Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Зоммерфелвда, который в примечании к очередному изданию статьи Г. Минковского «Пространство и время»* писал: «Как отметил Минковский в одной из бесед со мною, элемент собственного времени с(т не есть полный дифференциал. Таким образом, если соединить две мировые точки О и Р двумя различными мировыми линиями ! и 2, то )с)тэь)с)т. Если первая мировая линия проходит параллельно 1 2 оси д вследствие чего первый переход в координатной системе, положенной в основу, означает покой, то легко видеть, что 1 с(т = д 1 Ж < д ...
Для того чтобы можно было сравнивать 1 2 движущиеся часы с часами. покоящимися в мировой точке Р, первые, конечно, должны быть ускорены (путем изменения скоростей или направлений). Отставание движущихся часов указывает, следовательно, не столько на «движение», сколько на «ускоренное движение». Поэтому здесь нет противоречия с принципом относительности». б 73.
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ вЂ” Ру ΠΠ— !37 Т О О О О ! О О О О 1 (73.2) где !3=»/с, 7=(1 — !32) "2. Обратное же преобразование осуществляется с помощью матрицы Л ' (р) = Л ( — !3). В дальнейшем * 11тиияовский Г. Пространство и время. — В сбл Принцип относительности. Л., 1935. С. 208- -209. Преобразования Лоренца представляют собой действительные линейные преобразования координат хо, х', х2, хз, сопоставляемых каждой точке четырехмерного пространственно-временного континуума: з х'"= ,'1 Л„"х"„' р=О, 1„2, 3. т=о При этом матрица преобразования Л, называемая иногда митрицей Лоренца, для перехода к системе отсчета, движущейся вдоль оси Х', имеет вид для упрощения записи мы будем принимать правило суммирования Эйнштейна с условием, что латинские индексы з, 7', зс, 1, нумеруют пространственные координаты (компоненты) 1, 2, 3, а греческие р, т, о, т, ...— пространственно-временные О, 1„2, 3.
Закон преобразования (73.1) можно положить в основу четырехмерной классификации всех физических величин совершенно аналогично тому, как это было сделано в трехмерном случае (см. приложение). Начнем с определения четырехмерного вектора (сокращенно — 4-вектор). Именно: контравариантными ко,чпонентами 4-вектора а назовем совокупность четырех величин ао, а', а~, аз, которые при преобразовании Лоренца изменяются так же, как координаты х", т. е. по закону а'" = Л„"а". (73.3) Контравариантными компонентами 4-тензора ранга п назовем величины т" -", которые при преобразованиях Лоренца изменяются так же, как произведения соответствующих компонент 4-векторов: (73.4) тцн -""=л"' ...
Л""ть Используем теперь важную особенность физического пространства-времени, открытую Минковским и состоящую в том, что геометрия пространственно-временного континуума является псевдоевклидовой. Согласно Минковскому, мерой расстояния между двумя близкими точками х и х+ с)х является элементарный интервал с)в, квадрат которого равен сЬ~=1с)х ) — 1с)хз)' — (с1хз) — 1с1хз)'=я„„с1хис)х". (73.5) Здесь мы ввели псевдоевклидов четырехмерный метрический тензор яи„, определяемый диагональной матрицей ~(8„„~(=с)1~8~1, — 1, — 1, — 13 (73.6) и, очевидно, совпадающий со своим обратным; 18 ) — = 8 =8 Задача 73Л. Покизипзь, что метрический тензор 173.6) инворионтен при преооризовониях Лоренцо. С помощью метрического тензора ди„можно ввести коварионтные компоненты 4-вектора а, полагая а„=яи„а", (73.7) т.
е, аи=ао, а;= — а'. Закон преобразования ковариантных компонент следует из инвариантности интервала относительно преобразований Лоренца. Вводя соответствующую матрицу преобразования Л (73.8) с учетом (73.7) имеем <Ьз = й)хорхи = й)х'„бх'и = й)х„ЩЛ",й)х'. Отсюда Л'„Л," = б,", (73.9) т. е. ковариантные компоненты преобразуются с помощью обратной транспонированной матрицы Лоренца Л = ~Л Из этого результата 'сразу же следует, что псевдоэвклидово скалярное произведение двух 4-векторов а=(ао, а) и Ь=(Ьо, Ь), определенное как (аЬ) = а Ь вЂ” (аЬ) = аиЬи = апЬи, является инвариантным при преобразованиях Лоренца.
В зависимости от знака своего квадрата аз =(аа) 4-вектор а называется времениподобным (аз>0), проетранственноподобным (аз<0) или изотропным (аз=О). Задача 73.2. Показать, что два ортогона,зьных изотропных 4-вектора параллельны, т. е. из а 2 Ь =(аЬ)=0 следует, что аь=хбь, где ь некоторый скаляр. По аналогии с (73.7) нетрудно определить ковариантные компоненты тензора ранга и: Т„„=я„,„, ...яь чт" -", (73.11) а также его смешанные компоненты: (73.12) где п=т+ Ь Закон их преобразования очевиден: Т,' „=Л" ..,ЛчТ„ч, 7'"' н=Л"'...Л""Л"'...Л" Т" ". (73.13) Из структуры (73.6) метрического тензора яи„вытекает, что при опускании или подъеме некоторого индекса ч компонента тензора не меняется, если и=О, и меняет знак, если и=1=1, 2, 3.
