Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(74.4) Перейдем теперь к некоторым интегральным теоремам в че- тырехмерном случае. Прежде всего построим элементарный 4-обьем с)й как объем 4-параллелепипеда с направляющими 4-векторами сс)1, с)х, с)у, с)г: с)й = — е„„с с)1 ис)х "с1у'сЬ'. (74.5) Отсюда очевидна инвариантность 4-объема относительно соб- ственных преобразований Лоренца. Если выбрать направляющие векторы ортогональными, положив сс11и=(с)х~, О, О, 0); с1х"=(О, с1х', О, 0); б =(О, О, х', О); Ого=(О, О, О, х'), то получим обычное выражение с)О = с)хос)х зс1хзс)хз (74.б) Задача 74Л. Убедиться в инвариантятти 4-обьема 174.6) ири собственньт нреобразованиях Лорезта Вывеснзи отсюда инвариантность четирехмерной Ь-функиии б( .) б(хь)б( з)б(хз)б(хз) 174.7) 245 Соотношение (74.5) можно также переписать в виде з)ьв = сФ "()от (74.8) введя направленный элемент гиперповерхности в)ан = — еп„„()х "()у'!)г'.
(74.9) Так как все физические величины (заряд, масса, энергия, импульс и т, д.) получаются как интегралы по 3-объему от соответствующих плотностей, то чаще всего приходится иметь дело с пространспзвенноподобными гиперповерхностя.чи, для которых псевдовектор с)он является времениподобным, т.
е. Мнс)он>0. В таком случае можно ввести инвариантный элемент гийерповерхности (псевдоскаляр) ()о и (ь)о„()оп) з(' (74.10) где п„=с)он)в)о--единичный времениподобный вектор нормали к гиперповерхности. Задача 74.2. В прилозюениях часто используется инвариинтная трехмерная Ь-фуикция Ь(х)о), заданная на пространственноподобной гиперповерхности и (с нормалью и„) и связанная с четырехмерной Ь-функцией соотнощениен Ь (х) = Ь (пах") Ь (х ! о).
(74.(2) Убедиться, что Ь(х)о) обладает обычным свойстволз Ьчфункции (О, хе'и; У(х') Ь (х' — х)п) Йп' = ~ (у(х), х е сз, и покають, что и"д„Ь(х!о)=0. Задача 74.3. Доказать справедливость следующего интеграл~ного представления 4-градиента: д„= (пп — ~дом ь~ (74.!3) где и — замкнутая гиперповерхность, о.хватывающая 4-обполз ьг, стягивающийся в точку. Из представления (74.13) вытекает важная в приложениях четвсрехмерная теорема Гаусса — Остроградского: 1 доГ" чдь1=7 Г чМт (74.14) о в где о замкнутая гиперповерхность, окружающая 4-объем ь,). 246 и записать Мн в виде Ын=п„с)о, (74. 11) Задача 74.4.
Доказать четырехмерную теорему Стокса; 7 А„дх" =1 (двА, — д,А„) е)5"", (74А 5) с 5 где 5- правонритттрованная поверхность, наспянутая на замкнутый контур С, 45ь' - ее злемент, определяемый двумя бесконечно мизыми касательнылеи к 5 векторами йх и бх: 45ь" = 2 ' ' (дх "бх' — дх'Бхь). я 75. ЧЕТЪ|РЕХМЕРНЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В пространстве Минковского всякая движущаяся материальная точка изображается мировой линией (рис. 75.1). Так как элемен- том длины такой мировой линии является элементарный вре- мениподобный интервал* с(з=(с)хяс)хв) "г, то единичный касатель- ный вектор к мировой линии имеет компоненты ь !в =л !,'(~Р~' — (с*с.
