Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Задача 21.1. Показать, нто сингулярные насти сан Р и гогМ, обусловленные разрывами векторов Р и М на некоторой новеркности 5', заданной уравнением у (г) = О, имеют вид д)з Р'""' =(Ч~ 1Р 1) б [ Г(г)), „1М™йг [ЧУ 1М 1) б [У(гН где 1Р) и (М)- — скачки Р и М на 5'. От указанной трудности можно избавиться, если воспользоваться тождеством ЙЧ'-=-агу'Р'+ — —, , Р 1,, (Р'К) (21.4) вклад в (21.1) йч'(Р'1'Я) равен нулю.
что это действительно так, если в нашем теорема Гаусса — Остроградского, так как и показать, что Нетрудно видеть, случае применима согласно ей йч' — г)рн= — Ы'=О, (21.5) 59 поскольку на поверхности 5, охватывающей объем )г и проходящей вне диэлектрика, Р=О. Задача 21.2. Доказать соооигоигение (21.5). С учетом (21.1) и (21.5) получаем следующее выражение для потенциала связанных зарядов: ср(г)= — —,Й)". (21.б) Принимая во внимание соотношения (7.5) и (19.12), нетрудно т)р — — (пР,) — (пРэ) =— — (и (Р )). (21.9) С помощью соотношения (21.9) представляем вклад поверхност- ных связанных зарядов в общий потенциал в виде Задача 21.3.
Используя соотношения !21.2) и !2!.3), получить граничные условия !!2.8) с помощьнз уравнений Максвелла в диффереззциальной форме. я 22. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ Рассмотрим систему заряженных проводников, помещенных в диэлектрическую среду с проницаемостью с(г). Внутри каждого проводника, обладающего конечной электропроводимостью о(г), справедлив закон Ома 1=оЕ, из которого следует, что в статическом случае, когда 1=0, внутри проводника Е= О. (22.1) Учитывая потенциальность электрического поля, т.
е. полагая Е= — Чср, выводим, что внутри проводника и на его поверхности потенциал ср постоянен: <р = сопя!. (22.2) Кроме того, заряды в проводниках располагаются только на их поверхностях, поскольку объемная плотность заряда, согласно (22.!), исчезает; 4яр = йч Е = О. (22.3) В то же время в диэлектрике в соответствии с (7.7) потенциал бо убедиться, что это суммарный потенциал всех диполей из 1': ср(г)= ,'> — ',', К,.=г — г! вУ В некоторых случаях бывает удобно представить решение (21.6) в несколько ином виде, введя электрический вектор Герца П: ср= — йчП.
(21.7) Нетрудно видеть, что электрический вектор Герца П связан с поляризованностью Р простой зависимостью П(г) = (21.8) У Повторяя вывод условия (12.2) в применении к соотношению р = -йчР, находим связь поверхностной плотности з)р связанных зарядов со скачком поляризованности (Р ) на некоторой поверхности 5'. ср должен удовлетворять уравнению с)1с (сЧ)р) = — 4пр (22.4) и граничным условиям (12.8): (п0а) — (п)У,) = 4пт1, [п(Е, Е',Ц= .' ("') Но последнее условие вытекает из непрерывности потенциала на границе раздела о*.
В самом деле, если функция г'(г) = ср — ср) обращается в нуль на поверхности о, то уравнение последней Рис. 22,1 есть, очевидно, г'(г)=0. Поэтому с учетом выражения для нормали п=Ч~/ ~ЧЯ условие [пЧ()р — ср))) =0 удовлетворяется тождественно. Рассмотрим теперь оставшееся условие (22.5) на границе о проводника с диэлектриком (рис. 22.1). Поскольку в проводнике Р = Е = О, в диэлектрике вблизи границы с проводником выполняется равенство (п1)) = — с (пЧср) = 4тп), (22.6) позволяющее записать полный заряд проводника в виде с=-,— '1 ) т)яка.
