Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1дВ с сс С учетом постоянства а и р перепишем эти уравнения в таком виде: 110 Ойдо Е=О, (3) гогН=- —, (1) с Й (38.2) го1Е= — ~ —, (2) йчН=О. (4) с Й Дифференцируя первое из уравнений (38.2) по О имеем дН кзЕ го1 — =- —,, Й ей~ или с учетом второго уравнения с я дгŠ— — гог гог Е =- — ', . я с дс2 Так как йчЕ=О, то го1го1Е=ЧгйяŠ— ЛЕ= — ЛЕ и поэтому (38.3) Ф где гав=с/ йр. (38.4) Таким образом, мы получили волновое уравнение, описывающее распространение волн со скоростью гф.
Нетрудно убедиться, что вектор Н подчиняется такому же уравнению (38.5) Итак, можно сказать, что любая компонента векторов Е, Н подчиняется общему волновому уравнению (38.6) Решение этого уравнения записывается наиболее просто в случае, когда ф зависит лишь от х и к Тогда уравнение (38.6) сводится к следующему: (38.7) Замечая, что сделаем заменУ пеРеменных д =х — сед г) =х+гег, в соответствии с которой д'ф и (38.7) принимает вид =О. Щч 111 Отсюда следует„что общим решением волнового уравнения (38.7) является функция !у(1 х) =,П1 (Г)+Хг (г!) =Л (х — оь1)+/, (х+ оф1), (38.8) где Г„7',— произвольные функции.
Полученное решение представляет собой суперпозицию двух возмущений, распространяющихся соответственно вправо и влево со скоростью оф. Для электромагнитных волн в вакууме уравнение (38.6) принимает вид уравнения Даламбера Пч!=О, (38.9) ! 02 где введен оператор Даламбера П =Л вЂ” — —, л эр' Изучим свойства решений уравнения Даламбера в трехмерном случае в некоторой области )л. Прежде всего докажем, что всякое решение уравнения Даламбера однозначно определяется заданием в начальный момент времени 1=0 двух функций (ф и д!(!/д!), а также заданием на границе области 5 для 1>0 либо функции ч1, либо (пК) ч!.
В самом деле, предположим, что это не так и что найдутся два различных решения уравнения Даламбера ф, и ч!2, удовлетворяющие одним и тем же начальным и граничным условиям. Тогда их разность и = — ч1, — ч! также является решением уравнения Даламбера Пи=О с нулевыми начальными и граничными условиями. В то же время интеграл )=- —,+(Ки)" 11е; ис— а —,, сохраняется во времени, поскольку — — ", и+(КиКи) 1) е'= (идти+(КиКи)1 Л'= к =) йч(иЧи)дГ=~и(пК)иг(Я=О, так как на поверхности Я для любого момента времени 1>0 и(пЧ)и=О.
Однако и=и=О в момент !=О, т. е. Ки=О и 1=О, что возможно только при и = О, откуда и следует единственность решения. Итак, общее решение уравнения Даламбера содержит две произвольные функции, соответствующие заданию в начальный момент времени Ч! и дф/д!. Однако нахождение этого общего решения упрощается, если заметить, что всякому решению ф можно сопоставить независимое от него решение дху/д1. Таким образом, достаточно найти решение, содержащее лишь одну произвольную функцию.
112 Если разыскиваемое решение г)г уравнения Даламбера сферическн-симметрично, т. е. Чг=з(г((, г), то (38.9) принимает вид дг 1 дгф — — (гг(г) — — — = О. г дгг сг дгг При этом для функции гг(г получается уравнение типа (38.7). Пользуясь общим решением (38.8) этого уравнения, убеждаемся, что любое сферически-симметричное решение уравнения Даламбера имеет структуру г(г((, г)=-~Г(г — с()+К(г+с(Я, (38.10) дГг Г Г = — ( — ~ у'(г+сгд)45! )+ — ~г д(гч-сгч)дое дг) 4и 3 (38.13) Задача 38.1. Получить сфернчески-ск.ыметричггие решение (38.10) с помощью (38 13).
