Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ясно, что для моментов времени, бесконечно мало отличающихся от момента 1, скорость частицы близка к в, т. е. движение ее в системе Е' заведомо нерелятивистское. Поэтому уравнения движения в системе Х' имеют известную нерелятивистскую форму: ЙЕ'/с)1'=(ц'Г), с(Р/сгР=Е', (85.!) где предполагается известным вид силы Р'. Теперь, чтобы найти 4-вектор силы Х, достаточно лишь совершить переход к неподвижной системе отсчета.
Задача 85Л. Найти ярямы.и .методом 4-вектор сипы Лорепво ~х. Восстановим 4-вектор силы Лоренца на основании принципа соответствия. Замечая, что нерелятивистская сила Лоренца Г=е(Е+(нВ) /с) (85.2) линейна по электромагнитному полю, попытаемся построить 4-вектор силы ~х так, чтобы он был линеен по тензору )ои" электромагнитного поля. Так как из других тензоров, согласно (85.2), можно использовать лишь 4-вектор скорости () частицы, то единственное приемлемое выражение для Хи имеет вид 5Р о — Р от (г' (85.3) где постоянная и должна определяться из принципа соответствия*.
В пределе медленных движений выражение (85.3) сводится к следующему: Хи=и((Ен), сЕ+(цВ)), и его сравнение с (85.2) показывает, что необходимо выбрать а=с/с, т. е. Уи=еги'(1,1с. (85.4) Таким образом, уравнения Минковского, описывающие движение заряда в электромагнитном поле, принимают вид (85.5) Ж с Отделяя в (85.5) временную и пространственные компоненты, находим (85.6) * другая возможная комбинация ре" 0„, также линейная по ре", отпадает, так как является псевдовектором.
268 или после подстановки ()т=()г(1 — из(сз)г(з и введения инертной массы т — ( ')= (е), — ( )= (е+)(В)). (85.7) 8 86. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Полученные выше релятивистские уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле, так же как и соответствующие нерелятивистские уравнения, могут быть выведены из принципа наименьшего действия, т. е. записаны в лагранжевой форме. Как известно из классической механики, для голономных систем, подверженных действию консервативных сил, можно построить главную функцию Гамильтона, или функцию действия, 'г о = ) е.
(д, () ) г)6 (86.1) выражаемую через лагранжиан Ь системы, являющийся некоторой функцией обобщенных координат (1 и скоростей с). В частности, для точечной частицы массы гу, движущейся в силовом поле с потенциальной функцией К(г), лагранжиан равен Т.(г, г)= и'гг/2 — К(г). (86.2) При этом основные уравнения механики имеют вид уравнений Лагранжа (86.3) которые могут быть получены из вариационного принципа бо =0 (86.4) при дополнительном условии бд(г()=8(7(~,)=0. 269 Временное уравнение в (85.7), очевидно, представляет собой релятивистскую теоре.чу живых сил и получается из пространственных уравнений скалярным умножением на н.
Задача 85.2. Найти закон движения заряженной настави массы й' в параллельныз электрическом Е и магнитном В поляк, которые считаются постоянньгми и однородными. В заключение отметим, что в полученных релятивистских уравнениях движения заряда во внешнем электромагнитном поле не учитывается собственное поле заряда, т. е. сила реакции излучения считается пренебрежимо малой. Такое предположение оправдано только для движений в слабых электромагнитных полях, когда ускорения, испыгываемые заряженной частицей, малы.
В дальнсйшсм мы снимем это ограничсние и получим релятивистское выражение для силы реакции излучения. В релятивистском случае вариационный принцип (86.4) должен быль представлен в лоренц-ковариантной форме. Для этого необходимо, чтобы действие Я было релятивистским скаляром. Если рассматривается движение частицы во внешнем поле, то, как известно из классической механики, элементарное действие Ю можно записать в виде Ж=(Рбг) — Н й, где Р— обобщенный импульс частицы, Н вЂ” гамильтониан. с)о можно представить в форме скалярного произведения: с),5= -У„с)хи, (86.5) если ввести 4-вектор ада='1Н с, Р). В частности, для свободной частицы собственной массы М имеем У= зе У, поэтому с)Я= —..зе'сз' с1ха= — ее сз' Цис1т= — йсзс)т.
