Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е. их превращение в два фотона; е +е'- 27. Очевидно, Л!с= — 2 сУ„, так как фотон не имеет собственной массы. Таким образом, выделяющаяся активная энергия равна ЛЮ=2 сс',г~ 1 МэВ. (92.9) Часто в физической литературе процесс порождения активной энергии при превращениях частиц, сопровождающихся изменением суммы их собственных масс, называют «превращением массы в энергию». Однако подобная терминология не выражает содержания данного процесса и может привести лишь к ошибочным философским выводам о якобы исчезающей материи или уничтожимом движении.
На самом деле во всех таких процессах не изменяется ни релятивистская энергия Е, ни релятивистская 293 собственная масса системы .,бб, т. е. никаких превращений массы в энергию не происходит. Если все же процесс порождения активной энергии обозначать термином «превращение», то можно лишь говорить о нревраи1епии скрытой внутренней энергии системы в ее активную форму. Мерой скрытой внутренней энергии системы является при этом сумма собственных энергий отдельных составных частей системы.
Задача 92Л. Фотонный звездолет массы лГ, работающий на реакции е' Ч-е — «2т, имеет параболический огпражатель с фокусом а и радиусом раствора Л. Каждую секунду вблизи цгокуса происяог)ит гЦ аннигнляций злектронов и позитронов, поступиющи» туда навстречу друг другу со скоростью о, Найти сил> тяги даигателя и закон изменения скорости звездолета со времеггем.
$93. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВСТРЕЧНЫЕ ПУЧКИ Одним из основных источников получения частиц высоких энергий в лабораторных условиях являются ускорители элементарных частиц. Современные ускорители представляют собой грандиозные сооружения, строительство и обслуживание которых требуют колоссальных затрат средств и энергетических ресурсов. О масштабах этих затрат можно судить на основании элементарной формулы Е=еВК вытекающей из (86Л6) и выражающей энергию Е ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся в магнитном поле В. Из этой формулы видно, что размеры ускорителя В растут линейно с энергией частицы, поскольку технических возможностей для увеличения магнитных полей в настоящее время почти не существует. Все это заставляет физиков либо искать новые методы ускорения элементарных частиц, либо более эффективно использовать частицы уже достигнутых энергий. Последнее как раз и осуществляется в ускорителях на встречных пучках.
Если в обычных ускорителях пучок ускоренных частиц направляется на неподвижную мишень, то здесь осуществляется лобовое столкновение двух встречных пучков (это могут быть либо пучки от двух отдельных ускорителей, либо, если это частицы разных по знаку зарядов, два встречных пучка в одном накопительном кольце). Оказывается, что таким способом при заданной энергии ускоряемого пучка, значение которой ограничивается параметрами ускорителя, †мож многократно увеличить долю активной энергии, идущую на порождение новых элементарных частиц.
Чтобы проиллюстрировать возможности ускорителей на встречных пучках, рассмотрим процесс лобового столкновения двУх частиц с массами бб, и без. ПУсть оР„ЕР, и Р'„оР'з сУть 4-импульсы наших частиц соответственно в лабораторной системе отсчета, где Р = О, и в системе центра масс, где Р ', = — Р 'з. Запишем в обеих системах очевидный инвариант 294 ( ~ 1 Рг) (~ 1 ~ 2) Е -Яг=Е1 Ег/сг+(Р;)г (93.1) Тогда в= 2с'2+2Я(1+.Яг~.Я,). (93.4) В нерелятивистском случае Я«1 и поэтому еяа2Я(1+ Я,/ Яг), (93.5) что для частиц одинаковой массы соответствует хорошо известному учетверению кинетической энергии при удвоении скорости. Однако в ультрарелятивистском случае, когда а' » 1, можно считать 6=26', (93.6) т. е.
а~ Я. Это означает, что относительно незначительные затраты активной энергии (2Я) при столкновении встречных пучков оказываются по своей эффективности эквивалентными намного большим (в Я раз) затратам активной энергии (в) в случае падения на неподвижную мишень. Это обстоятельство говорит о чрезвычайной эффективности ускорителей на встречных пучках в ультрарелятивистской области. я 94. пРинЦип ндименьшеГО ДейстВиЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Как и уравнения механики, уравнения Максвелла могут быть записаны в лагранжевой форме, часто применяемой в современной теории поля. Для вывода полевых уравнений Лагранжа экономнее всего воспользоваться принципом наименьще1о действия, или вариационным принципам.
Важным преимуществом варнационного подхода является елинообразие вывода как уравнений полн, так и вытекающих из них законов сохранения. Ради общности разумно сформулировать вариационный принцип для произвольного поля, а электромагнитное поле рассмотреть в качестве примера, иллюстрирующего общий метод. Пусть некоторое поле описывается л независимыми функциями идх), а= Е 2, ..., л, пространственно-временных координат.
В основе аариационного подхода 295 откуда, замечая, что (Р',)'=(Рг) =(Е', +Е', )11(2с ) — (,.Я1+,Я~~)с~~2, находим Е, Я,=(Е',+Ег)21(2с ) — (Я ~+;Яг)с~~2. (93.2) Вводя активные энергии частиц, т. е. полагая 6': — Е, — Я, с ~, 2д" = Е ~ + Е г — ( Я, + Я~ ) ~', из (93.2) получим Я.Ягс =28'~+28'(Яг+ Яг)сг. (93.3) Для анализа этой формулы удобно перейти к безразмерным ПЕРЕМЕННЫМ В=Я/(Ягг'), Я=4"Я.Я2С ). ТОГда (93.3) ПрИНИМаЕт вид Б(и !Щ= — .9'(и д и )6П 1 Г с~ (94.1) а Здесь П вЂ” некоторый 4-объем; .У- -плотность функции Лагранжа, или лагранжева плотность, являющаяся релятивистски инвариантной функцией от поля и его первых производных.
