Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Очевидно, в системе Х к=( — /соыпФ, — /сосозФ, О); /со=а/с, и преобразованием Лоренца получаем: о у(1го р)г г) /с г 7(/с з (3/со) /с г /с г /с з /с з (77 7) Так как в системе Х' К'=( — й'ояпд', — /с'о соз1р', О); /с'о=в/с, то из (77.7) находим в'=1»у(1+ р яп Ф), ып ср'=(р+яп Ф)/(1+(3 яп Ф).
(77.8) Эти общие формулы и дают объединенное описание аберрации и эффекта Доплера. В частности, при ср = О получаем чистую аберрацию, а при 1р=к/2 — чистый эффект Доплера (продольный). Так, при ср=О является изменение частоты света аз'=(оу, часто называемое поперечным эффектом Допяера.
Рис. 77.4 Задача 77.3. Найти закон отражения свен(а от движущегося зеркала, скорость з которого ориентир(жана произвольно относительно зеркала. Задача 77.4. Описать аберрицию и э44ект Доплера для света в прозрачной среде с показателем преломления п(о)). Найти поправку к коэффициенту увлечения Френеля, обусловленную эффектом Доплера.
Задача 775. Описать аберрацшо и эффект Доплера для полей 4(ь (х), подчиняющихся уравнениям (П .ь тз) 4(з = О. Задача 77Л. Показать, что в «эфирнойч теории получистся правилькый угол аберрации, если учесть сокращение Лоренца — Фицджеральда. Задача 77.2. Источник света движется относшпельно наблюдателя со скоростью ч. Как связаны между собой видимое и истинное положения ис(ночника? Рассмотреть случай двойной звезды, неподвижной относительно наблюдателя и вращающейся с некоторой уг.твой скоростью (рис. 77.4).
Можно ли утверждать, что в соответствии с формулой (77.8) в том положении, когда компоненты звезды находятся на одной яинии с наблюдателем ((р=О), они будут каза(пься простринственно разделенными? Для описания релятивистского эффекта Доплера предположим в (77.8) (р=п?2 и найдем « =,(2, .
= з((-,-ы=, (.«,)(('-,). (77.(0) Очевидно, что релятивистская формула для продольного эффекта Доплера совпадает с классической формулой (77.2) лишь в пределе медленных движений. ГЛАВА РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ В этой главе мы дадим ковариантную формулировку уравнений Максвелла и изучим движение точечной заряженной часпгицы в злектромагнигпном поле.
Последовательно распространяя принцип относительности на те или иные физические явления, т. е. придавая соответствуюи(им уравнениям ковариантный вид, можно убедиться, что различные физические величины, которые в трехмерной формулировке теории выступали как независимые, гпеперь оказываются объединенными в самостоятельные структуры (четырехмерные тензорый поскол~ку при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую они взаимно преобразуются. Наглядная геометрическая интерпрепгация теории относительности, предложенная Минковским, оказалась чрезвычайно плодотворной при построении релятивистское формы уравнений динамики материальных частиц, в том числе с учетом силы реакции излучения.
$ 78. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ Ковариантность какого-либо закона природы по отношению к преобразованиям Лоренца, очевидно, соблюдается, если этот закон удается представить в виде системы четырехмерных тензорных уравнений. Попробуем представить в явно ковариантной форме уравнения Максвелла в вакууме: йуЕ=4яр, йч В=О, ! гзе 4я. (1) ! гв (11) (78 !) го!  — —— го! Е+ — — — = О. сбг с с бг Но сначала обрагим внимание на то, что из уравнений (78.!) вы гекает уравнение непрерывности ар (г)(+ г!!у! = О, (78.2) выражающее закон сохранения электрического заряда.
Этот закон универсален, т. е. выполняется в любой инерциальной системе отсчета, и поэтому уравнение (78.2) должно быть лоренцковариантным. Это возможно лишь в случае, когда его левая часть является релятивистским скаля ром. Такое представление 253 левой части (78.2) оказывается действительно возможным, если ввести 4- вектор плотности тока ~' с компонентами* у"=(ср,)); ср=— у'о.
(78.3) Тогда уравнение (78.2) принимает вид д„~" =О, (78.4) т. е. его левая часть является четырехмерной дивергенцией. Закон сохранения электрического заряда можно записать и в интегральной форме, если проинтегрировать (78.4) по некоторому 4-объему П, окруженному замкнутой гиперповерхностью о, и использовать четырехмерную теорему Гаусса--Остроградского (74.14): 1 у "с(о„= ) у "с(оя. 2 е Оно означает, что инвариантный интеграл (78.б) Д~стЗ=- у "с)сук=- п„у "с(ст (78.7) оказывается не зависящим от выбора пространственноподобной гиперповерхности о. Поэтому в качестве последней можно, например, выбрать гиперповерхность хо =сопзг, для которой вектор нормали имеет компоненты п„=(1, О, О, 0), поэтому с)па=(с))г, О, О, 0). Тогда равенство (78.7) йринимает вид Д =) рс((г=сопзг (78.8) (иптегральный закон сохранения электрического заряда).
Из структуры 4-вектора плотности тока ув=(ср,)) нетрудно вывести закон преобразования плотностей заряда р и тока 1 при преобразованиях Лоренца (67.18): " Здесь еще раз проявляется присущая теории относительности тенденция к обьединенню компонент различных трехмерных тензоров в один четырехмерный тензор. Эту тенденцию мы неоднократно будем наблюдать и в дальнейшем. 254 у нс(Д уу'Яс(о О (78.5) а а Предположим теперь, что заряды и токи, как это обычно имеет место, сосредоточены в некоторой ограниченной области пространства. Тогда в качестве четырехмерной области й можно взять 4-объем, заключенный между двумя пространственноподобными гиперповерхностями ст, и о (рис.
