Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для определения волны напряжения 17(1, х) воспользуемся уравнением (53.3), подставляя в которое (53.7) имеем г!Й!1гзх= аЯ' — !6Я)), называемого условием согласования нагрузки с линией. В этом случае в линии по-прежнему нет искажений, т. е. отсутствует отраженная волна. Итак, мы нашли волны тока и напряжения в двухпроводной линии без искажений. Однако в произвольной линии условие (53.9) может и не выполняться.
В этом случае форма волны оказывается более сложной. Для ее нахождения удобно воспользоваться методом Фурье, положив 1([, х) = ) т'([о) ехр (1)с ([о) х — [ив! 3 йо, (53.13) где )с(а))- — неизвестная функция, подбираемая так, чтобы !(б х) удовлетворяло уравнению (53.5). Нетрудно видеть, что это выполняется при условии с')с '(со) =го'1С+ [[а(61. + с'ЯС) — с'6Я. (53.14) Уравнение (53.14), называемое дисперсионным уравнением двухпроводной линии, имеет для А ([о) два очевидных решения, отличающихся знаком и соответствующих двум типам бегущих волн в линии — прямой и отраженной. я 54. КВАЗИСГАЦИОНАРНЪ|Е ПОЛЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ ДЕФОРМИРУ|ОЩИХСЯ ПРОВОДНИКАХ [МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА) Одним из важнейших приложении теории квазистационарных полей является описание электромагнитных процессов в движущихся проводящих жидкостях и газах (астрофизика, физика плазмы).
Если среда характериз) ется значительной удельной проводимостью о(обычно о 10! с '') и магнитной проницаемостью р=1, то уравнения Максвелла в квазистационарном приближении примут вид ~в='— 'с=с— '[р ~ [кс-[[ в!)). с с с (54. 1) го[Е= — — —;, йуЕ=4яр, йуВ=О, ! аВ с ас где п(б г)- локальная скорость движения среды. Эта скорость подчиняется гидродинамическим уравнениям движения, в которых кроме обычных сил давления, вязкости, тяготения и других внешних сил необходимо учитывать и силу Лоренца (=рЕ+ (1В11 .
(54.2) Если ограничиться наиболее простым случаем несжимаемой среды и пренебречь силами вязкости и тяготения, то основные уравнения гидродинамики запишутся в виде т (дп[д[+ (нр) и )= — Чр+ рЕ+ ))В))с, (54.3) йуп=0, т=сопян [б5 Здесь т — плотность массы; р — давление, определяемое из уравнения состояния среды как некоторая функция плотности т и температуры Т: р=р(т, Т).
Если допустить, что среда квазинейтральна, т. е. ржО, что оправдано в случае высокой проводимости (эффект рассасывания), то можно положить 1 = с го1 В/(4п) = о (Е+ ( цВ~/с) и выразить напряженность электрического поля через скорость и жидкости и индукцию В магнитного поля: Е= — ((пВ] — ч го1В))с, (54.4) где введена магнитная вязкость ч,„=сзЯ4ко). Подставляя (54.4) в уравнение с го1 Е = — д В/дГ, находим дВ(дг=го1(пВ) — ч го1гогВ, или с учетом уравнения йчВ=О дВ~д1=го1(пВ1 +ч ЛВ, (54.5) Как видно, уравнение (54.5) кроме диффузионного члена ч„ЛВ, присутствие которого приводит (см. задачу 52.1) к затухающим во времени решениям, содержит еще вихревой член го1 (пВ).
Поэтому вполне можно ожидать, что при соответствующих движениях среды уравнение (54.5) будет допускать и незатухающие решения. Поиск таких решений представляет собой сложную математическую задачу, известную как проблема генерации магнитного поля. К решению этой задачи сводится, в частности, объяснение земного магнетизма. Задача 54.1. Показать, чепо враизательное двизкение среди не приводит к генерации магнитного полк Соотношение (54.4) позволяет исключить напряженность Е электрического поля из исходных уравнений, в результате чего получается следующая система уравнений для определения скорости и движения среды и индукции В магнитного поля: т ( дп/д1+ (ц ч) и) = — ч р — '1В го1 В),~(4к), (54.6) дВ/дг=го1[пВ) +ч ЛВ, йчп=йчВ=О.
Разрешив ее, можно найти напряженность Е электрического поля и плотность заряда р=йчЕЯ4к), используя (54.4). Приближение, основанное на уравнениях (54.4) и (54.6), называется в связи с этим приближением магнитной гидродинамики. Характер решений уравнений магнитной гидродинамики, как и в обычной гидродинамике, существенно зависит от числового значения одного безразмерного параметра, получившего название магнитного числа Рейнольдса. Это число возникает при оценке !66 диффузионного члена в правой час~и уравнения (54.5). Если область характерного изменения индукции магнитного поля имеет размер 1, а средняя скорость движения среды равна с, то порядок вихревого члена го! [иВ) есть сВ11, тогда как порядок диффузионного 'члена Р 'ЛВ есть т В11'. Отношение этих двух величин и есть магнитное число Рейнольдса: Я г н1/т =4кос1(сз.
(54.7) В качестве примера оценим магнитное число Рейнольдса для солнечного пятна с характерным размером 1 104 км, средней скоростью солнечной плазмы и-1 км1с и электропроводимостью о 10" с '. Подстановка этих данных в (54.7) дает Я =10". Оказывается, что для большинства космических объектов магнитное число Рейнольдса велико. Оно становится малым лишь в равновесии, когда малы скорости движения среды.
