Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 15
Текст из файла (страница 15)
'* Преобразование (28.6) называется градиентным или калибровочным преобразованием вектора-потенциала А. 77 3) внешнего магнитного поля с напряженностью Но; 4) сверхпроводников (с заданными полными токами). Найдем сначала индукцию магнитного поля, создаваемого заданными токами в вакууме*, т. е. решим систему уравнений: гогВ=4н)/с, с)(уВ=О. (28.1) Плотность тока 1(г), согласно первому уравнению (28.1), подчиняется стационарному закону сохранения: сйу)= О. (28.2) Чтобы удовлетворить второму из уравнений (28.1), воспользуемся тождеством с(1уго1А=О и положим В=го1А, (28.3) введя векторный потенгуиал А. Подставляя (28.3) в первое из уравнений (28.1), имеем го1 гог А = 4и1 / с, (28.4) или с учетом соотношения (2П.13) ЛА — Чс))уА= — 4Ч/с. (28.5) Заметим, что из уравнения (28.3) при заданной индукции В магнитного поля вектор-потенциал А определяется неоднозначно.
В самом деле, согласно тождеству гог Чф = О, вместо А всегда можно взять другой вектор А', отличающийся на градиент произвольного скаляра з(г*в; А'=А+ЧУ. (28.6) Но последний всегда можно выбрать так, чтобы с(1тгА'=О. Для этого достаточно подчинить ф уравнению Лф = — г)1у А. Таким образом, всегда можно положить гйу А = О и находить вектор-потенциал А как решение системы уравнений: ЛА= — 4я)/с, с((уА=О.
(28.7) Замечая, что в декартовых координатах любая из компонент вектора А удовлетворяет уравнению типа Пуассона, можно по аналогии с (17.4) записать решение уравнений (28.7) для всего пространства в виде где К=г — г'. При этом нетрудно убедиться, что (28.8) удовлет- воряет условию г!!цА=О, В самом деле, переходя в (28.8) к новой переменной интегрирования К, имеем сс!1цА=йц — с)Р'я= с!Р, !1(г — и) ) д1ч)(е — И) л " ) я что действительно обращается в нуль (см. (28.2)].
Отметим, что к решению (28.8) можно добавить вектор А„, удовлетворяющий уравнению Лапласа ААо = 0 и условию с!!ц Ао =О. Однако если система токов ограничена и физически приемлемыми считаются только решения, исчезающие на бесконечности, то ясно, что Ао = О. Это следует из того, что Ао является векторной гармонической функцией и по принципу максимума может удовлетворять граничному условию !пи Ай=О только при Ай=О.
Применяя к (28.8) операцию ротора, находим индукцию магнитного поля: В=-' 1 '(,') Л =-' Ч-,'1 б), откуда следует закон Био — Савара — -Лапласа: В=-' ~(1'и1 ОГ. с к' В итоге доказана эквивалентность (28.1) и (28.9). Для однород- ного магнетика в (28.9) вместо В нужно подставить Н. Залвнп 18.1. Найти вектор-потенциал А и индукцию В магнитного полл, создаваемого.' а) прямым током 1; б) бесконенной прнмой катушкой с токо.и силой Л имеющей и витков на 1 сы и радиус а. Перейдем теперь к задаче о нахождении индукции В в неод- нородном магнетике, характеризующемся магнитной проница- емостью р(г). В этом случае необходимо использовать уравнение го1 Н=го1(-В) = — 1, (28.10) 'кя у с подставляя в которое (28.3) находим го!( — го1 А) = — 1.
(28.11) 1!з г с Допустим, что требуется найти индукцию В в некоторой области )г, ограниченной замкнутой поверхностью 5. При этом можно выделить три типа граничных задач: 1) на поверхности 5 задан вектор 1вА), где и — внешняя нормаль к 5; 2) на поверхности 5 задан вектор [пНд; 78 3) на части поверхности 5 задан вектор [пА3, а на другой ее части — вектор [вН3.
Покажем, что во всех этих задачах магнитное поле определяется однозначно, а векторный потенциал — с точностью до градиентного преобразования. Предположив противное, примем, что существует два разных решения А, и А,. Тогда их разность и=А,— А, согласно (28.11) и (2П.4а), будет удовлетворять уравнению с((и ~ -" го1 и1=-'(гоги)'. (28. 12) ~в 1 я Интегрируя (28.12) по области И и применяя теорему Гаусса †Остроградско, находим -(гоги)~ г()л=1й — ([пи) го1и) сБ.
(28.13) я 1Н И 11-0, [ [ — ~А)]- — с (28.15) где 1 плотность поверхностных токов проводимости на границе раздела. 79 Очевидно, что поверхностный интеграл в (28.13) исчезает с учетом наложенных граничных условий, так как во всех случаях либо [вп1, либо [вго1 «3 обращаются в нуль на поверхности о. Но тогда из (28.13) вытекает, что гоги=О.
Это и доказывает теорему единственности. Наконец, остановимся на граничных условиях (12.3) и (12.6), которые должны накладываться в тех случаях, когда магнитная проницаемость испытывает разрыв на некоторой поверхности о ' внутри области )с. Прежде всего необходимо наложить условие непрерывности касательной составляющей вектора-потен- циала А на поверхности о '. ((нА ]) =О. (28.
