Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 53
Текст из файла (страница 53)
278 Очевидно, что тензор О симметричен, т. е. О""=О"". Распишем его отдельные компоненты: Разделяя временную и пространственную части уравнения (89.7), убеждаемся, что оно является ковариантной записью известных соотношений (13.4) и (14.6) Тс= — дд"~дс+д,Т", с)= — дв/дс — с)195, анализ которых позволил нам в свое время выяснить физический смысл в, й, Я и Т'". Повторим теперь те же рассуждения, но уже в четырехмерной ковариантной форме.
Допустим, что источниками электромагнитного поля являются движущиеся заряженные частицы, сосредоточенные в некоторой ограниченной области Г и обладающие полным 4-импульсом Рс о — — (Е~„,о(с, Р~„,~). Тогда теорему живых сил и второй закон Ньютона для системы зарядов можно записать в виде —,'М;.,= У б). (89.11) Однако эта запись не является релятивистски ковариантной. Что- бы сделать ее таковой, введем понятие ссентра масс системы зарядов, который движется как материальная точка с собственной массой М=(сс с >М,",)ьас ', равной собственной массе системы, и 4-импуль- сом есс ь 4-скорость центра масс, очевидно, равна с7=Рс,/М, и поэтому можно считать известной мировую линию центра масс х"(т), параметрически определяемую его собственным временем т. Построим теперь гиперплоскость о(т) с нормалью и= У/с, т.
е. ортогональную мировой линии центра масс. Если с(х" — элемент этой мировой линии, а с)о" — элемент гиперплоскости о(т), то (см. (74.8) и (74.11)) элемент 4-объема с)й можно представить в виде с)й = одп1 1'= с)х" с(о„= сс)тс)о. (89.12) Вспоминая, что с(7=с(с(1 — и'/сз)из, где и--скорость центра масс, из (89.12) выводим д =б((1- '1с')-и'. (89.13) Таким образом, чтобы получить ковариантную формулировку уравнения (89.11), достаточно поделить его на (1 — из1сз) 'з: — „срс ~ — — Т"с1о. (89.14) дс о Проинтегрируем уравнение (89.14) по т от момента т, до момен- та тз, которым соответствуют гиперплоскости о, и оз (рис.
89.1), н учтем соотношения (89.7) и (89.12). В результате йолучим Ус„» [о,1 — Р~",„1 (о,3 =- 7'с)й = — — д„О 'с1й, (89.15) 279 где й — 4-объем, заключенный между гиперплоскостями о! и о . Если считать, что в промежутке времени т, — т, электромагнитное поле сосредоточено в некоторой ограниченной области пространства*, по теореме Гаусса †Остроградского (74.14) имеем 1 д,Ов"с10= ] Ов'ۄ— 1 Ов"Ы„, (89.16) о, поскольку вклад гиперповерхности, за- мыкающей 4-объем й на пространст- венной бесконечности, равен нулю.
Под- ставляя (89.16) в (89.15), получаем Рис. 89.1 ?р!" з(о,]+- Ов"с)о„=У; !(о ]+- Ов"с)от (89.17) с ! с 1 оз т. е. 4-вектор У":— оР!" ?1о]+- Ов"с)о„ с 1 не зависит от выбора пространственноподобной гиперплоскости о и, следовательно, сохраняется во времени. В связи с этим равенство (89.! 7) естественно интерпретировать как закон сохранения энергии - — импульса системы «источники+ зле ктромагнитное поле», а 4-вектор (89.18) * Системы с такими свойствами обычно называют островными.
280 рассматривать как 4-импульс электромагнитного поля. Выбирая гиперплоскость о ортогональной оси Хо, получаем оР ! 1Оо (89.19) с 1 т. е. 4-вектор У?с! — — (Ет?с, Р,) имеет следующие компоненты: Е,=') и с)1'= И; Р,=) 8?11'=С. (89.20) Задача 89.1. ??оковать, что 4-вектоР сит Явлнетса вРенениповобнмм нли изотропнаыо Обратим внимание на неоднозначность выбора тензора энергии — импульса электромагнитного поля О. В самом деле, если рассматривать (89.7) как уравнение относительно О"" при заданном 7', то наряду с тензором О [см. (89.8)) этому уравнению будет удовлетворять и всякий другой тензор вида О""=О""+б Х""' (89.21) если Х"""= — Х""". Справедливость этого утверждения вытекает из очевидного тождества диб„Х"и"=О.
Задача 89.2. Показать, что преобразование (89.2!) не меняет величину 4-импульси (89.!9) для островной системы. Отмеченное обстоятельство имеет общий характер и присуще релятивиспккой теории поля (а не только электродинамике). Это объясняется тем, что в релятивистской теории поля закон сохранения энергии-- импульса описывается уравнением типа (89.4), допускающим калибровочное преобразование (89.21). Обычно это преобразование используется для симметризации тензора энергии †импуль, если первоначально найденный гензор О этим свойством не обладает.
При этом для замкнутой системы полей всегда можно подобрать такой вспомогательный тензор Х""", что будет справедливо равенство О"'=Озп (см. 8 95). Однако построенный нами тензор (89.8) уже является симметричным, поэтому отпадает необходимость в выборе вспомогательного тензора Х""". Оказывается, можно строго показать, что симметричные тензоры О не допускают калибровочного преобразования (89.21) и, таким образом, определяются однозначно. Для доказательства воспользуемся следующим простым алгебраическим результатом. Задача 89.3. Показать, нто тензор трептего ранга Х"ь", антисимметричный по первым двум индексам и симметричный по последним, тождественно ривеи кулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что требование симметрии тензора энергии импульса определяет его однозначно.
