Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для квазилинейных проводников подстановкой )»ЙУ=.»;Й! каждый обьемный интеграл в (32.10) сводится к линейному: (д1,д1,) (32.11) с, с„ Однако такое упрощение допустимо только при вычислении взаимной индуктивностн А;» непересекающихся квазилинейных проводников, когда г;~г». В противном случае необходимо пользоваться обгцим выражением (32.10). Зииача 32.1. Полагая в 132.10) Г,=гога„еде д1гя,=ц повалив»ь, чп»о для Е,» справедливо представление Ви44хя)(К,К„)ди Для квазилинейных проводников смысл коэффициентов Л~ становится особенно понятным. В самом деле, в этом случае, вводя магнитный поток Ф; через контур С; 1-го проводника, находим И'„= — (1А) г) = — ~ ~)»(Аг)1) — = — ~.(»Фн (32.13) 2с,.
! Г с, Сравнение с формулой (32.9) показывает, что Ф =-~»„Еа1»=,'~" Ф» е» (32.14) где Фа — — ьа 4» 1с — магнитный поток, создаваемый током 1, и пронизываю1ций контур Сн Таким образом, для 92 формул (32.6) и (23.5), а также (32.8) и (23.6). В обоих случаях энергия взаимодействия элементарных токов или зарядов изменяется с расстоянием по закону 11'Я. Обычно токи текут по проводникам, занимающим некоторые области У„У», ... В то же время из условия стационарности токов г))т)=0 вытекает, что линии тока являются замкнутыми. Выделяя области У», отвечающие полным токам 1ь можно положить 1»ж1»1»(г) и переписать (32.8) в виде 2 1» 1 2с' г, квазилинейных проводников коэффициенты 2,;„можно определять либо из энергии [см. (32.9)], либо из магнитного потока [см. (32.14) [. Задача 32.2.
Рассчитать индуктивность м тороидальной катушки, имеющей Ж витков. Максимальззый и минимальный радиусы таранда равны соответственно Ь и а. Посмотрим теперь, как изменится выражение для энергии магнитного поля в присутствии сверхпроводников. Если сверх- проводящая область )г односвязна, то внутри нее [см. (31.8)[ А=сопз1 и поэтому ее вклад в энергию равен Н.= — ()А)б(= — А 1Л =0 на основании (29.6). Это означает, что односвязный сверх- проводник не может быть самостоятельным источником магнитного поля в полном соответствии с задачей 31.5. Допустим теперь, что сверхпроводящая область 11 многосвязна.
Ясно, что, проведя достаточное число разрезов 5ь область Г всегда можно сделать односвязной. В этом случае, полагая [см. (31.6) [ А = Чу, имеем Иг = — ([Чу)д(г=~ — [в[) [К[;с15=~ — 1 [)([ь (32.15) ! з и = ~ и'= — (ВН) — -(МоН) (32.16) 94 3, где [Х[; — скачок Х на разрезе 5ь 1 — сила тока через разрез оы Сравнение (32.15) с (32.13) показывает, что в квазилинейном случае скачок [у[з соответствует магнитному потоку Фн Задача 32.3. Вычислить индуктивность 1.
тонкого сверхпроводящего кольца адиуса а. Радиус сечения провода гь «а. плача 32.4. Тонкое сверхпроводящее кольцо находится в магнитном поле с напряженностью Нь, перпендикулярной его плоскости. Найти зависимость силы тока 1 в кольце от напряженности Нь, меняющейсл от нуля до критического значения Н„р и затем вновь спадающей до нуля, Найдем еще выражение для энергии магнитного поля в присут- ствии постоянных магнитов. В этом случае уже нельзя полагать ьо =(ВН)Я8я), поскольку В~(ьН.
Рассматривая идеализированное приближение (30.14), для изменения плотности энергии магнитного поля, согласно (14.5), получим ь .= — '(ньв)=-"~ньн)=ь( — 'и*). Таким образом, можно считать, что в случае идеализирован- ных постоянных магнитов и полная энергия магнитного поля равна — (ВН)01г — — (МоН)01г (3217) (32.18) Нз В~.з — В~., = — ' (В,Н,) — (В,Н,) — (ВбН) б1. н, При возвращении в ту же точку, т.
е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в 1 см' ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты ф Ьзо = — — (ВЬН)>0. (32.20) Это происходит потому, что при перемагннчивании домены поворачиваются, что сопровождается разрывом сцепления между ними, т.
е. работой против сил «трения». Задача 32лк Показать, юпо если в магнитное поле, созданное заданны.ии постоянными токами, внести магнетик с проницаемостью, отяичающейся на ди от проницаемости окружающей среды, то измюзение энергии поля равно 2 П28 8к ) Показат~ также, что при внесении сверхпроводника энергия поля уменьшается. 132.21) Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если 1=0, т. е.
если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна Рис. 323 В ю 2 (МОН) ь1~ Нетрудно видеть, что И' >О, так как Мо и Н антипараллельны. Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения.
