Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Так как электромагнитное поле в среде порождается плотностью полного 4-тока 7+7'""', то в соответствии с (79.2) имеем д„ри"=(4я/с)( 1'"+1"„„), (83.4) или с учетом (83.3) д„6"" =(4я/с) /", (83.5) 262 При наличии среды, очевидно, изменится лишь первая группа уравнений Максвелла, содержащая плотности связанных зарядов и токов. Поэтому нам следует записать в ковариантной форме только уравнения связи между поляризованностью Р и намагниченностью М, с одной стороны, и плотностями связанных зарядов р""* и токов )""* — с другой.
Как известно, эти уравнения имеют вид где введен новый антисимметричный тензор 6""= Е"" — 4яЯ"". (83.6) Соотношение (83.6) представляет собой ковариантную запись известных трехмерных уравнений: 0=Е+4яР, Н= — 4яМ. Поэтому структура тензора 6"" задается следующей антисимметричной матрицей 0 — Р, Р, 0 Рз Нз Рз Нз — Р— Нз 0 Н, — Р з Нз — Н, 0 6ят (83.7) Предположим теперь, что нам известны трехмерные тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей 8 и р, входящие в феноменологические уравнения состояния неподвижного вещества (система отсчета з.'): Р " = с1 Е ', В " = р1 Н ' ". (83.8) Очевидно, что этими уравнениями, записанными предварительно в ковариантной форме, и следует дополнить системы уравнений (83.5) и (79.7).
Поскольку уравнения (83.8) задают линейную связь двух 4-тензоров 6"" и ГЯ", их ковариантная запись должна иметь вид 6ян ) нтЕет (83.9) е Релятивистский тензор пронинвемос сей впервые был введен советским физиком Н. и, Таммом. 263 Введенный здесь 4-тензор проницаемостей Х",", очевидно, антисимметричен по верхним и нижним индексам". Чтобы выписать его компоненты в собственной системе вещества Х', воспользуемся соотношениями, вытекающими из структуры тензоров 6"" и ЕЯ'. 6'о'= — Р", Г'о'= — Е", 6""= — гноН,'з В;'= — гамГ'"' 2. (83.10) С помощью (83.10) уравнения (83.8) можно представить в виде 6'о!=с1Г'ок 6'ай еййс (Р 1)!Е «/2 (83 11) Сравнивая (83.11) с (83.9), находим следующую структуру тензора Х',и," в собственной системе з.' среды; ) ок =се/2; т й'=Хек — — О, 7 „",„'=с'"зава„(1з );/2 (83 12) В частном случае изотропной среды, когда с,'=нб', и р,'=рб'„, 'оок нб~(2 ) а аа'с, Д21з)=(8' 8' — 8'Ьк )/(2)з) (83 13) В' = рН', Р' = аЕ'.
Однако известно, что если два 4-вектора параллельны в некоторой системе отсчета, то они параллельны и в любой другой. Поэтому, вводя скалярные величины 8 и р, определяемые соответственно как диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в ее собственной системе отсчета, уравнения связи (83.9) можно заменить следующей парой уравнений: 23в=аЕ", В"=рН', или С "»(7 =аЕ'»((, Р"»~/ =рб "»(7 . (83.15) Уравнения (83.15) известны как уров»ения Минковского для движущихся сред.
В трехмерной форме они принимают такой вид: Р+[нН]1'с» а(Е+[вВ]/с),  — [вЕ]) с =р(Н вЂ” [в0] / с). (83.16) Задача 83.2. Показать, что из уравнений Минковского (83.15) вытекают следующие соотношения между тензорами 6'Ь и Р'Ь: (6'> — еР'")(6.> — еР>)=(Р" — »6"')(Р ь — »6.>)= = (6 '" — ер "» ) (Г,ь — р 6„» ) = О, или в трекиерной Форме: (!3 — еЕ) (е — Н)=( — »Н) (Š— «Н)=0, (Г> — еЕ).(Š— »Н) 1-( — «Н) (в — Н)=0.
(83.18) Задача 83.3. Показить, нто ковариантной Формой д«ФФеренвиальиого закона Ома в среде с изотрояной злсктроороводимостыо о является уравнение > «=(о>с) Р"" 6„. (83.1 9) Задача 83.4. Зависать граничные условия (12.8) в ковариантной Форме. (83.! 7) 264 Переходя к системе отсчета Х, относительно которой среда движется с некоторой скоростью и, с помощью (83.12) или (83.13) всегда можно восстановить компоненты тензора ).«," в системе Х и записать, таким образом, уравнения Максвелла в среде в ковариантной форме: >3 6«" (4я/с)7» 6«" 2«»Ев» о«Г„,+с)„Е „+д,Г„,=О. (83.14) В случае изотропной среды, как было впервые показано Минковским, уравнения связи (83.9) могут быть значительно упрощены. В самом деле, используя 4-скорость 17 среды, введем 4-векторы Е"=Г«"(7)с, В«=Р«" СЦс, 2)«=6«'(7,/с, Н«=6«'0„)с, обладающие тем свойством, что в собственной системе среды они сводятся соответственно к Е', В', Р', Н', между которыми существует связь 4 84.
уРАВнения минкОВскОГО Уравнения динамики материальной точки, предложенные Минковским, внешне имеют ту же форму, что и уравнения Ньютона, но оперируют с четырехмерными величинами (4-координатами, 4-скоростямн, 4-ускорениями и 4-силами), характеризующими движение частицы в псевдоэвклидовой геометрии Минковского. Уравнения Минковского имеют вид дх (84.1) (84.2) 1У„бГ" /от=0, с учетом которого из (84.1) выводим и„,Х" = С,,м ' — (и,Р ) =О.