(22.7) Итак, граничные условия, отбирающие нужные решения уравнения (22.4), имеют вид: а) на поверхностях проводников о, ()=1, 2, ...), несущих заданные заряды Д, или поддерживаемых при заданных потенциалах ср), я=я,=-... С,=- — '( ) т)яеа; (22.8) б) на граничных поверхностях между диэлектриками при отсутствии свободных поверхностных зарядов ()р1=0, (и (вЧср1)=0. (22.9) При этом возможны две постановки основной задачи: 1) заданы потенциалы проводников )ри найти их заряды Д,. и потенциал ср(г) в диэлектрике; 2) заданы заряды проводников Ди найти их потенциалы )р,.
и потенциал ср(г) в диэлектрике. Докажем единственность решения этих задач. Будем исходить из противного, предположив, что имеется два разных решения * Непрерыаность потенциала необходима для конечности напряженности Е поля. 6) Задача 22.1. Верно ли, что поверхностная плотность заряда на проводниках максимальна в точках наибольшей кривизны поверхностир Показать, что вблизи проводника (а7) 1п (ап) = — 2Н, 122.12) где а — нормаль к поверхности, Н вЂ” ее средняя кривизна. Задача 22.2. Показать, что замкнутая проводящая оболочка является экраном от внешних электрических полей, а в случе ее заземления, т.
е. при ее контакте с проводником очень болыиих размеров,— еще и от внутренних. Показать также, что поле вне оболочки отсутствует, если она охватывает нейтральную систему зарядов. Задача 22.3. Внутри металла вырезана сферическая полость радиуса а. Верхняя и нижняя ее половины заполнены диэлектриком с проницаемостями в, и е, соответственно. В центре полости помещен точечный диполь с моментом р.
Найти потенциал Е в диэлектрике и распределение заряда на поверхности полости. Рассмотреть случаи ориентации диполя вдоль плоскости раздела сред и перпендикулярно ей. Рассмотреть также дву.иерньзй вариант задачи, т. е. цилиндрическую полость и двумерный диполь. $ 23. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Получим выражение для энергии электростатического поля, создаваемого произвольной ограниченной системой зарядов, находяшихся в диэлектрической среде. Выделим произвольную, но достаточно большую область Ео, включающую систему зарядов и ограниченную некоторой замкнутой поверхностью 5.
Тогда энергия электростатического поля, содержащаяся в Е, согласно (14.7), равна — (1ЗЕ) с1 )л. (23.1) 62 и срг. Тогда их разность и=срз — срг, согласно (22.4), удовлетворяет соотношению с)1ц(сиЧи) =е(Чи)г. (22.10) Интегрируя (22.10) по объему )л диэлектрика, ограниченному поверхностями 5, проводников, находим с помощью теоремы Гаусса — Остроградского е(Чи)ге)1' =2.1риа(пЧ) ис)5. (22.11) У ! Замечая, что для первой постановки задачи на поверхностях 5, будет и = О, а для второй постановки и = сопвг, но в то же время уе(вЧ)ис)5=0, убеждаемся, что правая часть в (22.11) исчезает.
Ввиду положительности е это возможно только при условии, что Чи кв О, т. е. напряженность Е поля определяется однозначно, а потенциалы срз и ср — с точностью до общей постоянной. Полагая Е= — Ч<р и интегрируя в (23.1) по частям, находим И',= — <рйя13оР' — — <р(пО)оо.
3 Будем теперь считать поверхность о сферой бесконечно большого радиуса Я. Тогда при Я- со потенциал у убывает как Д/(е А), где е„ вЂ диэлектрическ проницаемость среды на бесконечйости, а Д вЂ” полный свободный заряд системы, равный по теореме Гаусса Все это позволяет получить следующую оценку для поверхностного интеграла в (23.2): — ср(пР)оо = — +О Таким образом, при Я- со (23.2) упрощается и с учетом (7.7) принимает вид (23.3) У где Р' — область, занятая свободными зарядами. Учтем теперь, что потенциал д удовлетворяет уравнению Пуассона Лд = — 4я(р+ рр) и поэтому может быть записан в форме ~р(г)= ~;др", (23.4) где Р" — область, занятая свободными и связанными зарядами.