Особую роль в теории электромагнитного поля играет частное решение уравнения Даламбера, обозначаемое 1л (1, г). Оно является сферически-симметричным и удовлетворяет следующим начальным условиям: 1)о(0, г)=0; д гг)о =8(г). (38. 14) * Смл Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964. С.
694. 113 где 7 и я — произвольные функции. Следует только отметить, что, за исключением выбора 8(х) = — Г( — х), функция (38.10) имеет в точке г=О особенность и поэтому удовлетворяет уравнению Даламбера всюду, кроме этой точки. Если же разыскиваемое решение уравнения Даламбера не является сферическисимметричным, то для его нахождения прихолится пользоваться специальными метолами математической физики.
Ознакомимся с одним из них, предложенным Пуассоном и получившим название метода сферических срсдкихь, Делая подстановку ф=ш, приведем уравнение Даламбера к виду 1 дг дги = — г — г (ш) = — г (сги). (38.11) гс ' дг' сг д (сг)' Сравнение (38.!1) с (2П.16) показывает, что и можно считать сферическим средним от некоторой функции Г(г) по сфере радиуса а=с!, т. е., согласно (2П.! 5), г ф=ги=г(Г(г))пм — ~> У(г+сгд)45ь (38.12) !41=! Второе независимое решение получается лифференцированием (38.!2) по и, таким образом, общее решение уравнения Даламбера имеет вид д ф(г, г)= — (г(Г(г))„),'-г(8(г)У„= Пользуясь представлением Ь-функции в сферических координатах (см. задачу 3.1) Ь(г)= — (2лг) 'Ь'(г), с помощью (38.14) и (38.10) находим, что для Ро ф)= — 8(г), -[ — )'(г)+8'(г)1= — — Ь'(г), откуда 1'(г)=Ь(г)/(4яс).
Тогда Р,(О г)= — [Ь(г — с!) — Ь(у+с!Я. Задача 38.2. Показать, что решение уратшния Даламбера, отвечашщее началь- ным УслпвиЯм 9~, о=у (г); д|г/дг), ь=я(г), есть д Ф(г, г)= (и. (ь е)8(г')+ — п,(г, и) (') 14 у, !38.16) где Я=)г — г'). Задача 38.3. Найти решение уравнений Миксвелла в вакууме, описывшощсе аксиалыю-симметричный Монохроматический пучок света (луч лазера).
$ 39. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЪ| Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле зависит лишь от х — пад т. е. РаспРостРанЯетсЯ со скоРостью па — — с/ сгв)г вдоль оси Х. Тогда уравнения (38.2), записанные для компонент векторов Е и Н, примут вид дН, е дЕ, дЕ, р дН„дЕ„дЕ„ — *= — "=О. дх с дг дх с дг ' дг дх дН, в дЕ„дЕ, !з дН, дН„дН„ дх с дг ' дх с дг ' дг дх Решение этой системы: Е =Е"'(х — ре!), Н,= -Е"'(х — пе!), Е,=сопя!, (39.2) х1 а 'г Ч где Е"', Еьв — произвольные функции х — ййп Исключая неинтересные с физической точки зрения постоянные поля Е, и Нел находим два независимых решения исходной системы уравнений: Е =Е!" (х — йе!), сЕ„= грН„Е„=Е,=Н„=Н„=О; (39.3) Е, = Еьз! (х — й !), /а Е, = — ур Н„, Е„= Е„= Н„= Н, = О.
