Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При этом мощность излучения равна Р, = 2 (й2)'1(Зс5). (43.18) Для монохроматического магнитного вибратора Герца п2=п2осовгог, .Е=Ке(Еоен' о), В=йе(Вое'"" "о), где Ео = — ( ппго) (1 1)сг) 1(с/ "2 (43.19) Во = ( Зп(п2по) — п2о) (1 — 11сг)1'гз — ( п ( пп1о И1с2 Усредненная по времени мощность излучения, очевидно, равна Р, = оо~т о2/(Зс') = (т ос~ 3) (2я/З)". (43.20) Если в качестве примера взять рамочную антенну с током силой 1=1 созгог и постоянной площадью рамки о, то ее магнитный момент равен т=1о/с, а средняя по времени мощность излучения р 122 о4821(Зс5) 121> (43.21) где введено эквивалентное сопротивление антенны (43.22) г 44. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ Рассмотрим систему источников р, 1, занимающую некоторую ограниченную область Р, которую можно заключить в сферу конечного радиуса а. Прн подсчете мощности излучения этой системы уже на основании оценок типа (43.14) и (43.21) можно заключить, что следует исключить из рассмотрения статические части р и 1.
Поэтому систему можно заведомо считать нейтрильвой. Кроме того, если задаться некоторой минимальной допустимой мощностью излучения (порог чувствительности детектора), то следует исключить и низкочастотную составляющую источников р и 1, т. е. можно считать, что их разложения в интеграл Фурье начинаются с некоторой минимальной частоты соо: р(г, г)= 1" ехр( — (он) р„(г)доз; (44.1) нн>в, 1(Е г)= ) ехр( — йоГ)1 (г)йо2. ~в1>о, Из закона сохранения заряда (41.1) выводим, что — г'гор„+йу1„=0, (44.2) 134 т.
е, справедливо верное для нейтральных систем представление р(1, г) = — Йч -1„(г) ехр( — 1азГ) с(а. (44.3) 1с'~я~а Производя также разложение в интеграл Фурье запаздывающих потенциалов (41.24), представим их фурье-образы в виде 1Р„(г)= р„(г')'"Р(' ~11)с', А„(г)= 1„(г') "Р(' ~11Г', й= — ".
(44.4) Если нас интересует поле вне системы источников, т. е. при у)а, то можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора схР(сся) т 1 (,, Ч)1 с"Р(нс) (44.5) 1=О П Подставляя (44.5) в (44.4), получаем мультипольное разложение запаздывающих потенциалов, которое с учетом нейтральности системы принимает вид 1р (Г)= ",1 — р„(Г')(Г'Ч)' Р 11)с', 1=1 (44.6) А„(г)= ,'1" — 1„(г')(г'Ч)' 11)". 1=0 Д" ""=) р„(г') х"'... х'"ЙР", (44.7) У'„'"'"ж-~ 1„(Г')К'1Ч..
Х'"д)", с ~ (44.8) разложение (44.6) можно переписать в координатной форме: (.) т~ ( ) Оь лб б схР(1хс) 1-1 (44.9) А„()= ~ ( '.а'„-'гч...г,,'"Р('""). 135 У Вводи фурье-образы тензоров электрического и магнитного мультипольных моментов где предполагается, что частота о>=)сс дает наиболее существенный вклад в фурье-разложение потенциалов. Используя полученные представления для потенциалов, нетрудно вычислить в волновой зоне векторы Е и В. При этом (см. (44.14)) можно пользоваться правилом и д 17 = — - -.—.
с дс (44.17) В итоге получаем Вчзл [пА] Еизл [пВизл] 1 с (44.18) где А определяется выражением (44.15). Аналогично получаем в волновой зоне и вектор Пойнтинга: Я " [пА]г (44.19) Задача 44.2. Ликовать, что если и разложении (44.!5) ограничиться двумя первыми членамиь, что допустимо при выполнении усювий типа ! раичке)р~, то мощность излучения может быть представлена в виде с>лсиы электрического дипольного, магнитного дипольного и электрического квадрупольного излучений: ! 45. ИЗЛУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННЫ Пусть имеется линейная антенна длины 1, в которой возбуждается ток частоты о>. Направляя ось я. вдоль антенны и замечая, что на ее концах 1=0, исследуем тот простейший случай, когда в антенне возбуждена гармоническая стоячая волна тока плот- ностью 1=1 кйп [яд>(г>1+1>2Ц8(х)6(у)ехр( — !от!), (45.1) где 1о = !ое„дг — некоторое целое число, определяющее тип возбуждения антенны.
