Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поляризация диэлектриков 1 класса возникает за счет растягивания зарядов в каждой из молекул под влиянием поля Е', в диэлектриках же П класса она возникает за счет поворачивания «жестких» дицолей по направлению вектора Е'. С!- — (Гс)г) — — (р Е ) — -(Е ) . 2 (58.6) Для вычисления поляризованности Р нужно найти среднее значение дипольного момента молекулы: ) рс)И.
7'-з)ре-и!Яп!ьт>с)т7 (58.7) Считая поле Е' однородным и замечая, что постоянная нормировки определяемая условием ) с) И'= 1, равна У,=(е и'""' т!г)!7, убеждаемся, что (р)=Е'(а+ро(созЗ)/Б'), где 3 — угол между векторами ро и Е'. При этом * Сыл Терлсикяй Я. П. Статистическая физика. М., !973, 8 !5. *ь Потсиииальиость силы лстко устаиовить, положив Е'= — Ч<р' и учитывая (27. ! 8).
!80 Для нахождения поляризованности Р среды необходимо в соответствии с (57.12) просуммировать дипольные моменты отдельных молекул по физически бесконечно малому объему Л1' и произвести усреднение по времени. В статическом случае, когда время усреднения Лг велико по сравнению с временем установления тсрмодинамического равновесия. усреднение по времени может быть заменено усреднением по равновесному статистическому ансамблю систем, находящихся в различных состояниях, как это доказывается в статистической физике.
В рассматриваемом случае, когда взаимодействие молекул друг с другом и с внешним полем может быть представлено в виде суммы взаимодействий отдельных молекул с некоторым эффективным внешним полем (роль которого в данном случае выполняет локальное поле Е'), для усреднения величин, относящихся к отдельным молекулам, можно использовать распределение Больцманав. Согласно эговлч распределению.
всроят ность встрети~ь молекулу в состоянии с обобщенными координатами с), лежащими в некоторой области конфигурационного пространства с объемом с)д, равна с)И'=2 зе и!Я!пьт!г)с) 158.5) где Цс7) --энергия взаимодействия молекулы с эффективным внешним полем, е -постоянная нормировки, 7с посгоянная Вольцмь!на, Т вЂ” температура среды. Для нахождения энергии взаимодействия У(т)) заметим, что [см. (27.16) ) сила, действующая на диполь р в электрическом поле Е', равна Р=(рЧ) Е =(роЧ) Е'+а(Е'Ч) Е', откуда просто вычислить потенциальную энергию взаимодействия**: с й / и ~, — 1 (созЭ) ~созЭеосоьов)пЭ1)Э~ )еоаоиоз(пЭЛЭ), (58.9) о о где 1)=р Е'~ЯТ).
Интеграл (58.9) легко вычисляется дифференцированием по параметру 13: (созЭ~х= 1п ео'"оз1пЭ4Э= 1п) — (==Е()3), -Ев ер ! (1,) о где ЦЯ вЂ” -функция Ланжевена (рис. 58.1), имеющая следующее асимптотическое поведение при малых и больших А Е) =- ° 11 )3--1= " ' 3', ~ <<! ' (58,10) Если среда однородна и плотность числа молекул (концентрация) равна Ю, то [см. (58.8)) поляризованность оказывается равной Р = ю к ' [ .~ ~, е [ ~' ) ] . ( 18 .
1 И Для обычных условий, когда Т-300 К, р -10 'в СГСЭ, Е-! СГСЭ, получаем р-1О 4«1. Поэтому можно воспользоваться приближением А()3)=)3/3 и привести (58.11) к виду Р = Ж Е '[ а + р о / (3)о Т) ) (58.12) Тогда критические поля, при которых приближение (58.12) перестает быть справедливым, определяются условием р 1 и имеют порядок Е -104ТВ/см. Из (58.11) следует, что при сверхнизкой температуре, когда )3»1, может наступить насыщение диэлектрика, т.
е. поляризованность примет максимально возможное значение Р„,„, = Л1 Е'(а+ро / Е'). (58.13) При комнатной температуре насыщение практически неосуществимо, так как достигается при столь высокой напряженности поля, что в диэлектрике наступает пробой. Формулой (58.11) можно воспользоваться для вычисления диэлектрической проницаемости среды, если известны поляризуемость молекул а, их собственный дипольный момент ро, а также связь действующего поля Е' со средним полем Е. Что каса- М ется поляризуемости молекул, то Рис.
58.! 181 она может быть обусловлена как деформацией под действием поля Е' электронных орбит, так и смегцением ионов, составляющих молекулы. Счи гая смешения электронов и ионов малыми, можно предположить, что они сопровождаются действием возвращающей квазиупругой силы Е= — )сг= — пзаззг, где ез — соответствукзшая резонансная частота поглощения, которая в случае электронов лежит в оптическом диапазоне, а в случае ионов — в инфракрасном. Суммируя дипольные моменты всех зарядов, сосгавляюгцих молекулу, нетрудно вывести следующее выражение для поляризуемости; э.=~с'/(зн аз') (58.14) ! Квантовая теория подтверждает справедливость формулы ('8.14), причем в большинстве случаев основной вклад в поляризуемость дают электроны.
