Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1 1-- 2). Отметим, что. выбрав некоторую систему отсчета, привязанную к реальному телу отсчета, можно рассмотреть лругое, воображаемое, тело отсчета с заданным законом лвижеиня и связать с ним новую систему отсчета (олнако в общей теории относительности принято систему отсчета связывать только с реальными телами). 219 м, Иначе говоря, часы Сз должны быть установлены так, чтобы в момент прихода сигнала в точку Мз их показание было гз [в соответствии с (66.1)]. Такого рода световая синхронизация часов и была положена Эйнштейном в основу определения одноврелхенм, ности пространственно разобщенных событий. Очевидно, что возможны и другие способы синхронизации часов.
Например, световой сигнал может высылаться в точки М, и М, из некоторой равноудаленной от них точки М, (рис. 66.1). Тогда время, показываемое часами С, и С в момент прихода сигнала, должно быть одинаковым*. я 67. ВЫВОД пРеОБРА3ОВАний лОРенПА — зйтшп'ейнА При выводе преобразований Лоренца будем считать принятыми следующие положения: 1) однородность пространства и времени, означающая, что вид преобразований не должен зависеть от выбора начала отсчета пространственных координат или времени; 2) изотропность пространства, т. е. равноправие всех пространственных направлений; 3) принцип относительности, т. е.
полное равноправие всех инерциальных систем отсчета; 4) постулат постоянства скорости света, т. е. одинаковость скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета Х и Х', с которыми свяжем декартовы системы координат. Систему отсчета Х условно назовем неподвижной, а систему Х' (также условно) — движущейся в системе Х со скоростью т. Если рассматривать пространственно- временное описание некоторого материального процесса в системах Х и Х', то эти описания должны быть эквивалентными, т. е.
связанными между собой. Иначе говоря, в различных системах отсчета лишь по-разному изображается один и тот же пространственно-временной континуум, свойства которого являются отражением свойств материи. Поэтому должны существовать формулы преобразования от одной системы отсчета к другой, которые мы сначала запишем в самом общем виде: р=<р(6 г); г'=Г(6 г), (67.1) где <р и 1' — некоторые неизвестные функции.
Для определения их конкретного вида воспользуемся сформулированными выше четырьмя требованиями. * Нетрулио убелиться, что полобиую синхронизацию часов можно осупхествить и с помоцзью частиц равной массы, выбрасываемых из точки лзз, если только обеспечить равенство их импульсов. 220 1. Если рассмотреть два различных события (т„г,) и ((2, гз)„то разности т 2 — т', и г 2 — г', могут зависеть только от (2 — (1 и гз — г,, как того требует принцип однородности пространства-времени.
Таким образом, тр(т,, г,) — тр(тп г,)=Ф((2 — т,, г,— г,); (67.2) т((2. гз) — т((1* гт) = и ((2 — (1 гз — гт) где Ф и à — -некоторые новые функции. Принимая, что в момент (=0 начала отсчета в системах Е и Е' совпадают, имеем тр(0, 0)=0, 1(0, 0)=0.
Поэтому, полагая в (67.2) (1 =0, г,=О, находим: тр((2' 2) 1 ( 2' г2) ~( 2 г2) ~ ( 2 г2)' Тогда уравнения (67,2) преобразуются к виду тр(т„г,) — тр(ты г,)=р((2,— т„г,— г,); (67.3) 1((2, г2) †)(т!, г1) = Г((2 — (1, г2 — г1), из которого следует, что функция тр и 1' линейны по т и г. 2. Будем теперь считать оси координат в системах Б и Б' параллельными и совпадающими в момент времени т = О. Тогда вследствие изотропности пространства единственным выделенным направлением будет направление скорости «. Иначе говоря, единственным вектором, от которого параметрически могут зависеть функции преобразования тр и 1' в (67.1), является вектор скорости «.
Ориентируя ось Х вдоль «и учитывая линейность функций тр, Г, а также совпадение плоскостей х'=0 и х=от, заметим, что из параллельности осей координат в системах Е и Е' следует пропорциональность х', у', г' и соответственно х — пб у, 2. При этом коэффициенты пропорциональности в у' и г' одинаковы вследствие равноправия осей т" и у. Наконец, р может зависеть лишь от и х вследствие выделенности направления Х. Учитывая все сказанное, запишем преобразование (67.1) в виде х'=у(х — от), у'=ау, 2'=ах, т'=р(т — ох)т)), (67.4) где коэффициенты а, у, р, т) могут зависеть лишь от оз, поскольку при изменении направления осей Х и Х' на обратное и одновременном обращении знака скорости о преобразование (67.4) не должно меняться, как это следует из изотропности пространства.
