Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это обстоятельство позволяет записать скорость потерь энергии зарядом на излучение в виде Ре 1с (46.19) 142 Подставляя (46.14) в (46.13), для углового распределения мощности излучения дР, / дй = (пБ) А ~ находим выражение ЙР~ с с1 (ч) 2(пч)(чч) ( .)2 с — с [ (46 15) дй 4л ((с — (пч))' [с — (пч))' (1 — (пч))т(, Интегрируя (46.15) по бесконечно удаленной замкнутой повер- хности, можно получить полную мощность излучения Р„однако она не совпадет с истинными потерями энергии заряда на излучение. Чтобы понять, почему это так, окружим заряд некоторой замкнутой и жестко связанной с ним поверхностью. например сферой радиуса Я с центром в точке нахождения заряда в запаздывающий момент времени». Очевидно, что поток энергии сквозь такую поверхность и определяет истинные потери энергии заряда Р .
Но так как поверхность перемещается в пространстве со скоростью ч заряда, то поток энергии сквозь нее определяется не только вектором Пойнтинга, но еще и переносной плотностью потока энергии, равной — и ч. Таким образом, результирующая плотность потока энергии сквозь поверхность определяется вектором Я'=Я вЂ” и ч. (46.16) Замечая, что для поля излучения плотность энергии равна и =(Е"")'((4я) =(пЯ) / с, для скорости потерь энергии зарядом в данном направлении найдем Задача 46.1.
Показать, что полная мощность излучения и скорость потерь энергии на излучение точечным зарядом е имеют вид 2е'с [ сз [46.21) Соотношение (46.21) впервые было получено А. Льенаром в 1898 г. Нетрудно видеть, что в пределе о/с-+О Р,— Рв- — (ч)[, 2ез (46.22) т. е.
получается уже известный нам результат Лармора (43.9). В этом случае в волновой зоне к""= — ',(-[ [, И), в"* =[ к * 1,, (46.23) е' си (46.24) В том случае, когда о-+с наблюдается резкая анизотропия излучения. Так, Е"1"-(1 †о) — со в направлении движения заряда, т. е. при п=ч/ьз и Е" конечно при и= — ч/о. Это говорит о том, что излучение в основном направлено вперед, будучи сосредоточенным в узком конусе вблизи вектора скорости частицы. Примером такого направленного излучения может служить синхротронное излучение, испускаемое ультрарелятивистским зарядом, движущимся в магнитном поле со скоростью, приближающейся к световой.
Задачи 46.2. Показать, что максимум излучения ультрарелятивистской частицы приходится на напривление, составляющее с вектором скорости ч угол Зыа(а)(1 — оз [сз)нз, [46.25) где а (а) - — коэффициент, зависящий от угла а между векторими ч и ч. и частности, если иски[2, то а=( ~34 — 1)'" ['ыз3, если же цып[2, то а= [7/2. Задача 46.3. Пийти потенциалы ж, А электромагнитного поля, создаваемого точечным зарядом е, движущимся с постоянной скоростью ч. Рассмотреть также гипотетический случай сверхсветовой скорости о> с. ц 47.
СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ Рассмотрим заряженную частицу с энергией Е и импульсом Р, взаимодействующую с электромагнитным полем, занимающим некоторую область 1'„граничную поверхность которой Е мы впоследствии расширим до бесконечности. Запишем, основываясь 143 что соотве гствует дипольному излучению, описываемому век- тором Пойнтинга на теореме Пойнтинга, закон сохранения энергии для данной системы: ,-'(г~и)=-(( к)ы=-р„ (47.1) — (Р+ С) = — (Р+ С) = О, (47.4) где С вЂ” импульс электромагнитного поля в области К Из соотношений (47.3) и (47.4) вытекает, что всякий излучающий заряд должен испытывать дополнительную силу со стороны испускаемого им электромагнитного поля.