Таким образом, для свободной релятивистской частицы ь-вл1ь= — е",П 7 ' (86.6) В нерелятивистском пределе 1и«с) лагранжиан сводится к — зт'сз+.,Пиз/2+ ..., т. е., с точностью до аддитивной постоянной, к кинетической энергии частицы. Чтобы установить структуру обобщенного 4-импульса У для заряженной частицы в электромагнитном поле, заметим, что лагранжиан с., отвечающий нерелятивистскому движению заряда е в электростатическом поле с потенциалом ср, содержит слагаемое — еср.
Таким образом, обобщенный 4-импульс У должен быть линейным по электромагнитным потенциалам. Единственным таким 4-вектором будет лишь комбинация вида рк = ..зг'~l+ пА. (86.7) Следовательно, — еф появится в лагранжиане при а=о/с. Итак, в присутствии электромагнитного поля .,е» К~3и+еАа~с (86.8) что приводит к функции Лагранжа Е.= —.йс' /1 — и'(с' — еср+е1нА)/с (86.9) и функции действия — — йсз+е 1 Ни с (86.10) Задача 8бд.
Показать, что лагранжиан (8б.91 приводит к правильнььи ррив- нениям движения заряженной частицы в злектро.магнитном поле. 270 В качестве поучительного примера использования релятивистских уравнений Лагранжа рассмотрим классическую задачу о бета- троне, т. е. задачу о движении заряженной частицы в переменном аксиально-симметричном магнитном поле В. Пусть в цилиндрических координатах г, а, г компоненты магнитной индукции В имеют вид В„=В„'16 г, г); В„=О; В,=В,16 г, г). Введем вектор-потенциал А, положив А„=А,=О; А„=А16 г, г); В,= — дА/дг; В.=г 'д1»А')~д». Тогда Г А = — В, 2кгс)г = —: — - (В,), 186.11) 2л» ) ' 2лг 2 о где Ф- — магнитный поток сквозь окружность радиуса г; (В,)— средняя индукция магнитного поля внутри этой окружности. Запишем теперь лагранжиан 186.9) в цилиндрических координатах: 2.= —.й'сг [1 — 1»'+ггаг+гг)1сг) пг+1е7с) гаА С его помощью получаются следующие уравнения Лагранжа: — '1тг)=тгаг+-а „— тг'а+-гА =О, Ф с ' Д»~ с 186.12) — 1тг) = — — гаВ„, в .
с в» с где точкой обозначена полная производная по времени и введена инертная масса т= »» [1 — 1Г +Г а +г )/с Выясним теперь возможность существования стационарной круговой орбиты г=О, »=Я. В этом случае уравнения 186.12) будут удовлетворены, если В„=О, т. е. В,=В, и та+-В=О, — тЯа+-А =О. (86.13) с Ж~ с Отсюда с учетом 186.11) находим необходимое условие существования стационарной круговой орбиты, получившее название бетатронного условия: —  — -(В) =О. 186.14) Оно означает, что индукция магнитного поля на стационарной круговой орбите меняется в два раза медленнее, чем средняя 271 индукция внутри орбиты.
Если в начальный момент времени В=О, то из (86.14) получается более простое условие Видероэ: 2В=(В). (86.15) Найдем закон изменения энергии частицы Е=тс' с изменением индукции В магнитного поля. Для этого достаточно воспользоваться теоремой живых сил — (те з) = — 5 ВпА ш с и исключить сс с помощью (86.13). Тогда --(Е2) = — 2етсКссА = — (васс'В ), что соответствует следующему закону изменения энергии с ростом индукции магнитного поля: Е=(е'В'В'+сопят)"'. (86.16) я 87. ГАмильтОнОВА ФОРМА УРАВнений ДВижениЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно также представить в форме канонических уравнений Гамильтона: =(Н вЂ” еср)"С с' — (Р— еА/с)~. Разрешая (87.4) относительно Н, получаем Н=с((Р— еАСс)2+ сс ~с~) "з+еср.
(87.5) 272 д,=с)Н/др, р,= — дН/дде (87.1) Для этого следует, пользуясь лагранжианом (86.9), определить канонические обобщенные импульсы р,=дЕ/дс)а (87.2) разрешить уравнения (87.2) относительно обобщенных скоростей сь и, наконец, построить гамильтониан системы Н=~р,д,.— Е, выразив его через обобщенные координаты и импульсы да р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
