Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 45
Текст из файла (страница 45)
С., Кеагтх К. Е. Агоцпг1-1Ьс-%ог14 А1оппс С1осав; ОЬясгчсг1 Нс!абывйс Тппв ба1пв — бсгспсс, 1972, ч. 177, № 4б44, р. 168. ев Смя Минковский Г. Пространство н время.— В сбс Принцип относнтсльности. М., 1973. С. 167. 235 получившую название интервала. Так как фундаментальная форма (72.2) является знакопеременной, то геометрия Минковского существенно отличается от четырехмерной эвклидовой геометрии и, чтобы отметить это различие, часто называется псевдоэвклидовой. По терминологии Минковского, пространственно-временное многообразие, т.
е. совокупность всех возможных значений х, у, е, 0 называется миром, а отдельное событие, происходящее в пространственной точке х, у, х в момент времени 0 †миров точкой. Множество мировых точек, изображающее движение отдельной материальной точки, называется мировой линией этой точки. В геометрии Минковского интервал в, связывающий два события, т. е. две мировые точки, может быть действительной или мнимой величиной в зависимости от знака квадратичной формы (72.2). В связи с этим выделим следующие качественно различные интервалы: 1) времениподобный (вг>0); 2) простринственноподобный (вг <0); 3) нулевой (в~=О).
Происхождение этих названий связано с тем, что вследствие инвариантности интервала при преобразованиях Лоренца существует такая система отсчета, в которой при вг>0 оказывается Я = 0 и в= сТ, т. е. длина интервала измеряется при помощи часов. Аналогично, при вг<0 существует такая система отсчета, в которой Т=О, но Я~О, т. е, длина интервала измеряется масштабной линейкой.
События, разделенные пространственноподобным интервалом, очевидно, не могут быгь связаны причинно. В самом деле, если в некоторой системе отсчета Т=О, но Я~О, то сигнал, связывающий эти два события, должен был бы распространяться с бесконечной скоростью, что невозможно (см. () 68). Если события разделены времениподобным интервалом, то они могут быть связаны причинно. Это позволяет ввести порядок следования событий, остающийся неизменным в любой системе отсчета, несмотря на относительность одновременности.
Выясним теперь, что представляют собой в геометрии Минковского преобразования Лоренца. Вводя обозначения хо=сд х'=х, хг=у, ха=к (72.4) и полагая (72.5) о/с=13=1(гф, запишем преобразования Лоренца, отвечающие движению системы отсчета вдоль оси Хг, в виде хо хос)гф — хгз)г ф, х г = — хоз)гф+хгс)гф т г хг, т з хг, (72 б) 236 где, очевидно, сЬф=у=(1 — йг) ьа з))ф=()7 (727) Не РассматРиваЯ длЯ пРостоты кооРдинаты хг и хз, изобвпазим преобразование (72.6) на обычной декартовой плоскости Х, Х'. Плоскость Хо, Х', на которой расстояние между двумя точками измеряется интервалом, называется плоскостью Минковского.
Очевидно, преобразования (72.6) представляют собой переход от прямоугольной системы координат к косоугольной с дополнительным растяжением. Так как при таком переходе каждая точка плоскости занимает некоторое положение на соответствующей ей гиперболе (хо)' — (х')' =сопя, (72.8) то преобразования (72.6) иногда называют гиперболическим поворотом. Так как сЬф=сов)ф и з)7ф= — )яп)ф, то гиперболический поворот можно еще представить в виде поворота на мнимый угол и = гф в плоскости Хл, Х', где хл = )хо: х'л=хлсози — х'япа, х'=кляп а+х'созсь. (72.9) На плоскости Минковского могут быть наглядно проиллюстрированы все следствия преобразований Лоренца. Но предварительно полезно выяснить некоторые особенности псевдозвклидовой геометрии Минковского.
Прежде всего отметим, что роль окружностей на плоскости Минковского играют гиперболы хг=сопзц т. е. кривые вида (х — а) — (х' — ь) =+а)', с центром в точке (а, Ь) и с минимальным расстоянием до него с7. Задача 72Л. Наказать, ято во вснко.и треугольнике АВС на плоскости Минковского, вершины которого соединены интервалами одного рода (либо пространственнонодобными, либо времепиподобяыми), большия сторона превосходит су,чыу двух других. Например, )АВ)>)ВС~-Ь)СА~.
172.10) Изучим теперь свойства гиперболического поворота (72.6). На плоскости Минковского Хо, Х' новые оси координат Х'о и Х' имеют вид прямых хо=р 'х', х =рх', причем биссектрисой угла между ними является прямая хо=х' (рис. 72.1). Пусть единичные отрезки (ОА) и ) ОВ( изображают соответственно масштабы измерения времени и длины в непо- движной системе отсчета г.. При гиперболическом повороте точка А перейдет в точку С, лежащую на гиперболе (хо)' — (х')'=-1, а точка  — в точку Р, лежащую на гиперболе 237 (хо)з — (х')'= — 1. Так как гиперболы играют роль окружностей, то )ОС)=)ОА)=! и )02))=)ОВ)=1, т.е.