(39 4) Направив вдоль оси Х единичный вектор я, убеждаемся, что векторы Е и Н должны быть связаны соотношением )гН= Й[8Е3, или В= е)г[вЕ3=с[аЕ3/се. (39.5) 1!4 Полученные независимые решения уравнений (38.2) отвечают двум возможным видам линейной поляризации плоской электромагнитной волны. Особенностью этих решений является поперечность электромагнитного поля, выражающаяся ранено~вами (вЕ) =(вВ) =О. Используя (39.5), пззотность энергии электромагнитного поля и вектор Пойнтинга для указанных решений можно представить следующим образом: ьо=аЕ')(4п)=рНз/(4я), Я=все(о=асье!' вр. (39.6) Частным случаем этого решения являются монохроматические плоские волны, для которых функции Е"', Есп выбираются в виде А соз 1к (х — о91) + (р), где А и (р — некоторые постоянные.
При этом А называется амплитудой волны, а (р — фазовой постоянной. Часто используют более удобную комплексную форму, замечая, что физический смысл имеют соответственно действителы|ая или мнимая части решения, объединение которых возможно вследствие линейности исходных уравнений. С учетом этого монохроматическую плоскую линейно поляризованную волну удобно описывать следующим образом: Е=Еое 11~! "'"), Ео=Ео, В= — 1яЕ), (вЕ)=0, 1(=в —.
(39.7) и(, и(, Аналогично, для монохроматической плоской эллиптически поляризованной волны Е=(Е~(1+(Еьз()е'йьи! "+в), Е~((а(=Е~! И (39.8) В= — ) вЕ3, (вЕ)=0, (Ев"ЕД!)=О, 1(=в —, о(, оь причем в случае )Е)((1)=)ЕД1) получается волна, поляризованная по кругу. Задача 39.1. Россмотреть суперпоэицию двух эллиптииески поллриэовинных плоских монохро.иитииеских воли, роспрострипяющихся в противоположных поправлениях: Е='1(Е(ч+(Е(э()е '"'+(Еэи-Ь(Езэ()е'«)е!О !. Еп=е,н(*', (ее,)=Ь„, с, в=!, 2. йынислить усредненные по времени плотность энергии И и вектор Пойнтииго и, понимая под усреднением по времени оперикию х Уев 1пп — ) Г(() дс 1 Г !39.9) о Итак, монохроматическая плоская волна всегда может быть представлена в виде суперпозиции линейно поляризованных волн, каждая из которых характеризуется амплитудой Е, единичным вектором поляризации е, (с=1, 2) и волновым вектором й.
При 1!5 этом два возможных вектора поляризации е,, е, и вектор й образуют ортогональную тройку векторов. Каждому вектору соответствуют два возможных значения частоты о> = + 1спяч отличающиеся лишь знаком, что приводит к изменению направления распространения волны. Следовательно, для получения общего решения уравнений Максвелла без источников в однородной среде достаточно взять суперпозицию решений вида [Ег(к)е и""+Е,(1с)е "")е'ь', (39.10) т. е, рассмотреть интеграл Фурье Е (с, г) = Щ [Е, (1с) е с"'+ Е ()с) еси3 е (ьг)с( згс, (39.11) где о> =11с ! пб, (1сЕ па) = О, с(~й = с(А „сй, с)/с,. Эта формула описывает действительное поле Е, если Е, (1с) = Е, ( — 1с).
(39.12) 116 В последнем нетрудно убелиться, взяв комплексное сопряжение от (39.11) и сделав замену переменной интегрирования )с-+ — 1с. Воспользовавшись соотношением (39.5), находим индукцию магнитного поля, отвечающую решению (39.11): В(1, г)=с Щ ([кЕ!)е ™ — [1сЕз)е™) е'"') —. (39.13) Во многих физических задачах приходится рассматривать волновые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности.
Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиусом-вектором к=(""". (39.14) 11 и Задача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакгти в однородной среде; убедитьгя. что его скорость не превышает оь. Покивать, что если волновой пикет не рисплывается. перемещаясь в вик>уме как единое целое, то его скорость равна с, а между энергией И' и иипульсом С существует связь с'С=си'. (39.15) Обратимся теперь к знаменитым опьп ам Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