Таким образом, выяснить природу поляризуемости можно, если привлечь некоторые модельные представления о молекулах. Из (58.14) следует, что поляризуемость сь имеет размерность объема и поэтому должна быть пропорциональна объему молекулы, т. е. ,у аз (58.15) гле а- — радиус молекулы. Этот результат в самом деле получается во всех известных модельных схемах, как классических. так и квантовых. Задача 58.1. Вичислить поляриз>емость а для гледующик моделей молекул: в) молекула — лзеталлинегкий июрик (Мосотти); б) молекула — нудипе (Дяс.
Дзи. Томсон); в) планетарная модель Бора"-Резерфорда. Вычислим теперь напряженность Е' действующего поля. По определению„Е'-- напряженность поля, действующего на заряды внутри некоторой выделенной молекулы. Ясно, что Е'фЕ, так как в Е' существенный вклад дают ближайшие молекулы, тогда как Е получается усреднением молекулярных полей по достаточно большому объему Л)У. Для нахождения Е' воспользуемся методом, предложенным Лоренцем. Окружим молекулу сферой некоторого радиуса Я, такого, чтобы вне сферы распределение молекул можно было считать в среднем равномерным, а сам диэлектрик рассматривать как непрерывную среду, т. е. рассчитывать в нем поле методами макроскопической электродинамики.
Таким образом, напряженность Е' поля, вычисляемую в центре сферы, можно разбить на две части: Е'=Е, +Ег (58.16) где Е, — напряженность поля, создаваемого всеми молекулами, расположенными внутри сферы, а Ез — напряженность внешнего поля и поля молекул, расположенных вне сферы. При этом, 182 конечно, нужно исключить и напряженность поля самой выделенной молекулы, так как его действие на поляризуемый заряд учитывается в квазиупругой силе Е= — 7сг. Нахождение Ез сводится к решению известной задачи о поле внутри сферической полости, вырезанной в одородно поляризованном диэлектрике с поляризованностью Р и напряженностью Е поля на бесконечности. Электростатический потенциал ср для этой задачи может быть найден методом, изложенным в 8 25. Очевидно, срз(г<Я)= — (Езг), срз(г>Я)=(Сг)е — (Ег), (58.17) где С вЂ” дипольный момент поверхностных зарядов на границе полости, равный, как нетрудно видеть, дипольному моменту вырезанного шара, взятому со знаком минус, т.
е. С= — (4я/3)ЯзР. Поэтому из условия непрерывности потенциала на границе шара выводим Ег=Е С/Яз Е+4кР'3 (58.18) Вычисление Е, представляет гораздо большие трудности. Считая, например, молекулы точечными диполями с моментами р, ориентированными по вектору Е, для напряженности в центре шара находим выражение Е, = 2' [ — Зг, (рг, )+ руг 3 / гз.
(58.19) в к„ Результат вычисления этой суммы существенно зависит от расположения молекул внутри шара. Если считать, что молекулы расположены симметрично (например, в случае простой кубической кристаллической решетки) или же хаотично (газ, жидкость), то все слагаемые компенсируются, так как сумма сводится к сферическому среднему вида у [р — Зп(рп)3 с)П= О. В других случаях (например, для кристаллических решеток с некубической симметрией) это, однако, не так и Е,Ф-О. Для простоты будем полагать Е,=О.
Тогда Е' = Е+ 4кР/ 3. (58.20) Для большинства изотропных сред формула (58.20) достаточно хорошо описывает связь действующего и среднего полей. Задача 58.2 В методе Лоренца напряженность Е' действующего поля вычисляется в предположении, что дипольные моменты молекул ориентированы по полю Е, Это предположение можно считать оправданным для неполярных сред или .же для полярных веществ в относительно сильных новях Если же поле слабо, то дезориентирующее влияние соседних молекул в полярных средах .может оказаться значительным.
Чтобы его учесть, американский физик Л. Онсагер предложил в 1936 г следующий метод. Если рассмотреть 183 сферическую полость столь малого радиуса гг, чтобы внутри нее могли поместиться лигиь одни молекула, то напряэкенность поля в полости и есть, очевидно, Е'. Вне но,юсти оиа оптывается выраэкепием (58.17). Показать, что в эпюм случись Е'=3кЕ/(2е;-1). Подставляя (58.20) в (58.12), находим (58.21) Р= — и", Ег ЕЕ, 1 — 4лгз'и„г' 3 (58.22) где и„— полная гголяризуемость молекулы, выражаемая формулой Ланжеяена Деба.ч 4лгзгл„ с= 1+4ли= 1+ 1 — 4лузги„г 3 (58.24) В предельном случае малых плотностей, когда Хсс„«1, е = 1+ 4ПЛгаи, (58.25) что фактически предполагает совпадение напряженностей среднего и действующего полей. Разрешая (58.24) относительно Лгог„, получаем более удобное для проверки на опыте соогггногиение Клаузиуса — Мосотти: (8 — 1) 1'(а+2) =4лЛсзг„,)3.
(58.26) Замечая, что концентрация Лс связана с массовой плотностью т вещества соотношением тЛ к 7',ле' = Л', где,вг' — молекулярный вес, Л' — -постоянная Авогадро, перепишем (58.26) в виде е.— 1 ок 4л — = — Л(„гх„, еч2 т 3 (58.27) где 4лЛ' п„)'3=2,54 10зла„- — малярная пояяризуемость вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
