Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если окружающее излучатель пространство, заполненное электромагнитным излучением, рассматривать как тепловой резервуар, то излучатель может извлекать из него полезную работу лишь при отрицательном среднем 127 потоке электромагнитной энергии (т. е. при потоке энергии к излучателю) и будет затрачивать работу на излучение при положительном среднем потоке. Но средний поток энергии положителен в случае использования запаздывающих потенциалов и отрицателен в случае опережающих (см. 8 43).
Второе начало запрещает отрицательный поток энергии от излучателя, поэтому можно считать опережающие потенциалы запрещаемыми вторым началом термодинамики. и 42. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ВЕКТОРЫ ГЕРЦА Если система источников нейтральна, т. е. удовлетворяет условию )рг)1'=О, (42.1) то (см. задачу 2.2) закон сохранения заряда (41.1) будет тождественно выполнен, если ввести поляризованность Р и намагниченность М, положив р= — ЙЧР, 1=дР)'дГ+сго1М. (42.2) В таком случае электромагнитные потенциалы гр и А могут быть найдены из уравнений Пгр=4цйуР, ПА= — — — — 4пгогМ, йуА+- — =О. (42.3) 4к дР 1 дй с дг с дг Чтобы выполнить условие Лоренца, удобно ввести электрический П и магнитный Х векторы Герца, сделав подстановку: гр = — йу П, А =- — + го1 Х.
(42.4) с дг Тогда уравнения (42.3) приводятся к виду — — (ПП+4цР)+гог(ПУ+4пМ)=0, г(п (ПП+4иР)=0. (42.5) Из второго уравнения следует, что ПП+ 4пР = гог а, где а †произвольн вектор. Тогда первое из уравнений (42.5) сводится к следующему: го1 ПХ+ 4цМ+- — ) = О. 1 да) с дг) Из него, в свою очередь, вытекает, что П Х+ 4цМ = — — —. + Чу, с с( где т — произвольный скаляр. Воспользуемся теперь неоднозначностью векторов Р и М (см. задачу 2.2), замечая, что подстановка 1 1 ! да Р-+Р— — гога, М- М вЂ” — Чт+ —— 4к 4п 4кс д1 128 зеай не меняет источников р, 1 и полей, ими порождаемых.
Поэтому без ограничения общности можно положить а = О и у = О. В результате уравнения для векторов Герца П и Х упростятся: г3 П = — 4яР, П Х = — 4яМ. (42.6) Выбирая запаздывающее решение этих уравнений как наиболее соответствующее физической постановке задачи*, имеем П(! г)= Р г — —, г' (42.7) -е(О Х(1, г)= М г — —, г' Рис. 43.! Легко видеть, что в статическом пределе (с- оо) формулы (42.7) переходят соответственно в (2!.8) и (30.6), т. е. векторы П и Х переходят в соответствующие статические векторы Герца. Используя решение (42.7), по формулам (42.4) нетрудно найти потенциалы гр, А, а затем Е и В.
Последние можно выразить непосредственно через векторы Герца; Е= — 4яР+госго!П вЂ” — — го!Х, В=гоггогХ+- — го! П. (42.8) 1 д 1 д сдз с д! я 43. ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ВИБРАТОРОВ ГЕРЦА В качестве полезного применения векторов Герца опишем электромагнитное поле, создаваемое изменяющимся во времени дипольным моментом р(!).
Конкретной реализацией такого переменного диполя может служить, например, поляризованная молекула с переменным расстоянием г'(г) между ее разделенными зарядами или простейшая антенна — электрический вибратор Гериа, длина которого / постоянна, а заряд отдельного полюса изменяется со временем (рис. 43.1). Если рассматривать поле вибратора на расстоянии г»1, то его можно считать сосредоточенным диполем и положить Р=р(1)о(г), М=О. Тогда из (42.7) находим векторы Герца: П=-'р ! — -", Х=О. (43.1) ' Предполагается, что векторы Р и М изменяются со временем лишь начиная с некоторого момента времени 129 зз зга Для вычисления напряженности Е и индукции В используем формулы (42.8) с учетом того, что вне вибратора Р=О, т. е.
Е = го1 го! П, В =- — гог П. ! й с с! Согласно (2П.4в), имеем гогП=гог = — —,[гРЗ вЂ” 2 [гРЗ Т с2с го!гогП= — — ",Йчр+рйч — ",— (РЧ) — ',+ —,(гЧ) р— — — ", йтр+рйч — ', — (РЧ) — ', + —,(гЧ) р= В результате получаем выражения для Е и В: Е= †, Зп(пр) — р+-"[Зп(пр) — р) + †, [и [прД , (43.2) ! . 1 В = — —, [пр1- —, [прЗ, с'с сс где введен единичный вектор и = г,!г. В (42.2) выделим три составные части: Е=Есо!+Ен!+Е<з! В=Все>+Вн +В!и — в зависимости от степени их убывания при г-+ со. Первая часть, убывающая пропорционально г з, соответствует полю квазистатического днполя в ближней (квазистационарной) зоне: Е!о>=, [Зп(пр) — р) В<о! О Вторая часть, убывающая пропорционально г з, отвечает полю !гр квазистатического тока поляризации — — ,: с сн (43.3) Е"'= —,[Зп(пр) — рЗ, В"'= — —,[прЗ.