Согласно (47.4), эта сила, обычно называемая силой реакции излучения, равна Га=пР/д~=-Ж/б~, (47. 5) где С- — импульс электромагнитного поля, порожденного зарядом. Замечая, что, по теореме живых сил, г1Е=(АР), из (47.5) и (47.3) выводим (47.6) Так как левая часть (47.6) имеет вид полной производной, то наиболее общее решение этого уравнения относительно Г есть Р„=Чи( )-1-( К(+",, '— ,", (47.7) где И' — энергия электромагнитного поля в области Г, а Р,— мощность излучения.
Для оценки Р, воспользуемся дипольным приближением, допустив, что вклад высших мультипольных моментов ничтожно мал. Наконец, будем считать скорость заряда малой по сравнению со скоростью света (г«с). В таком случае (см. (43.9)1, приняв, что поверхность о †сфе бесконечно большого радиуса Я, в центре которой расположен заряд е, имеем Р,= —, Ф г — — . (47.2) С другой стороны, при а«с, согласно (46.10), д~=Ф, что позволяет перейти в (47.1) от времени наблюдения ~ к времени испускания излучения ~= г — Я/с: и (Е+ И,) 2.
[т(~)]г. (47.3) Наконец, используя результат задачи 43.1, запишем еще и закон сохранения импульса для системы: где К -- произвольный вектор, б(г) — — произвольная скалярная функция точки. Но, согласно (47.5), Р„= — сааб/д~„т. е. имеет вид полной производной. В связи с этим в (47.7) следует положить У=К=О и оставить член 2егт!(Зсз), определяемый состоянием движения самого заряда и описывающий силу реакции излучения гк=2егт/(Зсз) (47.8) Если заряженная частица имеет массу т и движется в поле внешних сил Е, то с учетом силы реакции излучения (47.8) уравнение ее движения можно записать в виде тт=г+2егт/(Зсз).
(47.9) Чтобы проиллюстрировать, к каким изменениям в характере движения частицы приводит учет силы реакции излучения, рассмотрим случай однородной внешней силы Р = г (г ). Вводя обозначения 2е /(Зтсз)=х, Р/т=й(г), перепишем уравнение движения (47.9) в виде т — ху=й(г). (47.10) Для решения этого уравнения найдем сначала функцию Грина задачи 6(Т), где Т=! — !'. Послелняя удовлетворяет уравнению 6 — хб=б(Т).
(47.11) Замечая, что 6 задана с точностью до постоянной и при ТФ 0 удовлетворяет однородному уравнению 6 — хб = 0 с решением бо(Т) = С, + Сге~~", будем искать функцию Грина в виде 6(Т)= С,е™+О(Т)(С,е™+С,). (47.12) Подставляя (47.12) в (47.11), находим С,= — Сг=1, т. е. 6(Т)=Се™+О(Т)(! — ег~") (4713) где С произвольная постоянная, выбор которой приводит к важным физическим последствиям. В частности, если ограничиться запаздывающим решением, исчезающим при Т(0, то бра (Т) =О(Т)(! — егт) (47.
14) Физически 6"" представляет собой скорость покоившейся при Т(0 частицы, на которую действует импульсная сила Ь(Т). Однако 6 "=1 — ег'" при Т)0, т. е. частица начинает самоускоряться в направлении, противоположном действию силы. Такое решение, очевидно, не поддается физической интерпретации. Поэтому выберем функцию Грина из условия ее ограниченности при Т~О. В таком случае необходимо выбрать С=1, т.
е. 6(Т)=0(Т)+11 — О(Т))ег'". (47.15) !45 Решение уравнения движения (47.10), отвечающее такому выбору функции Грина, имеет вид ц(г)ц ко+ ) й(Р)6(~ — Р)с)г', где ц = !пп ц(!), если считать, что я(~) достаточно быстро ! —:о убывает при ~-+ — со [в большинстве физических задач я(г)=0 при г<го ). Подставляя (47.15) в (47.16), находим ! о ч(г)г кз+ ) й(Р)Ж'+ (й(Р)е!' 'р" с)г'. (47.17) Если первые слагаемые в (47.! 7) имеют обычный ньютоновский вид, то последнее слагаемое несколько необычно. Нетрудно видеть, что оно соответствует учету опережающих воздействий, появление которых связано с высшими производными в уравнении движения. Если бы прн оценке мощности излучения Р, мы учитывали высшие мультипольные моменты (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т, д.), то эффект опережения был бы еще более сильным.
