Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Послелний интеграл преобразуется интегрированием по частям; — еч" ) ОидУ зещ) хпО(45. (2) Левая часть (1) по второму закону линамики приводится к виду (д/дг) (М)ю Ъ.й((г,), где йг,м и М,г, сУть моменты импУльсов источников и полЯ. ПоэтомУ правая часть (1) должна сводиться к потоку момента импульса поля через окружающую поверхность 5. Но тогла объемный интеграл в (2) лолжсн исчезать. откуда Он =Оп. 13.3. Интегрируя по поверхности 5 тела, находим Ву Вз -— ~п;Озй5= — (пВ) — — В и 45жВ 5 /(8л), где 5е — площадь полюсов магнита.
о г 14.1. Если и — -скорость перемещения провола с током, п,=г,— и-. скорость свободного заряда е, относительно провода, то плотность мощности силы Лоренца равна 1 1 1, 1, ~ е;(г,(г;В))= ~ е;((и(в,В))+(п,(иВ~))м-(иДВД)+-()(вВ))мб. Первое слагаемое, очевидно, характеризует вилимую работу магнитного поля над проводом с током, а второе его невидимую работу по смещению зарядов в проводе, которую можно еще рассматривать как работу вихревого электрического поля Е=г ' (пВ1.
14.2. г(=-()Е'пи) — ди /' дà — д!г Я. 4я ( 17.1. В(г)=4я р(г')г'бг'Ъ вЂ” ~ р(г')(г')здг'. Г о 316 18.2. В сферических координатах (рис. 4) е)гК(/с) 4агз!пЭ р(г, 9)=, Е~ы л (агз!п9 а'+г'+2агз!п9' Так как К(Е) !п(41' »Г) — /с~) при Км!, то вблизи кольца (9 л/2, гма)»рте — (е1(ла))!п(г'/(8а)], где ввелсно расстояние от точки наблюдения до кольца г'=(а +г' — 2ага!пЭ)пз. Если 1с«1, то К(Е) (1-ь~с'(4-ь9(г~(64-ь...) х Х х л1'2, и вдали от кольца (г»а) Рнс. 4 е( а За э 4, 19.4.
Используя (!9.9) и (!9.13), находим Е,=Зег '(5г(а,г)(а,г) — г'(а,(а»г) +а,(аэг) — г(а,а,))). 19.5. Если заряд сосредоточен в цилиндрической области с поперечным сечением 5, то из (19.1) находим »р(г)= — 2) р(г)!и !г — г'(65', где г--лвумерный радиус-вектор. О~сюда по аналогии с (19.6) получаем мультипольное разложение (г>а>г'): »р(г)= — 2 2' — »»ь' ьд, ...д, 1пг, "(-)' „.„ »=о где тензор мультипольного момента равен Дч'"ь=) р(г')х"» ...х'»65' (К=!,2). Очевидным аналогом формулы (19.9) является 9»»(г)=( — !)" '2л~ П (а»Ч) !пг. ;=о 20.1.
Согласно (20.3), вклад элемента г(5эг поверхности двойного слоя в потенциалы 9». справа и слева от слоя равен +2лт(г). если чэ<- вклад всех остальных элементов, то»рг =»р'+2лт(г), откуда и вытекает (20 5). 21аЕ У есть, что вблизи 5' Р'""'=(Р30(э'(г)), М'""'=[М)0( Г(г)), и использовать формулу 0'(х)=8(х). 22.1. Запишем для элемента векторной трубки поля В (рнс. 5) теорему Гаусса: (а, В, ) 65, =(н, В, ) 65,. Вводя главные ралнусы кривизны К, и Аэ поверхности проводника (рнс. 6), имеем; 65» =Я,Лздо»»)ом 65,=(Я,-ьг(1)(Яз-Ь61) да,доз. Поэтому (п,В,) — (в,В,)= — 2Н(п,В,)61, где Н=(ЯЕ'+Яр')12 — средняя кривизна. При 01-»О получаем (22.!2). 22.3. Используем сферические координаты (Э= 0 — направление р). Если диполь ориентирован вдоль или перпендикулярно плоскости раздела, то имеем соответственно: 3!7 7 о, Рис.