Особый интерес представляет резонансное * Как заметил В. М. Дубовик, необходимо учитывать и третий член в разложении (44.15). Прн этом в системах с тороидностью Т,(см. задачу 29.1) возникает дополнительная мощность излучения Р(=(8/27)с 4Т (Т вЂ” 3р). !37 2 2 1 — з(р) ! з(щ) ! ь[3О:Π— (зрО)') (44.20) Исходя из соотношений (44.2) и (44.!6), можно утверждать, что электрический 2'-поль будет давать мощность излучения того же порядка, что магнитный 2' '-поль, при условии, что соответствующие мультипольные моменты отличны от нуля.
Это обстоятельство имеет большое практическое значение и часто используется при оценке мощности излучения реальных систем. возбуждение, когда 1с=ог1с=яМ/ 1. В этом случае М представляет собой число полуволн тока, укладывающихся в длине антенны. В соответствии с (44.3) можно принять р= — с)1чР, )=дР1'дг, Р=г)~ог (45.2) и ввести электрический вектор Герца П, который в волновой зоне [см. (44.14)] может быть записан в виде П = ' 1 1-( и"), г йг.
(45.3) Подставляя (45.1) в (45.3), находим +цг П= — -1,е '"' ып1 я%(-+- )1 е'(га)йг'. (45.4) -~1г Используя сферические координаты, начало которых помещено в середину антенны, имеем (кК)=й(« — г'созЭ), и (45,4) принимает вид ~-~1г П= — !,е '"" " яп~яМ1'— +-)1е аг"'~с)г'.
Н3' 2/~ (45.5) -~1г Вычислим интеграл (45.5): 2лЛ' -~в<с-~1о ыл1г йп [лЛ'12 — (/с112) сог 9г (45 б 1сгг о (лЛ71)г — 8гсоР9 Заметим, что А=Й1с= — ЖП. Поэтому [см. (44.19)1 усредненная по времени угловая плотность мощности излучения равна "Р' г~В~ гк с~пА~г=гг~ с~пЩг или с учетом (45.6) 6Р, Г~ (~ лгу'1' . Эяп'[лй/2 — (8!/2)сог9) 2лс~ 1,1 [(лЛ 11)г — 8г согг 9) г В дальнейшем нас будет интересовать случай резонансного излучения, когда )с=я%1'1 и (45.7) принимает вид 4Р, Год Ипг [лЛ'йпг (912Ц (45.8) ой 2лс Ип' 9 138 Из (45.8) видно что минимумы излучения определяются условием яп [ягч'яп (Э,12Ц=О, откуда Э =2агсяп 11т/Ж; т=О, 1, ..., %, (45.9) т.
е. число минимумов равно %+1, а число максимумов совпадает с Ж и равно, таким образом, числу полуволн, укладывающихся в длине антенны. Угловое распределение мощности излучения 1 (диаграмма направленности) для Х= 1, 2, 3 изображено на рис. 45.1. Если Ф велико И=/ я=2 6=5 (Ф»1), то первый максимум излучения приРис.
45л ходится на угол Э=Э,/2жДс нз. В этом случае яп (пЛ яп' (9,'2)),Б яп9 5/ 2' в то время как для центрального максимума (если Ф=2л+1) Э=я~2, т. е. яп (пФ япо (912)1 яп9 Поэтому интенсивность первого бокового лепестка излучения антенны больше интенсивности центрального лепестка в Дс) 2 раз, т.
е. в основном излучение идет в направлении проводника антенны, который играет в этом случае роль ведущей линии (волновода). Усредненная по времени полная мощность излучения антенны (см. (45.8)) равна )дй 2 (45.10) где сопротивление излучения Я,=-~ гйп ~пасв)п -7! 21 . 2l . 191 с!9 с~ 22) йп9' о Заменой переменной 2яЛ'91п~(Э/2) =х (45.11) приводится к виду 2пк Я,=- (1 — совх) — =-()п(2яЮу) — С((2яЖЦ, (45.12) о (45.11) где 7=1,7811...— постоянная Эйлера, а С1(х)= — созх — — инда х х тегральный косинус. Пренебрегая при Я»! малым членом С1(2яЖ), получим Я,-!п(2луу)/с.