Для формулировки вариационного принципа' зададим произвольное бесконечно малое преобразование координат и полей: бх'(х) их'(т) — х", би,(х) и и',(х') — и,(х). (94.2) Кроме волной вариации воля би, нам понадобится еще вариация формы ноля, определяемая как ои,(х)жи',(х) — и,(х). (94.3) Из (94,3) следует важное свойство вариации формы: бд„и,(х)мд„и',(х) — д и,(х)=д би,(х). Ограничиваясь величинами первого порялка малости, имеем би,(х)=и,'(х') — и,(х) — (и',(х') — и',(х)) би,(х) — д„и,бхв. Таким образом, полная вариация связана с вариацией формы соотношением би,=би,-ьоэ„и,бх'. (94.5) С помощью (94.4) и (94.5) нетрудно установитгн что бд и,=д би,-ьбх" д о и„.
(94.6) Получим, наконеп, вариацию элементарного 4-объема бдймбй' — г)П, предварительно найдя якобиан У преобразования координат с точностью до величин первого порядка малости по бх: з У=г)ег!!д„л'"((=бег!!б„"-ьд„бх" (!= П (!ч-д,бх")ж14-д„бх", =о откуда бдй=дй(Р— 1)=дйдвбхв. (94.7) Теперь у нас есть все подгоэовительные формулы для вычисления вариации действия: бБ=Б' — Я= — ).х'(~,'(~'), д'„~',(~'))бй'— !Г, !Г, — У(и (х) д и (х)дП)-- (г~'бдП.Ьблг"бП) с" с~ (94.8) Вводя обобщенный полевой импульс д.К д(д„и,) (94.9) * Смл Боголюбов Н.
Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М., 1976; Гельфанд И. М., фомин С. В. Вариационное исчисление. М., 1961. 296 к теории поля лежит выбор гамильтонова действия Б, которое должно быть некоторым функционалом от поля и обычно берется в виде и используя соотношения (94.5) и (94.б), находим /д.~~ 8.9'= ~ ( — „би,-ел,зб(д„и„) ,1,ои,. " 1 д,.йе — (Ьирьд„и,бх")+л,"(д„би,+Ьх'д„д„и,), ,=1 что с учетом соотношения !зд.К 2 1 — д,и,-ьлзд„д„и, =д„.й' ,1,ди, преобразуется к виду У дц' Ь.х =д,.Кбх" ~- ~ ( — Зи,+л",д„Ьи, ,,1,ди, (94.10) Подстановка (94.10) и (94.7) в (94.8] дает (Р( У. з' д.йз 85= — ~~сз„( 2,' леЗи,-~-.й'бх")4- 2, ( — — д„л," Би, дй.
(94.11) ),,( ди, Первое слагаемое в (94.11), имеющее вид четырехмерной дивергенции, мохсно привести с помощью теоремы Гаусса —.Острогралского к интегралу по замкнутой гнперповерхности и, окружающей 4-объем П. В результате получается следующее выражение для полной вариации действия, известное в вариацнонном исчислении как форл~ула Адамара. ЬЯ[и,)й)= — ~З( 2,'леби,+.Кбх")с(о„+ — ~ 2' ( — — д„л," би,дП. (94.12) ) " од,,(тди, Исключая из поверхностного интеграла Ьи, при помощи (94.5) и вводя канонический тепзор энергии — -импульси Т'"т ~ л,"д" и,—,98"", *=1 (94.13) можно привести бб к форме, наиболее часто используемой в физике: 1)з" ба[и,)П1= — ~!~ ~ л,"Ьи,— Т""Ьх,)до„+ — ) 2 '( — — д„л,")би,дй.
(94,14) д„л," — д.й'/ди,=0 (.г=1, 2, ..., п), (94.! 5) 297 Формула Адамара (94.14) является основой вариационной формулировки теории поля и позволяет получить как уравнения поля в лагранжевой форме, так и вытекающие из них законы сохранения. Для этого необходимо принять следующий варнапионный принцип.
Уравнения, которым подчиняются полевые функции и„таковы, что их решения реияизуют экстремум функционала действия 5 (и,(П) среди всех функций, принимающих задааэые зничения на границе области П. Согласно этому принципу, объемный интеграл в (94.!4) должен исчезать, а так как вариации би, произвольны, то для этого необходимо. чтобы выполнялись равенства которые, согласно (94.9), принимают вид 7 д 9' ! Ь.У' д — — =0 (в=1, 2,,, и).
"~ д(д„и,)л) ди, (94.!6) ду„в д(д„А" ) поэтому д.9' 1 др„е 1 д(д А') 8к д(д А ) 4к С другой стороны, (94,19) д.х7дА'= — Л 'с, так что уравнения Лагранжа (94.!5) принимают вид 1 ! — — г)„(уи' йы ) 4 — А = О. 4я" " с После поднятия индекса Х эти уравнения, очевилно, совпадают с (79.2), т. е. с первой группой уравнений Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