б Рис. 5 2рсовЭ,Г г' ) брсов9 1. и= э (( 1' 2)1 (в,+ет)г~(, а')' ' '(в,-Ьв,)а' рсов9/ г '1 3р 2. о,= (1 — — ), г)= — сов9 (1=1, 2). вгз аз ' аз В двумерном случае (цилиндрические координаты): 4рсовц гг г' 1 12рсова 1. гр= в)* гй з (1 1 2) (е +е )г а (в, Ч-е,)а 2рсовигг гт'1 бр 2. р,= 1- —,, ц= —,сова (1=1, 2). 23.1. При смещении заряда е; на вектор Ьг энергия системы И", изменится на е;(ЬгЧ)з~р,/2.
Полученная квадратичная форма знакопеременна, так как сумма диагональных элементов ее матрицы равна е,.йр, / 2 = 0. Поэтому положение равновесия системы зарядов не может быть устойчивым. 23.2. Пусть Е, Р и Е', Р' —.соответственно поля до и после внесения диэлектрического образца.
Из теоремы Гаусса †Остроградско ) Е (Р' — Р)гПг= =О, так как гйт(Р' — Р)=0. Поэтому изменение энергии поля равно И", — И',= = — ~ ((РЕ) — (РЕ)) д~'= — ~(е — е')(ЕЕ)г)г', откуда и следует (23.13). Если в об- 8я ~ 8я~ пасть )ге вносится незаряженный проводник„ то И; — И;=- —,~ (РЕ)бич- —,~ [(РЕ) -(РЕ)) бр, где Г,— область, не занятая проводником.
Применяя теорему Гаусса — Остроградского к области 1', с границей Яо имеем ) Е' (Р' — Р)д(г= ) о'б)т(Р' — Р)г)И†угр'а.(Р' — Р)Ю=О, так как б)ч(Р' — Р)=0 н проводник нейтрален. Поэтому И,-И;= — — ~(РЕ) И вЂ” — ~(Р-Р) (Š— Е)й)«0. 8я~ 8я~ г и 318 23.3. Из (23.8) и (19.13) находим энергию Р взаимодействия двух диполей И", = — (рЕ') = = — 3(ра)(р'а)!а'+ (рр')/а', гле Е'.-напряженность поля липоля р' (рис.
7). С помощью (23.15) находим: 3 р= — „(5а(ра)(р а) — а' [р(р а) -ьр'(ра) — а(рр)]], Рис. 7 1.= [рЕ 3 = 3 [ра!(р а))а' — [рр уаг. 24.1. Построим векторные трубки поля В. соединяющие проводники с потенциалами егг, егг и зарядами До Дг соответственно. По теореме Гаусса, (вВ)65(г)=4кц,г(5г, где цг — поверхностная плотность заряда на первом проводнике.
Поэтому В=4птцг/'(г) и Е=е ' В, что позволяет записать разность потенциалов в виде цгг — егг= [ (Ег)61=4кдг [ (т е"' т)7(г)бб СУммиРУЯ по всем в„ в„ взаимным векторным линиям Вы, находим связанный с ними заряд первого проводника Дгг=[цгбуг=агг(ягг — рг). В случае системы проводников, аналогич- И"[ — И',= — ~ (В'Е')ЬИ; — — ~ [(В'Е') — (ВЕ)~ И; ! Г 8к~ Ьк~ где Ие область, занятая проводниками, а Р'г †диэлектрик. Как и в задаче 23.2, [Е (В' — В)гПг=0, откупа У, И[ — И',= — — ~ (ВЕ')г(ИИ вЂ” ~ к(Е'-Е)'д(г>0.
!Г,, 1Г -8.~ 8к~ 251. ц=92ЕссозЭЯ4к); гр(г<Ь)=ЗХЕегсоа9(а')г — 1)0(г — а); ег(г>Ь)= = — Еегсоа9(1 — (Х[г') [Ь'(а-1) йа'(2ей!)]), где Хм [к92+2(е — 1)аг[Ь'] 252. 9(г<а)=0, сг,= — ЕегсозЭ(! — а /г ), грг= — (аПаг)Еегсох9(1 — а !г'); г) =За,ЕесозЭК4к). 319 но, Дг=аг(ег,— Ягг), озкУда полУчаем соотношение Д,= ~ Да= 2 аа(ег,— Чгг), из га гм которого и вытекает (24.4).
24.3. Дг — -Дг=Д(л-1))(2и — 1), Дз= Д/(2л — !). 24.4. В цилиндрических координатах гр=аа+Ь, где а, Ь вЂ” постоянные. Поэтому емкость равна С=За!п([3)2) [2кб(г(г — А)] ' 1п(г(г[А). 24.5. Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился на Ьй; то изменение энергии поля равно б Иг,= [ЕгЯ8к) ] б 1'= — Д~ЬС/(2Сг). Пгютому ЬС,= — гг'Ь)г [4кЬ'(Ь вЂ” ) ] '; ЬС,=г((ггЧ-Ь) [4(а — Ь)] 24.6. В сферических координатах ег=С,!и!8(9/2) +Сг, где С, г — постоянные. Ь вЂ” аг !8(б/4) ] Поэтому емкость равна С= — 1п 2 ~ гй(а/4) ~ 24.7. Изменение энергии поля при произвольном изменении распределения зарядов в проводниках равно 26.1.