Тензор ранга и> 2 называется либо симметричным, либо антиеимметричным по некоторым индексам и и ко если при их перестановке его компоненты не меняются либо соответственно меняют знак, т. е. 7,.ч.ч Задача 73.3. Показать, что при препбразоваииях Лоренца своиство симметрии или антисимметрии тензора сохраняется. Подсчиепить число независимых компонент симметричного тензора ранга и. Имея два тензора М и Лс рангов т и и соответственно, можно образовать новый тензор ранга т+и с компонентами 7 и, и.,- ъ Мп, -п.1ьзч- ь 242 Эта операция называется внешним или тензорным умножением.
Ее можно дополнить операцией свертки, когда некоторые верхние индексы полагаются равными соответствующим нижним индексам и по ним производится суммирование: Т"' " *=М"' "" "'"'Л! .ч„,«, «,. Очевидно, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности, свертка в тензоре второго ранга приводит к скалярной величине, называемой шпуром или следом этого тензора: Построенная нами четырехмерная классификация физических величин, т. е, представление их в виде компонент релятивистских тензоров различных рангов*, не является, однако, полной, поскольку мы ограничились' собственными преобразованиями Лоренца, представляющими собой лишь частный случай общих преобразований Лоренца.
Последние обычно определяются как линейные преобразования вида (73.1), оставляющие инварнантной фундаментальную квадратичную форму (73.5). Очевидно, что общие преобразования Лоренца включают в себя помимо чистых преобразований Лоренца типа (73.2) еще трехмерные повороты, задаваемые ортогональными матрицами вида Лоо=1 Ло=Ло 0 !Л)ис)е!Л=1, а также отражения пространства и времени, для которых соответственно Л=+Д1айР, — 1, — 1, — 1)=+ ~~у„„~~. Задача 73.4.
Вывести иэ инвириантноети Ве«, что ~Л~= Ь! и э 1Л,')'=)-ь 2, (Л',)'>!. (73.)4) '=1 В связи с неравенством (73.14) общие преобразования Лоренца разделяются на два класса: а) ортохронные (Л~о>1), сохраняющие направление времени; б) антихРонные (Лов< — 1), изменЯющие напРавление вРемени на обратное. В большинстве физических рассмотрений обычно ограничиваются ортохронными преобразованиями Лоренца, которые в свою очередь делятся на собственные преобразования Лоренца, отвечающие ~ Л ~ = + 1, и несобственные преобразования Поренца, * При этом надо, конечно, иметь в виду, что многие физические величины, например углы, не являясь сами компонентами релятивистских тензоров, тем не менее представляются функциями от них. 243 выделенные условием ~ Л ~ = — 1 и включающие отражение пространства. Так как дважды повторенное пространственное отражение эквивалентно тождественному преобразованию, т.
е. Лг=7=г((ад (1, 1, 1, ! 1, то поведение любой физической величины при пространственном отражении допускает лишь две возможносзи: либо она ведет себя при этом как соответствующая компонента тензора, либо приобретает дополнительный знак минус, преобразуясь как компонента нсевдотензора [см. (1П.9)). При классификации физических величин относительно пространственных отражений полезную роль играет четырехмерный полносзью антисимметричный псевдотензор Леви-Чивиты е"ч", меняющий знак при перестановке любых двух индексов и связанный с трехмерным символом Леви-Чивиты е"" условием Ей|За Еч1Ь (73.15) Задача 73.5. 11онозоть, что тензор вв ' инворионтен отноеительно ортох- рошчын преоброзовиний Лореиоо. Если имее гся некоторый несимметричный тензор не выше четвертого ранга, то его можно свернуть с ео"'. Полученный гаким путем новый псевдотензор называется дуальным исходному, а сама операция- дуальным сон)зядзсением.
Так, скаляру <Р, вектору <Ро и ангисимметричным тензорам зри", <Ри"', еро" ' можно сопоставить дуальные им псевдовеличины: ч оч еъ ЬРичт = Еичвччр фичо = Еичвччр ч Фоч = Сичвччр Важным примером дуального сопряжения является вычисление обаема 4-параллелепипеда П(а, Ь, с, е(), построенного на четырех линейно независимых векторах а, Ь, с, ь(: а' а' а' а' Ьо Ь' Ь' Ь' ,о сз сг сз (о г( з,з г л з ьг(а, Ь, с, ег)= — ео„„аоЬ"с'с('= .
(73.16) я 74. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ вЂ” — = д,=(- —. Ч), (74.1) Основные операции трехмерного векторного анализа легко рас- пространяются и на четырехмерный случай. Так, четырехмерным аналогом оператора Гамильтона З7 является оператор дифферен- цирования (4-градиент) который при преобразованиях Лоренца ведет себя как 4-вектор, в чем можно легко убедиться*, рассмотрев дифференциал скаляр- ной функции (см. задачу 67.1): с)ср = с)х "д ср/дха = с)х "д„ср. Очевидно, что величины д„ср являются ковариантными компонен- тами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в том случае, когда он применяется к произвольному тензору.
Объясняется это тем, что матрица преобразований Л не зависит от координат: д„'Точ ""(х )=д„(Л,"' ... Л„'"Т" ""(х)) дх")дха=Л'„Л,"' ... Л,"д„Т"' " (х). Производя свертку в выражении о„Т" ", получаем четырех- мерный аналог дивергеиции д„Т" "=Р1У Т ".
(74.2) В результате этой операции возникает новый тензор, ранг которого на единицу меньше. Так, в применении к вектору получается скаляр (д Аа=)пу), а в применении к тензору второго ранга — -4-вектор (диТи'= В"). С помощью ди ойератор Даламбера можно представить в виде Д = — — д„о" = — а""д„о„. (74.3) Четырехмерным аналогом ротора некоторого 4-вектора А яв- ляется антисимметричный тензор ди.4, — деАи — =(Вос 4)ик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