(45.13) 139 бы И=К'„(':,,',) В данном случае Т(1')=1' — 1+Я(1', г) с, поэтому (46.4) (46.5) Т'(1') = 1 †(пг)1'с, (46.6) где п=К/Я. Если считать, что заряд движется со скоростью с<с, то Т'(1')>О. При этом функция Т(1') монотонна и уравнение 1(1')=О имеет единственный корень 1'=«: «=1 — Я(«, г)1'с. (46.7) Таким образом, согласно (46.4) и (46.6), имеем 8 [1' — 1+Я(1', г)/ с ) =б(1' — «) [1 — (пг) / с) '.
(46.8) мо $ 46. пОле произвольно движущкгоси зАрядА Пусть точечный заряд е движется по заданной траектории г=«(1) со скоростью г(1)=-«(1). Для описания электромагнитного поля„ порождаемого таким зарядом, введем плотности заряда и тока: р(1, г)=еб[г — «(1)3; )(1, г)=ег(1)8[г — «(1)). (46.1) Кроме того, предположим, что применимо запаздывающее решение уравнений поля, т. е. отсутствует как излучение, при- ходящее из бесконечности, так и тепловое излучение («тем- пература» вакуума равна нулю). В данном случае удобнее записать запаздывающие потенциалы в форме (41.13), воспользовавшись запаздывающей функцией Грина (41,19): <р(1, г)=с) р(1', г')Я 'б(Я вЂ” сТ)г(Р" М; (46.2) А(1, г)=)3(1', г')Я 'б(Я вЂ” сТ)с('г" й1', где Т=1 — 1', Я=~ г — г'~. Подставляя (46.1) в (462) и выполняя объемное интегрирование с учетом свойств б-функции, находим: <р(1, г)=е б 1' — 1+-Я(1', г)(1Я '(1', г)й', (46.3) А(1, г)=-' б 1' — 1+-Я(1', г) г(1')Я '(1', г)Ж', где Я(1', г)=(г — «(1')1=(К).
Используем свойство (3.8) б-функции, согласно которому для всякой функции )"(1'), имеющей однократные нули 1'=1,, справед- ливо представление Подставляя (46.8) в (46.3), преобразуем запаздывающие потенциалы: чч, )-; А1~, 1=[ ] Яч.ч! (потенииалы Льенара — Вихерта ). Здесь индекс !", означает, что выражение в скобках берется в запаздывающий момент времени, определяемый уравнением (46.7).
Особенность формулы (46.9) состоит в том, что электромагнитные потенциалы в точке наблюдения г в момент времени 1 определяются положением и скоростью заряда в некоторый предшествующий момент времени !", (1, г), вычисляемый из (46.7). С помощью потенциалов Льенара — Вихерта нетрудно вычислить векторы Е и В. Замечая, что д~/д1=[1 — (вч/с| ', Ч~= — п[с — (вчЦ ', (46.10) находим последовательно, опуская индекс запаздывания !,: Ч (чК ) = ч+ Ч !д (чК ) / д Ь = ч — и [(чК ) — и 2 1 [с — (пч Ц го! ч = [ЧЬч)= — [пч1 [с — (пчЦ вЂ” Ч р= гЧ [с — (чКЦ = [сЯ вЂ” (чи)1' ес [ с~ — с'-~-(чн) — ч+в Я'[с — (пч)) 1 с — (пт) ! сА 1сАс» еч с ас с д» сс я[с — (пч))' —,[с( )+(чк) — '~; го!А=с 'гоГ(срч)=(ср/с)гогч+с '[Чсрч)= 2 2 3[ ( Ц' е[пч) е[пч) д [с — (пч) 1' й ' [с — (пч)) ' В результате получаем )с (ст — с')(сп — ч) [и [(сп — т) т) ) [ [с-(пч))'д' [с — (пч))'д В=[иЕ] .
(46.12) Для подсчета мощности, теряемой неравномерно движущимся зарядом на излучение, нужно составить выражение для вектора Пойнтинга Б и оставить в нем члены, обратно пропорциональные Я', поскольку интегрирование будет производи~ься по бесконечно удаленной поверхности. Иначе говоря, необходимо рассмотреть 141 волновую зону. Так как в ней поле поперечно, т. е. удовлетворяет условию (пЕ"' )=О, то вектор Пойнтинга имеет вид с п(Епсл) 4л где Еитт ) [п((сп — ч)ч)) [ (с-(пч)) ' Я ) ~ (46.14) — с=А'Ит1 Я'Ит1[! — ]- — '[1 — ], (ст!Л или с учетом (46.10) Таким образом, если некоторая порция электромапчитной энергии была испущена зарядом за время д», то в точке наблюдения она регистрируется за время с(1=0»(1 — (пт)/с3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