(43.4) Но если магнитное поле Всо возникает в полном соответствии с законом Био — - Савара — Лапласа (1.8), то появление элект- !зо где р — функция запаздывающего аргумента !' = ! — г/с; точкой обозначено дифференцирование по времени. Используя (2П.4г), находим рического поля Еги <збязано исключительно запаздыванию. Нетрудно видеть, что на малых расстояниях этот член можно не учитывать, так как р(г — г<с)-р(г) — рг/с и слагаемое в Е, пропорциональное г г, исчезает. Наибольший интерес представляет третья часть поля вибратора, описываемая векторами Е'г' и В"', зависящими от р и убывающими на больших расстояниях пропорционально г Е'~~= — в[и[ар»», В~~~= — —,[пр». (43.5) ь< <«г а< = ппп — —, и = ппп с — ) рос ., Ро <4 Ф <4 '<,Ф) где р =шахр(<).
Тогда с помощью (43.2) можно установить, что <л ближняя и дальняя зоны определяются соответственно неравенствами г«ш<п(а„аг), г»(аз<<«<)шах(а<, аг). Замечая, что векторы Е'г', В"', и образуют ортогональную тройку: В<2< В [пр» Е<г< Е [В и» (43 б) «с — нетрудно подсчитать вектор Пойнтинга (рис. 43.2): [ЕиллВизл» [»2 (43.7) Интегрируя (43.7) по сфере радиуса «, находим мощность, излучаемую вибратором: 2 Р,= („я)„г<(й= ' р ~ ") Особенность формулы (43.8) состоит в том, что р необходимо брать в запаздывающий момент времени <'=г — «<с. Задача 434.
Показать, нто импульс, уносимый злектромагнитным излучением вибратора Герца, равен нулю. Формулу (43.8) можно использовать для вычисления мощности излучения медленно движущегося одиночного заряда. В самом 13! Векторы (43.5) определяют поле излучения, соответствующее дальней (волновой) зоне. Так как при достаточно больших г это поле является преобладающим, то именно им определяется поток излучаемой вибратором электромагнитной энергии. Для оценки размеров ближней и дальней зон введем характерные длины: Рнс, 43.3 деле, для этого достаточно рассмотреть диполь, один из зарядов к которого неподвижен. Примером Рнс.
43.2 такой системы может служить атом водорода, в котором легкий электрон движется вокруг практически неподвижного тяжелого протона (рис. 43.3). Так как неподвижный заряд создает лишь статическое поле, то вся излучаемая энергия определяется подвижным зарядом е. Поэтому, полагая в (43.8) р = еР (т), для мощности излучения одиночного заряда находим Р,= —,е~ ~ — — = —,Ф 2 —— (43.9) (Формула Лармора). Практический интерес представляет гармонический виб)затор Герца, когда зависимость р(е) имеет вид р = р, соз оэа (43.10) Используя (43.2), находим Е=Ке(Еое '"" ""), В=Ке(Все '"" "'), где амплитуды Ео и Во удобно представить в виде разложения по степеням кг=слг)е=2яг)Х: Ео = [Зп(про) ро] (! — Йг)/г~ — [п [про]] й ~/г, (43.11) Во = [про] (1 — !кг) йс) г~. При этом в ближней зоне (кг<(1) получим* Ео = Ч [(рог)/г~], Во =0 тогда как в волновой зоне (кг»1) Ео=йт [в[про]]/г, Во= [пЕо].
* Нетрудно видеть, что нрн этом а,=а,=х/(2н)=й 132 (43.14) Задача 43.2. Рассчитате энергию, теряемую электро><ом яри рассеянии иа ядре с порядковым номером У. В качестве другого применения векторов Герца рассмотрим магнитный вибратор Герца, представляющий собой, например, небольшую рамку с током, обладающую магнитным моментом ш(<). Рассматривая поле рамки на большом расстоянии от нее, магнитный момент можно считать точечным, т. е. положить М=ш(<)6(т), Р=О. Тогда с помощью (42.7) находим следующие векторы Герца: с/ (43.16) Вычисление характеристик электромагнитного поля по векторам Герца (43.! б) аналогично расчетам для электрического внбратора Герца, что позволяет использовать результаты последних, если в них совершить подстановку: р- ш, Е- В, В в — Е.
В итоге находим Е= — (пй)+ —, (пй~, В= —, Зп(пш) — ш ' (Зп(пй) — й(+ — ",(п(пйИ . (43.17) * В данном случае дипольное приближение применимо, если Х»l (см. и 44). 133 В этом случае мощность излучения равна зю4 г (43.12) ! 3,< 'г с/ или после усреднения по времени Р 4 2~(3.3) (2 ~3)4( г >3) (43.13) Отметим важное для практики обстоятельство: мощность излучения вибратора обратно пропорциональна )4. Полученные результаты можно применить и для расчета излучения простейшей антенны, для которой р(г) = 1в(г), р'= 11.
Считая ток возбуждения в антенне периодическим (1=1осозсо<), для средней мощности излучения найдем* Р =1г 21г ~г 1(Зсэ) =1гЯ 2! г я,=",, = —,'('— ) (43.15) называется сопротивлением излучения анте>о<ы или ее эквивалентссым сопротивлением, поскольку потери на излучение эквивалентны тепловым потерям на омическом сопротивлении Я<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
