Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Однако в декартовых координатах эту процедуру можно сократить, воспользовавшись соотношением (86.8) и тождеством (7„(7"=с'. Учитывая, что обобщенный 4-импульс Ре имеет компоненты ет"=(Н(с, Р), находим ,.й'~(7 (7"=,.й'зс~=(ез' — еА /с)(У" — еА "/с)= (87.4) Найденное выражение и представляет собой функцию Гамильтона, соответствующую релятивистскому движению заряженной частйцы в электромагнитном поле. Задача 87.1. Получить канонические уравнения Гамильтона, отвечаюивие гамильтониину (87.5).
Замечая, что Р— (е/с) А=,4'П, в нерелятивистском случае выражение (87.5) можно упростить, воспользовавшись малостью отношения (Р— еА)'с)г)(Мгсг) <<1 Ограничившись первым нетривиальным членом разложения, имеем ,г О=Мог+ — Р— -А) +еср, 1 е 2М( с (87.6) что при отсутствии магнитного поля (А=О) совпадает с обычным нерелятивистским гамильтонианом с точностью до аддитивной постоянной Мог. На основании выражения (87.5) нетрудно получить и релятивистское уравнение Гамильтона- Якоби для функции действия 5. Для этого заметим, что [см.
(8б.5)) Я„= — диЯ. (87.7) Поэтому подстановка (87.7) в (87.4) дает Ф с = дн5+-А„диЯ+-Аи — — +еср — 57о — -А (87.8) (релятивистское уривнение Гамильтона — Якоби для заряди в эле- ктро.магнитном поле). Задача 87.2. Исследовать методом Гамильтона--.Якоби движение электрона в кулоновском поле лдро с порядковым номером И. 8 88.
СИЛА РЕАКНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ Ра = 2е'й/(Зс'). (88.1) В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света, это выражение должно быть обобщено 273 Как уже отмечалось выше, в уравнениях движения (85.5) учитывается лишь внешнее электромагнитное поле Ги", действующее на заряд е, но игнорируется поле излучения самого заряда. Иными словами, в этих уравнениях не учитывается сила реакции излучения, которая в нерелятивистском случае, согласно (47.8), равна и заменено 4-вектором Хи, сводящимся к (88.1) лишь в пределе медленных движений.
Имея в виду, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор Хк по его нерелятивнстскому аналогу Ги, применив прямой метод (см. ~ 85), попытаемся выявить структуру релятивистской силы реакции излучения, наложив условие, чтобы в мгновенно сопутствующей системе отсчета она имела ком- поненты Х~=(О, Ги). (88.2) Из структуры и следует. что Х может зависеть лишь от характера движения заряда, но не от вида внешних сил. Иначе говоря, в Хи могут входить различные производные от (7, но не выше второго порядка.
Всем этим условиям, очевидно, удовлетворяет 4-вектор бги бсг оиа=" г+(з — +ус7 бт' бт (88.3) где се, (), у -- некоторые скалярные функции, зависящие от ЙУ/т(т и Ув. Заметим теперь, что Хк, как любой 4-вектор силы, должен удовлетворять условию (84.3): с7 Х~=О. Р Поэтому, подставляя (88.3) в (88.4), находим г1гНЯ лггн се(7„—, + () У„+ ТЮ„Си = О. г1е' и г1т 7' бт бт " бтг получим бгтгв ег бтг бг7и у= — — (7 сг И лтг г л лт (88.5) Таким образом, нам остается определить лишь две скалярные функции: и и (з. Воспользуемся для этого свойством нечетности Хи при отражении времени: .-~ и( т) = к'к(т) ,1Ц 1гц " Еше одна возможная комбинация е""'гсг„— — нами отброшена, так 4, 4 г как является цсевдовектором.
274 Отсюда с учетом тождества (84.2) и вьпекающего из него соотношения (88.9) Задача 88.2. Показать, что скорость потерь энергии заряясенной частицы на излучение является инвариантом и определяется формулой Р = — —, — . (88.10) В качестве полезного примера использования уравнений движения (88.9) рассмотрим задачу о синхротронном излучении, т.
е. об излучении ультрарелятивистского заряда, движущегося в сильном магнитном поле В. В этом случае скорость заряда близка к скорости света, т. е. и-с и Уо = ~ $) ~ >> с. В первом приближении примем, что заряд е движется по окружности некоторого радиуса А поперек магнитного поля В, а сила реакции излучения оказывает незначительное влияние на характер его движения, т. е. ее можно считать малой по сравнению с силой Лоренца. Запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9): ее дн "~()В1 (88.11) 275 вытекающим из аналогичного свойства Р . Для того чтобы структура (88.3) была согласована с (88.6), необходимо, чтобы функции а и ~3 обладали следующими свойствами симметрии: и(-т)=и(т), (3( — т)= — (3(т).
(88.7) Поскольку и и (3 можно строить только из (7 и с)У/с)т, из (88.7) следует, что )3 должно быть пропорциональным У„с(Уи/с)т=0, т. е. р=0, а и может быть произвольной функцией от инварианта ~с((з/Йт)', который в нерелятивистском пределе сводится к — и . Однако сравнение с (88.1) показывает, что в этом пределе а совпадет с постоянной 2ез/(Зсэ), т. е. не может зависеть от нз. Таким образом, и=2ез/(Зс ) и с учетом (88.5) получаем окончательно Хх= —, —,+ —, —" .