(75.1) Вспоминая, что собственное время т в системе отсчета г.', связанной с материальной точкой, определяется длиной интервала в =с и=с,П:.'~ ', (75.2) где и †трехмерн скорость точки с компонентами с)х'/й, можно ввести 4-вектор (7, имеющий размерность скорости и пропор- циональный касательному вектору к мировой линии: ()и = сс1хк/с)у = с(хв)с)т. (75.3) Этот 4-вектор называется четырехмерной скоростью точки и имеет следующие компоненты: и -(с', в)=( ', " ). (зз.ь) В предельном случае медленных движений, когда и « с, получим 1)в=(с, в), т. е.
4-вектор (з' фактически сводится к трехмерной скорости и и удовлетворяет, таким образом, принципу соответствия. Очевидно, компоненты 4-скорости (з'в преобразуются по закону (73.3), т. е. (Ро=у(Ь' — Р(7з) (Рз=у((7'-(3(уо) Гг=С" и'=(уз (75.5) Важным свойством четырехмерной скорости является посто- янство ее длины: (7г (7 тюза Ро)г ()г сг (75.6) ь Рассматривается частица, движущаяся со скоростью, меньшей скорости света. 247 Дифференцируя (75.6) по т, найдем интересное соотношение Рис) сг'и/с)т = О, (75.7) выражающее факт ортогональиости четырехмерных скорости и ускорения точки.
Последнее тоже является 4-вектором и имеет следующие компоненты: бпь !г (ва) а и(ан) бт ! с(! иг! г)г' ! иг! г г(! иг! г)г (75.8) где а=с)и/с)1 †трехмерн ускорение точки. В предельном случае медленных движений, очевидно, с)сгв!'г) =(1), а), т. е. 4-вектор ускорения пространственноподобен. Задача 75.1. Ракета' двилсется прямолинейно с постоянным собственным ускорением а и без началыгой скорости.
Нанти скорость ракеты кок функцию .чабораторноео и собственноео времен. й 76. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕИ Так как 1)=иУо,'с 1см. (75.4)], то из (75.5) вытекает следующий закон преобразования трехмерных скоростей: и„ вЂ” о , и,т ' , и,т 1-и,о)с" " 1 — и о/с'" ' 1 — и„ого Обратные преобразования получаются из (76.1) заменой (76.2) 1-ьи„'о/сг' ! ч-и'„о/с ' ' !ч-и„'о!с' Иногда бывает удобной и векторная запись формул (76.2): а=(1+ (ит)/сг3 '(7 'и'+у+ (1 — 7 ')(ит)т)п'].
(763) Если при о << с из (76.3) вытекает нерелятивистский закон сложения скоростей (в-н'+т), то в области о=с законы эвклидовой геометрии в пространстве скоростей оказываются уже неси раведливымив. " Знаменательно, что закон (76.3) сложения векторов около 150 лет тому назад был исследован гениальным русским геометром Н. И. Лобачевским, доказавшим возможность логически непротиворечивого построения новой геометрии, в которой уже не выполняется постулат Евклида о параллельных.
248 Из (76.3), в частности, следует, что если г-+ с, то и и- с. Иначе говоря, если складывать две скорости, близкие к скорости света, то вновь получается околосветовая скорость. Здесь особенно отчетливо проявляется отклонение релятивистского закона сложения скоростей от нерелятивистского. Другой его особенностью является иекоммутагиивиостгя результат сложения двух скоростей в' и 7 отличается от результата сложения скоростей 7 и н'. Очевидно, что это обстоятельство обусловлено неравноправием складываемых скоростей, среди которых выделенную роль играет относительная скорость двух систем отсчета.
Из условия инвариантности интервала дх„дх"=дх„'дх'", которое можно переписать в виде (с1 из) др 2 =(с2 — я") с(у" (76.4) следует, что $1яп (с — и ) = 51яп (с — Й ). Это означает, что при переходе к любой инерциальной системе отсчета досвеговые скорости (ц(с) осгаюгся досвезовыми (и' < с), световые скорости (и = с) остаются световыми (и' = с), а сверхсветовые скорости (и > с) сверхсветовыми (и') с). При сложении параллельных скоростей удобно пользоваться не скоростью, а бысгиротой О, т. е.