14) Это делается для того, чтобы индукция В была конечной. В самом деле, если принять, что А может иметь скачок [А3 на Я', то, согласно (21.3), индукция на о ' имеет сингулярную часть В'""'= [ЧГ(А )) Ь [('(г)], где с'(г)=0 — уравнение поверхности Я'. Таким образом, индукция В принимает бесконечные значения в точках поверхности о', что физически недопустимо. Если же выполнено условие (28.14), то В'""'=О, так как в=Ч)1)): Задача 28.2. Поновотв, что граничное условие (а (В 1)=0 является следствием (2кл4).
Таким образом, с учетом (12.6) на границе раздела двух магнетиков должны выполняться следующие условия: А(г)=- )( ) оГ' с))г — гд (29.1) разложение (19.4), найдем для г>а>г' А(г)= ,'> —, ")'(г'Ч)'-й)"= ,'> —.яро" од,....д,. —, (29,2) где введен тензор 2'-польного магнитного момента „гг'ч' о=-~ х'" ...х'"1'й)", 1(' „ (29.3) каждая компонента которого является вектором. Вычислим низшие мультипольные моменты .4Г,о> и Мп, (которыми на основании оценки типа (19.18) можно ограничиться при определении А, если г»а ].
Для этого удобно воспользоваться соотношением (28.2) и условием ограниченности системы токов, согласно которому 1=0 при г>а. Умножим (28.2) на произвольную функцию Дг) и проинтегрируем по области 1; применив теорему Гаусса — Остроградского: ) )(г)о1У)ог'= — ) (1Ч)~й)'+ у 1(г)(в))дую=0. (29.4) Но поверхностный интеграл в (29.4) исчезает, так как 1=0 при г>а. В результате получается тождество (() Ч)Г(г)5(и=о. Подставляя Д(г)=х' в (29.5), находим (29.5) ) (1Ч ) х'с()'= ) ~ас(Р'= О.
Иначе говоря, юГ<о>=) ИУ=0 (29.6) 80 8 29. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ТОКОВ (МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ) Предположим, что токи с плотностью ) сосредоточены в некоторой области пространства 1; которую можно заключить в сферу конечного радиуса а. Подставив в общее выражение для вектора-потенциала Выбирая в (29.5) г"(г)=гх", имеем ) (1Ч)гх~о(г=) ()х" +г/')с11'=О.
г С помощью (29.7) первый член мультипольного разложения (29.2) преобразуется к виду — [ — 1'(г'Ч )+г'(1'Ч)) -с1 е" = — — [[г'1') Ч) -д(г', или, если ввести магнитный момент системы токов (29.8) к виду А [ .)~.з Используя тождество (справедливое при г>0) гог — = — Ч вЂ”, [зпг) (афпг) „3 гЗ (29.9) (29.10) т.
е. введя магнитный скалярный потенциал зГ,, отвечающий магнитному диполю с моментом вп .)~гз (29.12) Нетрудно видеть, что, повторяя процедуру построения электрических мультиполей и взяв за исходное векторный потенциал (29.9) магнитного диполя, можно прийти к магнитостатическому аналогу формулы (19.9): А,=( — 1)' ' П (а,Ч) [";~. (29.13) В качестве конкретного случая системы оганиченных токов рассмотрим замкнутый линейный ток силой 1, текущий по некоторому контуру С. Так как для линейного тока 1с(Г=И1 8! доказанное при решении задачи 1.5, индукцию, соответствующую векторному потенциалу (29.9), можно записать по впало~ни с электростатикой: (29.11) и сила тока 1 постоянна в любом сечении контура С в соответствии с (28.2), то формула (29.1) в этом случае примет вид А =-ш —.
<) Я (29.14) с Применяя теорему Стокса (2П.8а), приводим (29.14) к интегралу по правоориентированной поверхности 5, натянутой на контур С: А=- 1в'Ч'1 — о5'=-, о5'. (29.15) х 5 Очевидно, что (29.15) можно представить как вектор-потенциал двойного магнитного слоя (магнитного листка): ~ [ив'и) яз (29.16) где элементарный магнитный момент равен дш' =Гп'65'/ с, (29.17) что соответствует мощности двойного магнитного слоя т =! с. Нетрудно видеть, что если ввести скалярный магнитный потенциал ф, отвечающий (29.!5), то он будет иметь такой же вид, как и для двойного электрического слоя; ~ (дв'и) т Я' к (29.18) 82 где й — -телесный угол, под которым виден контур С из точки наблюдения (см.
задачу 1.5). Очевидно, что потенциал ф не является однозначной функцией точки — при обходе вокруг контура с током он испытывает приращение 1ф1=4ят =4я1/с. (29.19) Но если в случае двойного электрического слоя скачок потенциала на его поверхности обусловлен тем, что внутри бесконечно тонкого двойного слоя напряженность электрического поля оказывается бесконечно большой 1см.
(20.6)1, то отмеченная неоднозначность магнитного скалярного потенциала обусловлена двусвязностью области определения функции ф (все пространство, за исключением контура с током). Эту область можно сделать односвязной, проведя разрез по некоторой поверхности э, натянутой на контур, и считая, что на ней потенциал ф испытывает скачок (29.19). Но так как поверхность о можно произвольно сместить так, чтобы точка наблюдения не попала на нее, то всегда оказывается справедливым преобразование (29.15) и представление скалярного магнитного потенциала в виде (29.18). Таким образом, мы пришли к выводу, что магнитное поле замкнутого линейного тока 1 тождесзпвенззо полю магнитного листка мощностью г„=1! с, натянутого на контур тока (теорема эквивалентности Ампера).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