(84.3) Соотношение (84.3) позволяет выразить Х' через Х: У0 (УН)~б 0 (Ув)1с (84.4) Таким образом, сХ ~ при и << с совпадает с мощностью внешней силы, т. е. с.~~" =(,~ и) =(Рп). Это обстоятельство наводит на мысль, что временнбе уравнение Минковского является ковариантным обобщением теоремы живых сил в механике Ньютона. Чтобы проверить эту догадку, запишем 4г'ссг~ в предельном случае и<<с: (84.5) 2 Скалярная числовая величина 4' в этих уравнениях характеризует инерционные свойства частицы и называется ее собственной массой. Роль времени в уравнениях Минковского играет инвариантное собсииенное время т частицы, роль скорости 4-скорость б', а роль силы 4-вектор силы Х, являющийся обобщением трехмерной ньютоновской силы Р.
В предельном случае медленных движений, когда и « с, пространственные компоненты 4-скорости 11 переходят в обычную трехмерную скорость и, а собственное время дт=дг(1 — из/с~)ьз перестает отличаться от ньютоновского времени Ж. Поэтому если потребовать, чтобы пространственные компоненты 4-вектора силы йк также переходили в этом пределе в ньютоновскую силу Р, то пространственные уравнения Минковского, очевидно, будут удовлетворять нужному принципу соответствия с уравнениями динамики Ньютона. Остается лишь выяснить смысл временного уравнения Минковского (р = 0). Для этого воспользуемся тождеством 0 11"=с', или и 265 Поскольку еУс' является постоянной величиной, временное уравнение Минковского в этом приближении принимает вид ,-',(,-' ")=("). т.
е. в самом деле совпадает с теоремой живых сил. Итак, мы пришли к выводу, что уравнения Минковского выражают закон изменения энергии и импульса частицы под влиянием внешних сил. В связи с этим введем понятие 4-импульса частицы (84.6) ге= й'У, компоненты которого удобно представить в виде У" =(тс, тп), где (84.7) тке (84.8) /! „г(сг Тогда уравнения Минковского записываются в следующей ковариантной форме: с!ун ~ дт =~~я (84.9) Замечая, что с(т=йс(1 — из/сз)п'-, и вводя обозначение г=е~~- '~ ', (84.10) уравнения Минковского можно записать и в трехмерной форме: — "(тс')=(Рп), — '! (тп)=Р.
(84.11) Трактуя первое из уравнений (84.11) как теорему живых сил, мы видим, что энергией частииы в релятивистской механике следует назвать величину Е тег (84.12) а релятивистским импульсом--вектор Р=тв. 266 (84.13) По аналогии с ньютоновским выражением для импульса величину т называют инертной или динамической массой. В отличие от собственной массы .Ф частицы она переменна, т.
е. зависит от скорости и частицы в соответствии с (84.8) и, кроме того, является не скаляром, а временной компонентой 4-вектора. Таким образом, в трехмерной интерпретации уравнения релятивистской динамики описывают движение частицы с переменной массой т(и), которая оказывается связанной с энергией Е частицы соотно!пением (84.12). Последнее было впервые получено Эйнштейном и часто называется соотз<ошением эквивалентности энергии и массы. Задача 84.!. Вывести соотношение эквивалентности Эйнштейна, воспользовавшись допущением, что взаимодействие между частицами передается со скоростью света, а также приняв, что в дополнение к закону сохранения энергии выполняе<тя закон сохраненил инертной массы.
Получить отсюда зависимость (84.8). В связи с соотношением эквивалентности Эйн1птейна обратим внимание на важную особенность релятивистской энергии Е=тс'. лля неподвижной частицы она не обращается в нуль, как нерелятивистская кинетическая энергия тиэ(2, а оказывается равной постоянной величине Ео=Мс~, (84.14) называемой собственной энергией части<(ы. Если в нерелятивистской механике энергия материальной точки определяется из теоремы живых сил <(Е=(ЫР1 с точностью до алдитивной постоянной, то в релятивистскои теории отбросить постоянную Ео, не нарушив тензорных свойств Е, очевидно, нельзя. В самом деле, разность Š— Ео уже не является компонентой какого-либо 4-тензора, поскольку Еа — скаляр, а Š— временная составляющая 4-вектора. Отметим, что, согласно определению (84.6) 4-импульса свободной частицы Яви=(Е)с, Р), его инвариантная длина связана с важной характеристикой частицы — ее собственной массой .4'.
Я=()зе„эуи)з<з'(с=(Е' — сэРз)з<з(сэ=(пц. (84.15) Задача 84.2. Показать, что элемент обье.иа бг=двлз<(РздРэбхздхзбхэ (84.! 6) фазового пространства частицы с собственной массой .,4' является инварнантом ортохронных преобразований Лоренца. Показать также, что инвариантом собственных преобразований Лоренца является величина бо — без 'доз'дт' / Ель (84.17) $ 85. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Если материальная точка обладает электрическим зарядом е и находится во внешнем электромагнитном поле, то на нее действует сила Лоренца, которую необходимо записать в четырехмерной ковариантной форме, т.
е. выразить 4-вектор силы ~~ через тензор Еи" электромагнитного поля и 4-скорость (7 частицы. Известно, что всегда можно олнозначно восстановить 4-вектор силы Х по нерелятивистской силе Р. Существует несколько методов такого восстановления. Самый наглядный среди них— 2б7 прямой метод. Он состоит в следующем. Допустим, что в некоторый момент времени 1 частица имеет скорость и. Тогда можно рассмотреть ее движение в инерциальной системе отсчета Е', движущейся именно с этой скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
