д)с)йг/с. Если в"г п2я, то ехр(2в"с)ге!, поэтому с] /Ео[о(да/дй)йг/с «(с)= г г .
Учитывая, что функция ]Ее()с)] отлична от нуля лишь ] ] Ео ]~й~/с в малой окрестности точки К=Ко, приводам «(с) с помощью теоремы о срелнем к (61.36). 61.4. Согласно результату задачи 39.2 и с учетом сильной локализации функции ]Ее()с)] вблизи й=йо скорость центра масс волнового пакета записьсвается в виде ч= )ч' '] Бй)г=й/сч, где в соответствии с (61.22) и (6!.33) 1сос' , д В= ]Еа(1со)]г, й= — ]Ео(1со)]г — (вге') 8яа(1со) ' !бяа дсо 2)сос гг дв'! Поэтому ч= [с д)с) г=г. дог 62.1.
Е'=Е-»с ' [чВ], В'=В. 63.1. 1. Поляризованность и плотность тока в диэлектрике, движущемся со скоростью ч, имеют вид; йцс(с. г) Р= — ~ е,Ч, (с, г); 1 "" = — ~ е, ' + чр""", где Ч;(с, г) — смешение заряда е, относительно точки г образца, выбранной центром ячейки йК Поскольку йЧ;=Ч;(сьйс, г+чйс) — Ч,(с, г)=йс [д/до+ (тр)]Чь 327 то ]"""=оР1пг+ (чч) Р— чб)ч Р и уравнения Максвелла принимают вид: !д 4к го! В=- — (Е44лР) + — ((чр) Р— чейчР], с гэг с )аВ гогЕ= — — —, йч В=О, с оэг' я — 1/ 1 гйч(Е+4кР)=0, Р= ( Е+ — (чВ] 4к(, с пренебрегая членами порялка оз1сз, получаем уравнение 1 — е оэВ (чр) — =О с решением в виде плоской волны В епю '"', где .з Отсюда, е 1)зВ Л — — — 42 2 оэгз 8=а — и~ 1 — — (вч)( 1 — — ] ~, и= Га, в — единичный вектор.
Фазавав скорость с ~ с (, из)~ волны равна оэ 1 11 о = — — + (ач)( 1 — — у!. п и' 328 2. Если рассмотреть движение отдельного фотона в неподвижном диэлектрике в течение времени Лп то в среднем в течение времени Лби фотон находится в свободном состоянии, двигаясь со скоростью с, все же остальное время он находится в поглощенном состоянии в атомах. Поэтому средняя скорость фотона равна с)п. Если диэлектрик движется со скоростью ч, то время свободного движения фотона в том же направлении равно сЛг/[(с — о)и], длительность же поглощенного состояния останется прежней, т. е.
Лг(1 — 11и). Таким образом, за с Лг 1 с Л! г время ЛТ= — +Лг~! — — ~ фотон пройдет путь Л1= — с+Лг~! — — )о, с — оп (, ит) с-о и и т. е. его средняя скорость равна оо — — Л11ЛТгег)и+о(1 — и '). 69.1. 1'=1о(1 — о'/с') "з(1 — и~/с ) "з(1 — ио/с ) 69.2. В системе Е' ширина отверстия 1о Л вЂ” оз1сз <1о и, казалось бы, стержень ие сможет пройти сквозь него. Но если в системе Х моменты прохождения концов, стержня А и В через отверстие совпадают, то в системе Е' они отличаются на 1оо1сз, т.
е. сначала через отверстие проходит конец В, а затем А. Очевидно, что стержень при этом изогнется. 69.3. Расстояние останется неизменным. Преобразование Лоренца здесь неприменимо, так как начальное и конечное состояния системы, как не отвечающие тождественным объектам, не могут быть им связаны. 70.1. т'=т(1 — о'1с') '"(1 — ио/с~), о=то(1 — и~)с') 70.2. Длв движущихся часов вектор 1 (см. рис. 70.3) переходит в 1'=14яппч(у ' — !) 11о, и для промежутков времени !ы затрачиваемых световым импульсом на прохожление цнлинлра соответственно туда и обратно, получаются уравнения сзгз=оэгзь(1)з-1-2(чр)П Отсюда ! +г м(=2711с, 72.1. Пусть сторона АВ в треугольнике АВС на плоскости Минковского (рис.
15) наибольшая. Проведем через точку С две гиперболы СВ и СЕ с центрами в точках А и В соответственно. Тогда (72.10) вытекает из того, что ]АС]=[АД] и ]СВ]=]ЕВ] по построению. Рис. 16 Рис. 15 73.2. Любой 4-вектор вида с"=и" — )Ь", где ).--некоторый скаляр, является изотропным. Если в некоторой системе отсчета Ье~б, то, взяв ) =а~(Ь~, в той же системе отсчета получим се=О, с'=(се)'=О, т. е. с" ыО, или а"=)Ь". 733. Согласно (19.8), Ж= 2„С~~в=С.+з. .-о 75.1. п(з]=щ(1+азгз(сз) пз, и(т)=с!)з(ат/с).
77.1. Вволя векторы ! и 1', задающие положение неподвижной и движущейся зрительных труб соответственно, с учетом сокращения Лоренца — Фицджеральда имеем Р=1, т(у ' — !)(т1) е з. Из треугольника АОВ (рис. 16) находим соз' и =(т!')заев( з) =(!)'+ 2() в)п Чз+ ап' 5з) (1+ ()'+ 2() яп 5з) '.
Отсюда, полагая (т1) = Ыз(п цг', выводим основное уравнение аберрации з)п 5з' = (Д Ь з!п д) (1 + () з(од) 77.2. Различие в видимом А и истинном В положениях источника обусловлено запаздыванием светового сигнала. Из треугольника АОВ (рис. 17) находим 18 р = ф+ з)п д)/сов Оь Как видно, угол 5з' отличается от угла ез' в (77 8), определяющего в собственной системе источника (в положении А) направление, в котором должен быть испущен световой сигнал, чтобы достичь наблюдателя.
В частности, в примере с двойной звездой, если скорости ее компонент равны е=!)с, то в положении, когда они находятся на линии наблюдения, в соответствии Рис. 17 Рис. !8 329 с (77.8) япсо'= Е]3. Но это вовсе не означает, что видимый угчовой размер звезды должен быть равным 2агсяп]3. Напротив, в этом положении он равен нулю, а под углами ср'= +агсяп]3 должны быть испущены фотоны, чтобы попасть к наблюдатело под углом ср=О (см. рис, 18). 77.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