Остается лишь выяснить, на чем основано само это требование. Как было установлено в задаче 13.2, требование симметрии тензора натяжений Максвелла Тк=Т"' вытекает из закона сохранения момента импульса, поэтому остается доказать только равенство Оо!=О!о, или его векторную форму 8=5/с' (89.22) (теорема Планка). Задача 89.4. Доказать теорему Планка, исяосгя из симметрии тензора нитяженой Максвелла. Нетрудно видеть, что по своему физическому смыслу теорема Планка является выражением эквивалентности энергии и массы для электромагнитного поля. Это особенно ясно при сравнении (89.22) с релятивистским соотношением Р=Еп сг вытекающим из (84.12) и (84.13).
28! 5 90. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ МАССЫ Тот замечательный факт, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом, составляющими 4-вектор адд=-1О""г)о (90.1) е привел многих физиков и, в частности, первооткрывателя электрона Дж. Дж. Томсона к заманчивой и простой идее об электромагнитном происхождении массы электрона*. Качественно электромагнитный механизм появления инертных свойств у электрона действительно выглядит очень просто: если неподвижный электрон окружен только электрическим полем, то движущийся— еще и магнитным, на создание которого необходимы некоторые затраты энергии. Однако более пристальный анализ проблемы показывает, что чисто электромагнитное объяснение массы электрона все же невозможно.
Причин для этого несколько. Прежде всего для вычисления электромагнитной массы электрона необходимо рассмотреть конкретную его модель, т, е. задать распределение зарядов и токов внутри электрона. В простейшей статической модели электрона, предложенной Г. ПаренИем и М. Абрагамом, р=р(г), )=О, т. е, распределение заряда считается сферически симметричным" е. Однако ясно, что отдельные элементы такого электрона, будучи одинаково заряженными, должны расталкиваться и для их сдерживания необходимо вводить какие-то дополнительные силы неэлектромагнитного происхождения. Очевидно, эти сдерживающие силы должны иметь какой-то материальный носитель, т. е. кроме электромагнитного должно существовать по крайней мере еще одно поле, взаимодействие которого с электромагнитным и приводит к появлению сдерживающих сил. Но всякое материальное поле обладает 4-ИМПУЛЬСОМ аЛ1„1, даЮщИМ ВКЛад В ПОЛНЫЙ 4-ИМПУЛЬС СИСТЕМЫ 9"=-"'1 1+~ггг С отмеченным обстоятельством связана и другая трудность электромагнитной теории массы.
Именно: при вычислении электромагнитного 4-импульса (90.1) обнаруживается, что результат зависит от выбора гиперплоскости интегрирования о, т. е. не является однозначным. Чтобы понять причину неоднозначности, достаточно проинтегрировать уравнение (89.7) по некоторому 4-объему П, заключенному между двумя пространственноподобными гиперповерхностями гтг и ол (рис. 90.1), и преобразовать ' Тйотгоа Л э' Иесепг Иехеагсйсх оп Е1есгпс1гу апд Мавпег1эпэ. Окупи, 1893, р.
24. "" лх. Абрагам 11902) считал электрон жестким, согласно же Г. Лоренпу форма электрона при лаижеиии менялась, а именно: сферическая поаерхность переходила а эллипсоид Хеаисайда (см. эалачу 80.2). интеграл в поверхностный с помощью ха бг теоремы Гаусса — Остроградского. В результате, предполагая островной характер системы, находим ')) "<)ГЪ= ) О""бо„— ) О""до„(90.2) и о, о, Отсюда, поскольку )'9>0, и выте- Рис. 90.> кает, что электромагнитный 4-импульс 9'<о в общем случае зависит от выбора гиперповерхности интегрирования о. Однако указанный недостаток легко устраняется, если ввести вспомогательное поле, обусловливаюгцее сдерживающие силы. Сопоставляя этому полю тензор энергии — импульса О< > и 4- импульс (90.3) М<„> — — — О< ><)о„, с ~ можно определить сдерживающие силы равенством 7",„, = — ) ' и по аналогии с (89.7) положить (90.4) Подставляя (90.4) в (90.2) и применяя теорему Гаусса— Остроградского (74.!4), находим ) т""<)о„=) т бо„, (90.5) а, О2 где введен полный тензор энергии — импульса системы Т=О< >+О, согласно (90.4) и (89.7) удовлетворяющий дифференциальному закону сохранения д„Т""=О.
(90.6) Равенство (90.5), вытекающее из (90.б) в предположении островного характера системы, известно как теорема Беккери. Оно выражает закон сохранения полного 4-импульса системы М"=М,"„,+<и,"о=- '1 т "0 „ (90.7) с) а и независимость последнего от выбора поверхности интегрирования о. В частности, считая о гиперплоскостью о, ортогональной оси Хе, получаем обычно используемое выражение для 4- импульса: (90.8) 283 Таким образом„на основании теоремы Беккера указанное выше противоречие разрешается. Между тем если не вводить сдерживающие силы, но условиться о выборе единственной поверхности интегрирования о, например гиперплоскости ое, ортогональной к оси Хе, то противоречие все же возникнет [и вновь в связи с уравнением (90.2)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