78.1). Поскольку вклад бесконечно удаленных областей в интеграл (78.5) будет исчезающим, равенство (78.5) примет вид Р=7(Р+7 й)с ), 7 =7(7 +Рй), — й 7 =/ 7 =./ (78.9) В частности, если в системе отсчета 7 Х' заряды были неподвижны и распределены с некоторой плотностью р', то 7'и=(ср', О, О, 0) и поэтому в системе Х, относительно которой заряды движутся со скоростью й вдоль оси Х, Рис. 78.2 согласно (78.9), имеем Р=УР', З=УР'7=РУ. (78.10) Таким образом, появляется конвекционный ток с плотностью ру и вследствие лоренцева сокращения масштабов в направлении движения происходит увеличение плотности заряда. В другом частном случае, когда в системе отсчета Х' имелась лишь плотность тока 1~0, а плотность заряда была равна нулю, т.
е. 7п=(0, )'), в системе Х найдем: 7'=77', 7з=/', 7'=/", р=1" уь/сз=/'й/с'. (78.11) Если увеличение плотности тока можно объяснить тем же лоренцевым сокращением масштабов, приводяшим к уплотнению движущихся зарядов, то появление некоторой плотности заряда р представляется на первый взгляд парадоксальным и противоречащим закону сохранения заряда. Однако на самом деле никакого противоречия здесь нет. Действительно, если р'=0 в системе Х', то из уравнения непрерывности (78.2) следует, что «11у'1'=О, т.
е. токи должны быть замкнутыми (рис. 78.2). Поэтому, если проводник с током привести в поступательное движение со скоростью у, то согласно (78.11) на участках с противоположными токами возникнут и противоположные плотности заряда". При этом результирующий заряд Д в проводе, очевидно, равен нулю, что следует уже из инвариантности заряда: О=(рн =О =)р ОГ=О. Задача 78Л. Вычислить электрический и магнитный дипольные моменты плоского линейного кругового тока 7 радиуса а, перемещающегося со скоростью ч. 8 79.
КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Так как в уравнения Максвелла (78.1) кроме источников р и ь образующих 4-вектор, входят только векторы электромагнитного поля Е и В, то лоренц-ковариантность уравнений (78.1) может лишь означать, что пара векторов Е и В при преобразованиях Лоренца выражается сама через себя. Иначе говоря, векторы ' См. задачу 6.2. 255 0 — Е, — Ег — Ез Е, 0 — Вз Вг Ег Вз 0 — В, Ез Вг В1 0 (79.3) кк ик Екк Что касается второй группы уравнений Максвелла, то, предварительно записав их в декартовых координатах: (1 + д 1 В 1 + д 2 В 2 + д 3 В 3 доВ1+ 0 дгЕз+дз Ег = 0 доВ2+дгЕз+0- дз Ег =0 — доВз д1Ег+дгЕ,+0=0, убеждаемся, что они допускают ковариантное представление: с„Г" =О, (79.4) где компоненты тензора Г"" изображаются антисимметричной матрицей 0 — В, — Вг В, 0 Е, Вг-Е, 0 Вз Ег — Е, — Вз — Е г 0 к'Ик ке кв (79.5) ' Напомним, что у трехмерных векторов Е, и ковариантные и контравариантные компоненты совпадают, т е К,=Е' и В,=В'.
256 электромагнитного поля являются компонентами некоторого четырех- мерного тензора. Единственным 4-тензором с шестью компонентами явзиется антисимметричный тензор второго ранга. Обозначая ком- поненты этого тензора Ги', попытаемся определить его структуру, приведя к явно ковариантной форме левые части уравнений (78.1). Начнем с первой группы уравнений Максвелла. Для удобства запишем их в декартовых координатахе: О+д, Е, +а, Е,+дзЕз =(4п/с)уо, доЕ1+О+дгВз дзВ2=(4а/с)7', — доЕг — д, Вз+О+ дз В, =(4п/с) 1, (79.1) — доЕз+дгВг дгВ1+0=(4к/с)/~.
Нетрудно видеть, что уравнения (79.1) можно представить в четырехмерной форме: даГи" = 4п7'/с. (79.2) При этом контравариантные компоненты тензорн Г"", обычно называемого тензором электромагнитного поля, изображаются антисимметричной матрицей Легко проверить, что тензор Г"' является дуально сопряженным тензору Г"', т. е. связан с ним соотношением Гие= ко" 'Г„/2, (79.6) и поэтому (79.4) можно переписать и как уравнения для Г„„: д „Г„+ д„Г,„+ д, Г„„= О. (79.7) Задача 79Л.
Убедиться я энеинаяентности зраннений (79 7) и (79А). Итак, ковариантная запись уравнений электродинамики Максвелла в вакууме дается системой уравнений (79.2) и (79.7). 5 80. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Для получения формул преобразования векторов Е и В электромагнитного поля при переходе к движущейся системе отсчета можно, безусловно, воспользоваться законом преобразования компонент тензора Г"": Е~ =Е~, Е'„= У(Ег+[9В)/с), В~,=В, Вг=у(В,— [аЕ3/с), (80.3) 9 зен 378 257 Г ие ЯэилЯГе а э Однако существует и более короткий путь, основанный на использовании свойства антисимметрии тензора электромагнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