полагать и.=сгй0, и„= гй0, .= 1йф. Тогда преобразование (76.2) эквивалентно прямому сложению быстрот: 0=0'+ф. Релятивистские формулы сложения скоростей позволяют легко обьяснить результат опыта Физо (см. 9 63). Здесь необходимо сложить две скорости: скорость света в неподвижной воде и'=с/и и параллельную ей скорость г водяного потока. Применяя (76.2), получаем скорость распространения света в движушейся воде: и=(и'+ в) (1+ ис/с~) ' = с(и+ а(1 — и 2) ((+ а((си) ) Учитывая малость отношения я/с, нетрудно вывести подтвержденную в опыте Физо формулу Френеля и = с/и+ г (1 — 1(и'). я 77.
АБЕРРАЦИЯ И ЭФФЕКТ ДОНЛЕРА ДЛЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ Суть этих классических эффектов состоит в том, что если источник света и наблюдатель находятся в относительном движении, го наблюдаемый закон движения источника и частота испускаемого им света изменяются при изменении скорости 249 Рис. 77Л Рис. 77.2 наблюдателя. Посмотрим, как объясняются эти явления в теории неподвижного эфира. Начнем с явления аберрации. Пусть световая волна распространяется под прямым углом к скорости т наблюдателя по отношению к неподвижному эфиру. Световой луч (рис.
77.1) достигает глаза наблюдателя только в том случае, если последний наклонит зрительную трубу по направлению движения на угол ср' = агс1я 107с). (77.1) Что касается изменения частоты света, то его происхождение также нетрудно понять. Так, если наблюдатель А движется к источнику В со скоростью р относительно эфира* (рис. 77.2), то за 1 с он, очевидно, насчитает больше гребней волн, чем неподвижный наблюдатель, в 1+с~с раз. Таким образом, наблюдаемая частота света а' связана с частотой а, регистрируемой неподвижным наблюдателем, соотношением Доплера а' = а11+ р/с). В отличие от классических «эфирных» теорий, которыми указанные эффекты объясняются раздельно, в теории относительности они оказываются связанными и описываются единым образом.
При этом выясняется, что происхождение этих эффектов чисто кинематическое. Если источник света достаточно удален, то порождаемые им волны можно считать плоскими. Рассмотрим поэтому распространяющуюся в вакууме плоскую монохроматическую электромагнитную волну. Введем две инерциальные системы отсчета Х и Х', оси которых будем считать параллельными, а скорость системы Х' относительно Х вЂ направленн по оси Х и равной с= Вс. Пусть в системе Х волна распространяется в направлении ' При этом источник сам может лвитатьси относительно эфира с некоторой скоростью и. 250 (77.4) ыпср'=(3, а'=ау=в(1 — (3г) "г.
(77.9) Видно, что релятивистский угол аберрации 1р' = агсяп и отличается от угла аберрации агсгя р в «эфирной» теории. Совпадение получается лишь для малых скоростей о«с. Другим важным отличием релятивистской аберрации от классической 251 а (рис. 77.3). Тогда каждая компонента электромагнитного поля содержит фа- г К зовый множитель ехр( — /Ф)=ехр(/(Кг) — /в/], (77.3) где и = яа/с — волновой вектор. Согласно принципу относительности, а а х' уравнение поверхности волнового фронта с)Ф=О ковариантно относительно преобразований Лоренца. Это Рис.
77.3 означает, что левая часть уравнения, т. е. фаза Ф, представляет собой некоторый 4-тензор. Но единственным 4-тензором с одной компонентой является 4-скаляр, поэтому фаза Ф должна быть релятивистским скаляром. Ее действительно можно представить в виде скаляра Ф = а/ — (аг) = /сохи если ввести волновой 4-векзор /си=(в/с, ож/с), (77.5) важным свойством которого является изотропнпстзс /сг=/с /си=О, (77.6) Получим теперь компоненты 4-вектора /с'" в системе отсчета Х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