В диэлектрике гр= — (2х/к)1п(г(г') (рис 83 т. е. зффекппно поле оплаегся двумя параллелыыми нитями с зарядами з-я, положешя копцжп (00, =( А=(- Л2 — «2 ) ыподится из (263 Л. Потенцап цилиндра гро — — (Ъо!е) 1п (а/г(), что позволяет вычислить энгр. Иг,= Д цилинлрз к плпжссзи (иа 1 см длины) Е= -ОИАс(= — ига(( Р-аг ) 2).1. Дол)стим, что под действием ъжхт- ричелюго поля в погрншчном слое неппорое Рис. 8 коли кспю электронов Ьдг перешло из обэасчи У,=У в српж 1 в обласп У,=У в среде 2 вьпьюя лоюлыке изменение проницаемости бс-БЛ', т.
е. 6с,= — без<0. Так как поле при эюм совершает )жботу, то ею ягерпнг Ученьшитхзс т.е. [см. (2313)] 8Я5Иг,= — К[бе,У,— Е]безУз=))~[бегНег~ — сз')У<0. Отцова е, >ся Ж1. В шцнилричюоп координпвх иькпзс а) Г=Ь, В=В„=2Е(«1 А=А,= — ЦГ(с))зг б) 2=1„В=В;-(4яф)л(0(а — г), А=А; — Ег(2+0(г — а)2ял(аг((сг). Ю2. В сферичхких коорцинпах Ояк.
4) игисм А А [[2 /сг)К 2Е], (ггм 2(г а 2 4«гяп9 (а~,тяп 9,~ а'-';гз-'г2ггяп9 Виши от тока (lг«12 К [1+(гз/4Ч-%о/б4](я(2ь Е [1 — )гз)4 — 3)соКА](я(2), т. е А= (гяп9 =яа', з „. Вблши от тока Огге1): Еге1, Кж]п(4(' '! — /с' 3 т. е. Аге с(а'-1-гз+2гкяп 9)за (2(/с) [!п(8«г') — 2]. гле у=(аззоэ — 2« яп9)из . -рассчппвп от точки наблгозпния до контура 30.1. Магнитный потенциал имеет вид ф(гжа)= — а'(Ног)г з. 0(г<а)= = — (Ног), гле Но= — 4яМо(р-1-2) =Н(г<а). 302. ф=(юг)/гзз-(шг)Яг)', где ги'= — гп+2п(гпп); и нормаль к стенке; г' -расстояния до магнита и его отражения соответственно.
31.1. Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим контуром С, не может измениться, ибо в сверхпроводнике В=О и линии инлукции не могут пересечь контур. Поэтому справедливо равенство (31.3), откуда Я=О. 31.2. А= [шг]~го э- [шг']((г')з, где ю'=ш — 2п(шп). 31.3. А=А,= — (21И!с)!п(г,Ггг) (рис. 9; г(=( — Пг — а'- ). 31.4. В'"' =80( — ) [Н [1+а ((2г )] — 3г(Н г)а ((2г )), В""'=ИО( — «) [Н (!+ -',а'/г') — 2г(Ног)а~(г ]. 31.5. Применим теорему Стокса к одной из линий индукции С, касающейся, согласно граничному условию (пВ)=0, поверхности сверхпроводника.
Имеем у(Вгй)=уВг)1=)(иго!В) г(5=0, с с я так как поверхность 5 можно расположить вне образца благодаря его односвязности. Отсюда ВжО. 320 и.— и.= — — ~ (вн)би+ ь — ~ [(вн) — (вн)1ди, 8л~ р, а где 1', область, не занятая сверхпроводником. Поскольку (пВ')4,=0 и Н' — Н= рХ в области Рм ] В' -(Н' — Н) О )Р= — 1 2 г)!о В' Π— у (пВ) 2 р) 5 = 0. р, г, зо В результате 1 [' 1Г И.— И.= — — ~(ВН) и — — ~(В' — В) х 8л~ 8.~ х (Н' — Н)гн'<О. Рис. 10 321 11 зрк 378 32.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