(88.8) Задача 88Л. Получить формулу (88.8) прямил методом. Теперь уже нетрудно записать и релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле с учетом силы реакции излучения. Для этого достаточно добавить 4-силу Х в правую часть уравнений Минковского (85.5): ~ч+ з з+ Эти уравнения движения впервые были получены в 1938 г. английским физиком П.
А. М. Дираком и обычно называются классическими уравнениями двиясения Дирака — Лорениа. Так как (1)В)=0 и для движения по окружности радиуса В ! сп) 111 г ! = ! 1)! г 1В, то из (88.11) выводим (88.12) й л м~ Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношением Е=.Ясс1ож.егс! сг'1=еВВ. (88.13) Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме !йпв!йт! следует, что отношения ' ',, должны быть одного е1(ГЗВ111с 1сй11йт1 порядка малости.
Поэтому скорость энергетических потерь на излучение, согласно (88.10) и (88.12), приближенно равна йЕ 2ег йГ1 2ег/еВ ! ~Т)~г йг 3с' йт 3с'1 .Фс ~ или в другой форме, с учетом (88.13), йЕ 2егс( Е г! 4 йг зяг 1 лтсг) Таким образом, скорость потерь энергии на синхротронное излучение пропорциональна четвертой степени энергии заряженной частицы '. Практически важным показателем являются относительные потери энергии частицы на излучение за один оборот: -г'=-о' — ""= '";, ( ",) в.
В частности, для электрона с энергией Е=10 ГэВ в магнитном поле с индукцией В=104 Гс имеем — сгЕ!Е=2,5 10 э, т. е. относительные потери энергии на излучение составляют 0,25'/е на оборот. в Смл Соколов А. А., Тернов и. гн. Релятивистский электрон. М., 1974, 1О; Бсйогг С.
А. Е!есггопгайпеггс Кай1аг1оп. Сангьг!ййе. 1912; Иваненко Д. Д., Померанчрк и. Я. О максимальной энергии, достижимой в бетатронеДДокл. АН СССР, !944. т. 44. С. 343. ГЛАВА ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ В этой главе мы дадим релягпивистскую формулировку законов сохранения энергии и импульса для электромагнитного поля, для сисгпемы зарядов, взаимодействующих посредством электромагнигпного полю и для произвольной сисгпемы вэаимолревращающихся материальных частиц. Пример электромагнитной теории массы, явившейся исторически первой полевой моделью протяженной частицы, позволяет наиболее отчетливо увидеть принципиальное различие мехгду двумя распространенными точками зрения на преобразования Лоренца: активной и пассивной.
При этом выявлвегпся фундаментальная роль принципа устойчивости и законов сохранения энергии и импульса. Применение принципа наименьшего действия в теории поля позволяет достичь наиболее общей формулировки как уравнений двихгения, так и законов сохранения. я 89. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО НОЛЯ Начнем с релятивистской формулировки теоремы Пойнтинга, рассмотренной в 9 14 в трехмерном виде. Введем 4-вектор 7' плотности силы Лоренца, положив г» с-ьРЯ 1 (89.1) Подробно расписав это выражение, убеждаемся, что 4-вектор г' имеет следующие компоненгы: 1м= ЯЕ)/с, рЕ+ДВ~/с) =(д/с, Т), (89.2) т.
е. его временная часть пропорциональна плотности тепловой мощности д=(1Е), выделяющейся в проводниках с током, а пространственная часть совпадает с плотностью силы Лоренца 1; действующей со стороны электромагнитного поля на распределенные заряды и токи. Преобразуем теперь выражение (89.1) с помощью уравнений Максвелла- — Лоренца. Получая из (79.2) 7« — ';~ ЕЯ» 4л имеем /„=- Р„„7'" = — Г„,д„Е"", 277 или после тождественного преобразования 4я7„'=д„(Г„„Г"') — Г' д„Г„„. (89.3) Перестановка немых индексов !х~р с учетом антисимметрии Г"" позволяет привести второе слагаемое в (893) к виду Гцкд Г Ге~(д Г ! д Г )!2 Но [см.
(79.7) ] д„Г„„+ д„Г„„= — д„Г„„= д„Г„„ так что Г""д Г =Г"'д Г !'2 — — д (Г'еГ )!'4, В результате соотношение (89.3) принимает вид 7'„= — д„О„", (89.4) где введен тензор О с компонентами О„= — ~Г""Г,„+,-8„(Г"ьГ„,), 1Г ! важным свойством которого является исчезающий след Вр Оэ= О„=-о. (89.6) Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4) к контравариантным компонентам 7'= — д„О"", (89.7) (89.5) где Он' Гмр а е~ (Г РГ ) !Г 1 4п~ а иа (89.8) Ооа (Ег ! Вэ) Оо' Ого (ЕВ"] (89.9) О'= — — ЕЕ„+В,„— — ба(Ег+Вг) Таким образом, тензор О имеет следующую пространственно- временную структуру: О""= !е сй (89.! О) Я/с — Т где в — плотность энергии электромагнитного поля, Я--вектор Пойнтинга, 8 =8/с~-- плотность импульса электромагнитного поля, Т- — тензор натяжений Максвелла. В связи с такой структурой тензор О получил название тенэора энергии — импульса электромагнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
