Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Анализ зависимости п' (а) показывает, что коэффициент 7, обычно удовлетворяющий условию 7«а„имеет смысл ширины линии поглощения. В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда а" «с' и можно положить и ее Я и и'=с")(2 Я), в однорезонансном приближении л =а'=1+а~/(а' — со'). (61.29) Вспоминая, что аз=аоз — а„'/3, и разрешая (61.29) относительно а~, приходим к соотношению л' — ! о),', 4л)С)„ее/(зеп,) (61.30) и'+2 3(о)ое — о)') соо — о)~ (формула Лоренца — -Лоренца).
Она была выведена независимо друг от друга в 1869 г. датчанином Л. В. Лоренцем, в 1873 г,— До)с. К. Максвеллом и в 1879 г; — Г. А. Лоренцем (результат 20! Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно (61.30), при заданной частоте (из — 1) /(из+ 2) оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца — Лоренца является обобщением (при со~О) соотношения Клаузиуса- — Мосотти (58.26). Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде — продольных.
В этом случае (кЕо3=0, поэтому из уравнений (61.22) следует, что (61. 31) Во = 1зо е вЕо —— О, т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот аэи которые являются корнями уравнения а (аз,) = О. (61.32) Если аз достаточно велико, то в пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.2! ), из которого следует, что оэ, = со„. Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризании или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движуп!ейся в среде. Задача 61.2.
Показать, что в области прозричноста средняя по времени плотность энергии периодического электромагнитного поля в среде имеет вид зс( (61.33) В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись поперечными волнами, имеем: Е(г г)=Ке Щ Ео(1с)е 1ьс1-т1ьвс)з/с (6! .34) 202 В(6 г)=сКе Щ ! кЕо()с)3 епьн ' 1ьп оэ(К) где с)~ге=с)зс„с!11,с!зсс„(!сЕ ) =О, аз(а) — решение днсперсионного уравнения (61.24). Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т.
е. примем, что функция !Е (к)! имеет резко выраженный максимум в некоторой точке к=)с . Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно считать совпадающим с радиусом-вектором с(>)=) гЕзй)г)) Ез>2)г, (61.35) где усреднение производится по периоду Т =2а/(с>с ).
Задача 61.3. Показать, что скорость центра волнового пакета совпадает с групповой скоростью, которая может быть вычислена по формуле доз' з=ч(>)=— бя ь=ь, (61.36) где ьз'= Нею(К). Предпояагается, что время > удовлетворяет неравенству иь" ( Кв) «2к; ю ' = 1са ю (К). Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой еэо«еэ'. В этом случае, дифференцируя по к соотношение (61.24), находим 2яс' ц= (д(а )( г .) или Задача 61.4. Показать, что в области прозрачности групповая скорость совпадает со скоростью центро масс во.>нового пакета, т. е..чвляется скоростью пере>юса энергои.
Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде рав»а скорости света в вакууме ) теорема Т. Леви- Чивиты (1913)). Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но, согласно (61.21), е(ез- со)- 1, поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум.
Очевидно, что это связано с инертностью заряженных частиц. 203 о= (д>дю)(пи) 1э'-1(ю>п)(дп>дю)3 (61.37) О~сюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда с(п>'с(еэ > О, групповая скорость не превосходит фазовую, т. е.
о<о =с/и. Однако в области аномальной дисперсии, когда >)п/Жо<0, будет о>о, а так как при этом возможны значения п<1, то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны. с Структура фронта сигнала в диспергируюшей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между фронтом и основной груп- 0 шс ьэ пой можно выделить две области с заметно повышенной интен- Рис.
б!.З сивностью поля. Бриллюэн назвал их первым и вторым предвестникамиа. Как и следовало ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости о, вычисленной по формуле !61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели). Интересное явление, связанное с влиянием вещества на электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г, советскими физиками П. А. Черенковым и С.
И. Вавиловььи, Они наблюдали узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами в среде при условии, что их скорость о=с!3 превышала фазовую скорость е!и света, т. е. при !)за 1го) > 1, (61.38) если рассматривать область прозрачности, где н" «8'=е, !4=1. Угол Э, образуемый волновым вектором к и скоростью электрона, определяется соотношением соз Ь ='1пЯ (61.39) из которого следует и условие (61.38). Излучение имело сплошной спектр, было поляризованным в плоскости к, т и более длинноволновым ближе к оси конуса. Последнее вытекает из 161.39), так как в области нормальной дисперсии пз рззп йдй!т)го=до йа>0.
Теория излучения Вавилова — Черенкова была создана в 1937 г. советскими физиками И. Е. Таммом и И. М. Франком, хотя само явление предсказано и описано !правда, без учетна дисперсии) еше в 1888 г. английским физиком О.Хевисайдом, впервые получившим формулу (6!.39). Излучение оказалось ничем иным, как электромигнитной ударной волной, аналогом известного в акустике конуса Маха, сопровождающего всякий сверхзвуковой объект.
Возникает ударный фронт в согласии с принципом Гюйгенса: волны возбуждения от движущегося электрона рас- * С некоторыми подробностями этих расчетов можно ознакомиться в кнл Рыбаков Ю. П. Электродинамика сплошных сред. М., !988. 204 пространяются в среде со скоростью р = с) л и интерферируют, образуя конический фронт. В соответствии в с этим на рис. 61.4 ОАь в г ОВ=од откуда сов 9=ре!р=(лЩ [см.