Замечая, что 4яби =(НБВ) = 5(НВ) — (ВбН), при изменении напряженности поля от Н, до Нз получим следующее изменение энергии: я зз. силы, ДейстВУюЩие нА сВеРхпРОВОДники И МАГНЕТИКИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ откуда видно, что сверхпроводник в магнитном поле испытывает поверхностное давление, численно равное плотности энергии магнитного поля (магншиное давление). Причину этого давления, очевидно, следует искать во взаимодействии поверхностных токов. Для того чтобы найти силы, действующие в магнитном поле на магнетик, характеризуюшийся проницаемостью ц(г), воспользуемся соотношением (32.21).
Как и в 9 27, рассмотрим бесконечно малое смещение магнетика на вектор Ьа(г) в некоторой малой области 1'. Тогда из (32.21) по аналогии с (27.11) получим ЬИ~ = — — Н' (баЧр)+т — ~о)гба ОР. (33.3) Однако, как было выяснено в задаче 14.1, энергия системы зарядов может измениться лишь за счет работы ЬА, вихревого электрического поля, возникающего при смещении магнетика. Эта работа равна и противоположна по знаку работе ЬА магнитного поля над молекулярными токами. В итоге, приравнивая уменьшение энергии магнитного поля работе вихревого электрического поля, имеем ЬИ' = -ВАв=бА .
(33.4) Вводя плотность сил Г'""', действующих на магнетик в магнитном поле, можно записать 1 фввввба) пр (33.5) 96 Начнем с вычисления силы, действующей на сверхпроводник. Так как в объеме сверхпроводника )=О, то исчезает и обьемная плотность силы Лоренца Т = 1)В ]/с = О, тем более что внутри сверхпроводника В = О. Поэтому ясно, что на сверхпроводник могут действовать лишь поверхностные силы.
Очевидно, что поверхностная плотность силы Лоренца равна г= '(1В'Д/с, (33.1) где 1=с [нН1Я4я) — плотность поверхностного тока, В' — индукция действующего магнитного поля. Так как внутри сверхпроводника В=О, то, повторяя рассуждения задачи 3.4, нетрудно убедиться, что В'=В~2, где  — индукция магнитного поля у поверхности сверхпроводника, удовлетворяюшая граничному условию (нВ)=0. Таким образом, Г = ~1В~ 1(2с) = — в (ВН)/(Вя) = — пвг, Подставляя выражения (33.3) и (33.5) в (33.4), имеем Н' 8п 8п 1, дс что по структуре аналогично (27.!4). Для разреженных магнетиков, когда р=!+ст=! [см.
(59.15)), формула (33.6) упрощается и принимает вид Г'„'"' (р — 1) ЧН~/(8я). (33.7) К этому выражению можно прийти и в микроскопической теории. В самом деле, из соотношения (33.4) следует, что если известно выражение для энергии И' магнитного поля как функции некоторых обобщенных координат д„с)„., то обоб1ценные силы Г, могут быть найдены по формуле Е;=г)Вс !ддь (33.8) Звдвчв ЗЗЛ.
Найти силу и момент сил, дейстеуюи1ие но точечный .магнитный момент т в магнитном поле Во. Представим теперь магнетик как совокупность молекул, обладающих магнитными моментами шь Тогда плотность силы, действующей на магнетик в магнитном поле В, следуя результату задачи 33.1, равна в "тв = — 2 ' (п1,Ч) В,.
! е Ы' (33.9) Заменяя индукцию В; действующего поля на среднюю индукцию В, что допустимо для разреженных сред, и вводя намагниченность (33.10) из (33.9) с учетом тождества (НЧ)Н=ЧН'!2, справедливого при го1Н=О, находим ("„'"'=(МЧ) В- р(Р— 1) ЧН21(8я), что согласуется с (33.7) для р-1. Нетрудно видеть, что в соответствии с (33.7) парамагнетики (р>1) должны втягиваться в область сильнейшего магнитного поля, а диамагнетики (р<1) — выталкиваться из этой области.
Наконец, в том случае, когда в магнетике текут токи проводимости, плотность сил, действующих на магнетик в магнитостатическом поле, очевидно, равна Поступая так же, как при решении задачи 13.1, иногда бывает удобно представить (33.10) в виде 1' =йчТ~ и (33.11) где Т~, — тензор магнитных натяжений, имеющий компоненты з г а р 1 л 0( арап Т,,= — НН вЂ” — р — т — 5 . 4л 8л (, дт,) С помощью формулы (33.11) полную силу, действующую на магнетик, занимающий некоторую область Р; можно свести к поверхностному интегралу по границе 5 области: Е = — "(пН)Н вЂ” ~ р — ~— " и г(5. (33.13) 98 8 34. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК До сих пор мы считали токи проводимости заданными, не останавливаясь на причинах того, как практически можно поддерживать их неизменными во времени.
Однако ясно, что в проводящей среде, в которой, согласно закону Джоуля— Ленца (14.3), происходит постоянное выделение теплоты, стационарный ток может поддерживаться лишь сторонними электродвижущими силами. Вводя напряженность Е 'г поля этих сторонних сил, запишем основные уравнения, определяющие плотность тока 1 н напряженность Е электрического поля в среде, характеризуемой электропроводимостью о (г) и диэлектрической проницаемостью е(г): йч1=0, 1=о(Е+Е'"'), йт(аЕ)=4яр, госЕ=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