Нсзрудно понять, что эти рассуждения эквивалентны утвсрждснию, что г'-- полярный вектор, а 1' — скаляр, линейно зависящие от 1 и г. В самом деде, г' может быть только линейной комбинацией векторов г, «(гч) и «6 а 1' комбинацией скаляров 1 и (чт); т г ЯГ-ЬРЧ(Г«1 — «Чг, Гт=РГЧ-С(ГЧ), (67.5) гдс а, р, т, р, с, как скаляры, могут зависеть липгь от г'. далее, поскольку в систсмс Х сисгсма ь' движется со скоростью ч, то г'=О эквивалентно г=ы.
Но тогла из (67.5) следует. что и+)3«' — 7=0, и (67.5) принимает внд го= кгч-(т — а)ч(гч))а' — 7«6 1'=тп '-а(гч), что эквивалентно (67.4), если считать ось Х параллельной ч. 22! Рис. 67Л 3. Воспользуемся принципом относительности и рассмотрим обратный переход — от системы г,' к системе Х. Вследствие равноправия систем отсчета г. и Х' этот переход описывается теми же формулами (67.4), но с заменой г на — а (рис. 67.1): х=у(х'+ат'), у=ау', г=пг', т=Н(т'+ах'/т)). (67.7) Подставляя (67.4) в (67.7), находим: х=у~у(х — ш)+гНт — Нггх/т)~, у=игу, г=игг, т=Нгт — Нгах/т)+Нтгу(х — гт)/т) Так как полученные соотношения должны выполняться тождественно, то функции а, 7, Н, т) оказываются связанными между собой: 7(у Не !т))=1 уг(Н вЂ” 7)=0 Н' — Ну '1ц=1 еН(Н вЂ” 7)!О=О.
Отсюда сразу находим, что а= +1. Однако случай а= — 1 соответствует преобразованию у'= — у, г'= — г; мы же предполагали направления осей координат в г. и г.' одинаковыми. Поэтому остается единственный выбор и=1. (67.8) Далее, поскольку а~О и 7~0 (иначе х'кяО), то Н=у, 7'=(1 — "/ц) ' (67.9) В результате преобразование (67.4) принимает вид х'=7(х — ш), у'=у, г'=г, В=у(т — ех/т)), (67.10) уг (1 е /т))-г Итак, нам осталось определить только одну неизвестную функцию т)(ег). Для этого воспользуемся еще раз принципом относительности и рассмотрим новую инерциальную систему отсчета Х", движущуюся относительно Х' вдоль оси Х' со скоростью г'. По принпипу относительности преобразование от системы Х к системе г." также должно иметь вид (67.10) с некоторой новой скоростью ь.
и новыми значениями у: — у(бг), т)=т)(бг): 222 х"=7(х — йт), у"=у, 2я=з, те=у(т — бх1т)). (67.11) Однако то же самое преобразование можно получить, совершив сначала переход от 2, к 2.', а затем от 2.' к 2."в. При этом хе=77' х-от-о' т-рх~т) ( )1 (67.12) т" = ууф — (ох~ т)) — и'(х — рт) ( т('1.
Сравнив (67.11) и (67.12) и, в частности, коэффициенты при х в выражении для х" и коэффициенты при т в выражении для т", найдем 7=77'(1+ '!ц), 7=77'(1+ '1'Ч') Отсюда следует, что т)'= т1 =сопят, (67.13) т. е. т) не зависит от ц Таким образом, согласно (67.9) и (67.13), т есть функция оз и фундаментальной постоянной т1: +(1 2) ) — п2 Однако решение, отвечающее отрицательным 7, следует отбросить, так как при о=О должно получаться тождественное преобразование, т. е. 7(0)=1. Окончательно 7=(1-"!Ч) '" (67.14) 4. Для определения постоянной т) воспользуемся постулатом постоянства скорости света.
Рассмотрим плоскую световую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Уравнение волнового фронта этой волны в системе отсчета 2. имеет вид х — ст=О. (67.15) Однако в системе 2.', согласно постулату о постоянстве скорости света, уравнение волнового фронта должно выглядеть точно так же: х' — ст' = О. (67.16) Преобразуя левую часть (67.16) с помощью (67.10) и учитывая (67.15), находим уот(1 — с212))=0. Так как оФО и утеО, то т) =с'.
(67.17) В итоге преобразования Лоренца, выведенные на основании постулатов Эйнштейна, принимают вид 223 я Это является выражением грунлового хвряктеря разыскиваемых нреоб- рязовянитк (67.19) Зпппчп 67Л. Убедиться в шшариантности оператора Даламбера ~1 относите.вьно преобразований Лоренци (установить ни основании эпюго коваршпгтзюсть волнового уравнегшя Г24э = О и уравиеэшя Клешэо — Гордона ( П вЂ” тз) э)э = О (т = сопи) для скалярного поля Ц Локазить, нто уравнения лгехалики Ньютона иековирииптны относителыю преобразований Лоренца. гГ1 — о')с' Обратные преобразования получаются заменой с на — ьх х'-ьос,, с'-ьохус' г! — з)сз' С помощью (67.6) нетрудно получить преобразования Лоренца и в общем случае, когда скорость т имеет произвольное направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