новыми масштабами (в движущейся системе отсчета 2.') будут единичные отрезки ) ОС) и )02)). Задача 72.2. Показать, чта хорды типа АА" (рис. 72.!), проведенные параллельно аен Ха, раееекаштел осьнз Х'о попалим (аналогичным свойством обладиет, очевидна, и ась Х' по отношении к харда.и гиперболы ВО). Рис. 72.1 Из указанной теоремы, в частности, вытекает, что касательная к гиперболе в точке С параллельна оси Ха Нетрудно видеть, что эта теорема является псевдоэвклидовым вариантом известной теоремы эвклидовой геометрии, гласящей, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
В самом деле, гипербола АСА" играет в пссвдоэвклидовой геометрии роль окружности с центром в точке О, а ось Х'о является ес диаметром. Следовательно, отрезки (АА"! и !ОА'( должны быть ортогональными в псевдоэвклидовом смысле. Это действительно так, поскольку их скалярное произведение (см. (72.6)] исчезает. Забегая несколько вперед, укажем, что псевдоэвклидово скалярное произвелсние двух векторов а=(ао, а') и Ь=(Ьо, Ь') на плоскости Минковского Хо, Х' определяется следующим образом (см. ! 73): (аЬ)маоЬо — а1Ь1 (72.11) Рассмотрим теперь на плоскости Минковского эффекты сокрашения длин движущихся масштабов и замедления хода движущихся часов.
Начнем с измерения длин. Пусть единичный масштаб ) ОВ) (рис. 72.1) неподвижен в системе л.„т, е, мировые линии его концов суть прямые х' =О (ось Хо) и х' =1 (касательная к гиперболе в точке В). При измерении длины этого масштаба в системе г.' мы сравниваем его с масштабом ~ 02)) в момент х'о=О (ось Х'). Пересечение мировой линии х'=1 и оси Х' дает точку В'. Таким образом, измеренная длина есть )ОВ'~. Подставляя в (72.6) х о=О, х' =1, находим х' =) ОВ') 5-у в соответствии с (69.5). Чтобы убедиться в обратимости этого эффекта, рассмотрим единичный масштаб ) ОЮ) в системе г.'. Мировые линии его концов суть х'=О (ось Х'о) и х'=1 (касательная к гиперболе в точке й).
При измерении длины этого масштаба в системе мы сравниваем его с соответствующим масштабом ) ОВ) в момент хо=О (ось Х'). Пересечение мировой линии х'=1 и оси Х' дает точку .0'. Подставляя в (72.6) х'=1 и хо=О, получаем )00')=у ' в соответствии с (69.2). Перейдем теперь к измерению промежутков времени.
Возьмем часы в системе г. (мировая линия — ось Хо) и для измерения их хода в системе г.' установим в последней еще двое часов (мировые линии — прямая 0'А и ось Х'о). Пересечение мировых линий неподвижных и движущихся часов и определяет показание неподвижных часов — отрезок времени ) ОА)=1, который, очевид- 238 но, нужно сравнивать с отрезком 1ОА'~ -- к, показанием движущихся часов.
Отрезок ~ ОА' ~ = ~ О'А ~ найдем из (72.6), подставляя туда х' = 0 и хи = 1. При этом получим ~ОА'1=х'и=у в соответствии с (70.1). Если же имеются часы в системе Т,' д" (мировая линия — ось Х'и), то для измерения их хода в системе 2.' установим в последней Я27~р,у о двое часов (мировые линии — ось Х и прямая ~уй ОиС). Пересечение указанных мировых линий в' ~ и определяет показание движущихся часов — =- — сотрезок 1ОС1=1, который следует сравнить с ~ ОС' ~ — показанием неподвижных часов. Отрезок 1ОС'~ найдем из (72.6), подставляя туда х'=0 и х'и=!, что дает )ОС'1=хи=у, 1 х' как и должно быть.
Рис. 72.2 На плоскости Минковского наглядно разьясняется и парадокс часов. На рис. 72.2 изображены мировые линии часов А (ОВ'ВиА) и часов В (ОВА). Длины этих мировых линий, деленные на скорость света. и определяют показания часов А и В. Так как отрезки, образующие треугольник ОАВ, времениподобны, то можно применить неравенство (72.10), из которого выводим, что (72.12) (АО)>)АВ|+ ~ВО ~, т. е.
часы В покажут меньшее время, чем часы А. В нашем примере (рис. 72.2) 1АО1=7, 1АВ1+ (ОВ1=6, причем линии синхронизации (одновременности) для часов А изображены штрих- пунктиром, а для часов  — штрихом. Так как неравенство (72.12) содержит лишь интервалы, т. е. имеет инвариантный характер, то эффект отставания часов В от часов А также инвариантен, т.
е. должен наблюдаться в любой инерциальной системе отсчета. Однако система Е', связанная с часами В, неинерциальна, поэтому, строго говоря, парадокс часов может быть разрешен только в результате распространения понятия интервала на неинерциальные системы отсчета (неинерциальное движение тел), что достигается заменой (72.2) выражением для бесконечно малого интервала <Ь=(сЧТ' — сИ')"'. Тем не менее на плоскости Минковского можно отчетливо увидеть, как проявляется этот эффект неинерциальности.
В самом деле, на участке ОВ, где система 2,' инерциальна, ход часов А отстает от хода часов В, так как ~ ОВ' ~ < ~ О В|. Однако в окрестности точки В, где скорость системы 2.' изменяется, происходит поворот линий синхронизации часов В на угол В'ВВ" и при этом возникает поправка ~ В'В" ~ в оценке показаний часов А в системе Х'. Ее учет и позволяет разрешить парадокс, так 239 как, несмотря на дополнительное отставание хода часов А от хода часов В на участке ВА (! В" А ! < ! ВА !), окончательный результат определяется неравенством (72.12). Здесь, пожалуй, уместно привести слова известного немецкого физика-теоретика А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