Ф1 в (61.39)1. Интересно, что гипотетичес- О в кий случай заряда, движущегося со сверхсветовой скоростью в вакууме, был рассмотрен в 1904 г. немецким физиком А. Золгмерфельдом (см. за- Рис. 61.4 дачу 46.3), рассчитавшим силу торможения, испыгываемую таким зарядом вследствие излучения. Для количественного описания излучения Вавилова — Черенкова рассмотрим точечный заряд е, движущийся с постоянной скоростью р=р, в однородной изотропной среде с р=1, в=в(еэ), в"- О.
Принимая условие Лоренца в форме сс))чА+вдср/д1=0, приводим уравнения для потенциалов сР, А к виду в [Аср — (а/сз) дзср1дгзЗ = — 4кеб(г — гг), (61.40) АА — (в) с') д'А/дгз = — (4к/с) егб(г — г1), Задача 61ль Применив преобразование Фззрье, показать, чзпо запаздь~ваюи!ая рзункяия Грина для операпюра ва — (в!с) д~)дС~ имеет вид ( ) ) е(03)[й — е(ьз)ь) /с где контур С в комплексной ю-плоскости асимптотинески (при ьз-ь -Ь х) совпадиет с веи!ественной осью и охватывает сверху все особенности подмнтегральпосо вмраясения (61.4! ). Зная функцию Грина, запишем скалярный потенциал в виде ср(6 г)=4яе ) О(г — 1', г — гР)с)1', (61.42) тогда как Ар а згср/с.
Подставляя (61.41) в (61.42) и замечая, что ) ехр[ — 1(зс о — пэ)1'1Ж'=2тсб(зс и — со), о приводим (61.42) к виду сР= — ( (( ' ~с)еэсУс !Ус . (6143) СР 2 з, ( ) ) [~ьз+йз+(1 йз) г) з) ЕЭ 1 2' 205 Интегрирование по )г,, й2 в (61.43) легко выполняется в полярных координатах й, а, если вспомнить определение функции Бесселя: Уо(Ь)=(2л) ' ) ехрЯгсовл)с1и, г=(х2+у')"2 о и учесть преобразование Фурье — Бесселя для функции Макдональда: Ко(х,) =,;О,Ы., Вех>0 о Тогда для потенциалов ф, А=А, имеем представление ехр 11(г — ог) и ( о1 па, (61.44) с где а(а, г) =арФ(а, г)е е(ле) ' К (хг), х=+ (1 — а~3~)П2а/о, а знак х выбирается из условия (хех>0. В частности, в области (61.38) имеем х= — 1(а)3~ — 1)ива/о, так как, согласно (61.14), ае" (а)>0.
При этом на больших расстояниях от заряда, когда хг » 1 и Ко(хг) ехр( — хг) '(л/(2хг)) '~2, имеем Г/ )(2лхг) ь Я ехр ( — хг+ ~'(а — ог) а/о1 да. (61.45) Из структуры фазы поля (61.45) в области (61.38) выводим )„=(а~3' — 1)ива~о, )с,=а~о, соз8=),,() 2+)г',) пз=(л)3) т. е. вновь получаем выражение (61.39) для угла наклона фронта волны. В заключение подсчитаем потери энергии зарядом в среде при прохождении 1 см пути, т. е. дИ'/бе=о 'дИ'1й. На практике обычно вычисляют потери энергии на излучение и на поляризацию среды вне некоторого цилиндра радиуса г, осью которого служит траектория заряда. Эта величина равна потоку вектора Пойнтинга сквозь боковую поверхность цилиндра: — — е а ' (вЯ) ЙЯ= — Н„Е,М.
(61 46) /~ Задача 61.6. Используя представление (61.44) для поля заряда, двизгсуигагося в среде, получить из (61.46) формулу Ферми (1940) для полных потерь знергии зарвдом вне чилиндро радиуси и йнн, Ыз. Г -~ — ) = — ~(с ' — ()з)мХг(мг)Кь(мг)ьзйо. (6! .47) )хде), ко'~ с Если нас интересуют потери энергии только на излучение Вавилова †Черенко, то достаточно положить в (61.47) г- оэ, поскольку потери на поляризацию среды [при этом берется область, дополнительная к (61.38)) экспоненциально затухают, как это видно из (61.45)*. В результате нетрудно получить известную формулу Тамма — Франка (1937): * Более подробный анализ потерь с учетом поглошения см.
в кнл Рыбаков Ю. Л. Электродинамикл сплошных сред М., 1988. ГЛАВА РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА В предыдущем озложении основных законов злектродонвмоко умышленно обходилос~ вопросы, связанные С выбором системы отсчета координат и времени, к которой это законы относились.
Не затрагивалась и проблема перехода от одной системы отсчета к другой, движущейся относител~но первой. Приступая к анализу этих вопросов, следует признать, что опираться при этом можно лишь на достижения механики, под влиянием которых и Формировались представления человечества с пространстве о времени. Развитие механико убеждает в полном равноправио всех инерциальных систем отсчета, что нашло свае отраженое в известном пронцопе относительности Галилея.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