В дальнейшем мы ограничимся случаем больших чисел Я„, когда магнитно-диффузионным членом можно пренебречь, т. е. считать и„— О. В этом приближении, согласно (54.4), можно положить Е'жЕ+ [нВ)/с=О. (54.8) Но это означает в соответствии с законом электромагнитной индукции (50.5), что для всякого контура С, связанного со средой, (54.9) т. е. магнитныи поток сквозь такои контур остается неизменным. Отсюда следует, что в процессе движения среды магнитное поле не отстает от нее, т. е.
линии индукции оказываются как бы привязанными к веществу, или, образно говоря, «вмороженными» в него. Эффект «вмороженности» магнитного поля в вещество играет чрезвычайно важную роль во многих астрофизических явлениях. Например, американский астрофизик Э. Паркер использовал этот эффект для объяснения происхождения магнитных полей на Солнце (теория солнечных пятен). Согласно ему, генерация магнитного поля на Солнце обязана нерегулярному турбулентному движению Рис.
54.1 !67 солнечной плазмы. Качественно это объясняется тем, что при турбулентном движении линии индукции, увлекаясь средой, сильно закручиваются, что и приводит к увеличению интенсивности поля (рис. 54.1). Чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим участок магнитной силовой трубки длиной и с поперечным сечением 5. Учитывая закон сохранения массы вещества в трубке и магнитного потока сквозь ее сечение, имеем сБ=сопя1, ВЯ=сопа1.
Отсюда выводим соотношение В11т! ) = сон 51, (54.10) из которого следует, что при всяком удлинении векторной трубки и незначительном изменении плотности среды должно происходить усиление индукции магнитного поля. Нетрудно видеть, что при турбулентном движении среды как раз и происходит удлинение векторных трубок вследствие сильного закручивания линий индукции.
Еще одним важным следствием эффекта «вморожецности» магнитного поля в вещество являются хшгнитогидродинаипческие волны, или волны Альвеола, названные так по имени известного шведского астрофизика, впервые предсказавшего их. Физическая природа этих волн такова. Если проводящая жидкость (или газ) находится в постоянном магнитном поле Во и перпендикулярно вектору индукции это1о поля в жидкости возникли некоторые локальные смещения, то вследствие «вмороженности» поля в вещество линии индукции должны изогнуться.
Но при этом в среде возникают силы, препятствующие этому изгибу, в чем нетрудно убедиться, проанализировав структуру силы Лоренца в магнитной гидродинамике. Задача 54.2. Показать, чпго плоепнос'ть силы Лоренца в .наенитноа гидродинамике можно представить в виде пВ' В дВ /Вз З 7~ ), (54.11) 4пя 4л дз ~,хп)' где В радиус кривизны липни индукяии, и главная нормаль к ней, з-— координа~па вдоль липин. Дать топернретачит каждого члена в (54.11). Таким образом, мы убеждаемся, что линии индукции сопротивляются своему изгибу и ведут себя как упругие струны (вспомните наглядные представления Фарадея о магнитных силовых линиях -шнурах). Поэтому неудивительно, что вдоль магнитного поля в проводящей жидкости могут распространяться волны искривления.
Для их количественного описания воспользуемся основными уравнениями магнитной гидродинамики (54.6). Предположим, что невозмуп)енная жидкость движется с постоянной скоростью по в постоянном и однородном магнитном поле Во. Для возмущенной жидкости р+ И ~!(8я) = сон зС, (54.15) т. е. сумма гидродинамического и магнитного давлений для рассмотренного типа возмущений остается постоянной. Учитывая (54.15) и замечая, что гог (чВо ) = (ВоЧ) ч, го! (поЬ) = — (поЧ) Ь, преобразуем (54.14): [дед!+ (поЧ)1 ч = (ВоЧ) Ь((4пт), [д/д!+ (поЧ)3 Ь=(ВоЧ) ч+ч„,ЛЬ.
Действуя на второе уравнение (54.16) оператором д/дг+ (иоЧ) и учитывая первое уравнение, лля индукции Ь получим с !2 —.+(,Г)] Ь= — (В,ГГЬ+,[ — '+!,7)]ЬЬ (5437! и такое же уравнение для скорости ч. Предположим сначала, что магнитное число Рейнольдса Я достаточно велико и поэтому магнитной диффузией можно пренебречь, положив ч =О. В таком случае, полагая, что волны в жидкости распространяются в направлении я со скоростью ом имеем ч=ч [(яг) — (япо) ! — о„г~, Ь=Ь [(вг) — (впо) ! — оог~. Тогда из (54.17) выводим 4ято~~ (яЧ)'Ь =(ВоЧ) Ь. (54.18) !69 п=по+ч, В=Во+Ь, где возмущения скорости ч и индукции Ь магнитного поля подчиним условиям (чВо) =(ЬВо) =О, [Ьч) =О. (54.12) Для того чтобы удовлетворить уравнениям г))ч ч = !((ч Ь = О, предположим, что все величины не меняются при смещении вдоль ч или Ь, т, е, будем рассматривать возмущения типа плоских волн, зависящие лишь от одной из координат плоскости, перпендикулярной ч или Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