Появление опережающего воздействия можно было бы понять, если бы частица была протяженной. Так, например, заряженный шарик радиуса а испытывает воздействие электрического поля Е(г) в тот момент, когда его центр находится на расстоянии а от точки г. В данном же случае время опережения по порядку величины равно к, а эффективный размер кс=2ез~(Зтсз). Таким образом, излучающий точечный заряд ведет себя как протяженная частица, эффективная структура которой обусловлена полем излучения. Например, электрону, масса которого т=9,1 10 зй г, соответствует эффективный размер, получивший название классического радиуса электрона и равный "оке ег/(тсз) 2 8 10-зз см (47.18) Задача 47Л.
Найти затухание скорости заряясенной частицы в постоянном магнитном поле В, считая силу реакции излучения малой. В 48. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН СВОБОДНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ (ФОРМУЛА ТОМСОНА) Рассмотрим произвольную неизлучающую систему зарядов и токов. Если эта система окажется в поле электромагнитной волны с заданной плотностью потока энергии Во, то под действием поля волны в системе возникнут изменяющиеся во времени мультипольные моменты, а это [см. (44.15)) приведет к тому, что система начнет излучать.
Очевидно, что мощность излучения 6Р! в некоторый телесный угол г(П пропорциональна [В [. Поэтому одной из важных 146 характеристик такой системы зарядов и токов должно быть отноп1ение с)о=бр, + ~Яо(, (48.1) имеющее размерность площади и называемое дифференциальным сечением рассеяния системы. Если воспользоваться квантовыми представлениями об электромагнитном поле, т. е. ввести кванты света —— фотоны, то до будет численно равно площади, на которую Рис.
48.1 падают фотоны, рассеянные в телесный угол !112 (рис. 48.1). Интегрируя (48.1) по всем направлениям, получаем полное сечение рассеяния (48.2) В качестве примера рассмотрим рассеяние электромагнитных волн свободным электроном. Уравнение его движения в поле волны (см. (47.9)) можно записать в виде п! Ф = е (Е+ (ч В 3 ! с ) + 2е з ч / (3 с з ). (48.3) Считая движение электрона достаточно медленным, т.
е. полагая ч«с, и учитывая, что лля плоской электромагнитной волны ~Е1=!В(, можно пренебречь (чВ1/с по сравнению с Е и переписать (48.3) так: тч-еЕ+2е~ч/(3сз). (48.4) Полагая в (48.4) Е=Еоехр( — !со!), ч=чоехр( — гсо!), т. е. рассматривая только вынужденное движение электрона, и пренебрегая зависимостью Е от г, находим (48.5) т1, Зтс' / Так как для плоской падающей волны ~ Я ( = с ( Е (~ /(4я), а мощность излучения в телесный угол с(й (см. (46.24)) равна с)Р,=, ~ (пч] !' сИ, (48.6) то с помощью (48.5) нетрудно найти дифференциальное сечение рассеяния сос1о ([ин)!о гоипоаг!!2 сот'!1ч-г2гого!(Зс)! ! Е!~ !Ч-12гого/(Зс))о 147 где Э вЂ” угол между направлениями излучения и и вектором поляризации е = Ео / Ео падающей волны, г — классйческий радиус электрона.
Теперь уже нетрудно подсчитать и полное сечение рассеяния: б,йгз 1+ 2соеь/ Зс) з зависимость его от частоты представлена на рис. 48.2. В предельном случае низких частот, когда йз«й « с, находим 11ш о(аз)= о~= 8ягоо/3. ч О 148.9) Эта формула впервые была получена Дэес. Дж. Томсоном и названа его именем. Из нее следует, что полное сечение рассеяния электромагнитных волн свободным электроном имеет порядок плошади круга радиуса г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