Подставляя (23.4) в (23.3), получаем выражение для энергии электростатического поля в среде: (23.5) 2) ) 1г — г1 В частном случае системы зарядов в вакууме (рр = 0) из (23.5) получается обычно используемое симметричное выражение (23.6) 63 ! е;е, 1 2 1г,— г! 2,. где гр, — потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме бго, в точке нахождения последнего.
(23.8) Задача 23.!. Используя д!ормул> (23.В), показать, что система зарядов не может находиться в устойчивом равновесии только под действием злектростатиЧеских сил (теорема Ирншоуд Изучим теперь более подробно вклад среды в электростатическую энергию. Используя связь Р=Е+4кР, его можно записать в виде И'„=- (ЕР) с()У. Чтобы выяснить физический смысл этой величины, воспользуемся представлением поляризованности Р в форме (7.5): (23.10) ~еЬУ ~вЬУ где ~ гь! ~ — - эффективное расстояние между зарядами е,а в 1-й молекуле-диполе. Рассматривая молекулы как квазиупруго связанные заряды н вводя эффективный коэффициент упругости /с, условие равновесия упругих и электрических сил можно записать в виде е;+Е,=)сйь откуда вытекает следующее представление для энергии (23.9): 1'г'е = — 2; е,' (ч; К ) = — ~ /сд; .
(23.11) ! Таким образом„ энергию электростатического поля, запасенную в диэлектрике, можно интерпретировать как потенциальную энергию растянутых упругих молекул. Однако даже без привлечения каких-либо модельных представлений о молекулах-диполях, в предположении лишь линейности связи Р(Е)=яЕ, можно показать, что (23.9) представляет б4 Если заряды считать точечными, то (23.6) будет содержать расходя>циеся интегралы, отвечающие собственным энергиям отдельных зарядов.
В самом деле, если заряд е равномерно распределен по поверхности шарика радиуса и, то энергия электростатического поля, очевидно, равна ассов е 2 ('(2а) (23.7) и при а- 0 оказывается бесконечной. Поэтому при рассмотрении системы точечных зарядов из (23.6) обычно исключают бесконечную собственную энергию, оставляя лишь энергию взаимодействия разных зарядов. Нетрудно видеть, что энергия поля в результате такой операции принимает вид Задача 23.2.
Локазить, что если в поле заданной системы эирядов внести нейтральный диэлектрический образец с проницаемостью, отличающеися от проницаемости среды на малую величину бв, то в первом приближении энергия системы изменится на би'.= — — ~ Е'б ди 2 (23.! 3) Локазать ьпакже, что при внесении незаряженного проводника энергия системы уменьшится. Энергия электростатического поля данной системы, очевидно, зависит от ее геометрических свойств, т. е. от некоторых обобщенных координат с)„с)г, ....
Поэтому знание функции И;(с)„с)з, ...) позволяет вычислить обобщенные силы Гн дейст- вующие между элементами системы. Действительно, по принципу возможных перемещений, бИ;= — ,'~ р;б9н (23.14) ь откуда Г,= — дИг,/ддн (23.15) Задача 23.3. Вычислить силу Р и момент сил ьь испытываемые диполем р в поле другого диполл р', расположенною на расстоянии а от первого.
з 24. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ Так как в проводниках статический заряд распределен только по поверхностям, потенциал вдоль которых не меняется, то энергия такой системы (см. (23.3)) равна И',=-',ь ферт) с)5=-,'> срьфг) с)5=-,'~ ср,Дн ! а ь ! (24. 1) где ср, и Д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
