Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Используя свойство инвариантности оператора Йч(с,Ч) относительно отражения г- — г, нетрудно убедиться, что !р' удовлетворяет однородному уравнению !!!т (аЧ!р') = 0 (26.3) !Р! е !(е! "2) !Рг е!(сг"2)+е !(сгг\) (26.5) 70 в области г > О. Очевидно, что !р' — потенциал, созданный отраженными источниками с плотностью р' = — р(х, у, — г).
Таким образом, решением исходной задачи является функция <р=!р,(х, у, г)-(р,(х, у, -г). (26.4) Физический смысл решения (26.4) ясен из самого способа его построения: потенциалы !р, и !р' создаются соответственно распределением заряда р при отсутствии проводящей среды и поверхностными зарядами, сосредоточенными на границе раздела г=О.
В качестве наглядного примера, иллюстрирующего метод отражений, рассмотрим следующую задачу. Пусть плоскость г=О разделяет два диэлектрика с проницаемостями с!(г<0) и сг(г>0). В точке А(0, О, а) в области г>0 расположен точечный заряд е. Используя метод отражений, потенциал поля будем искать в виде (рис. 26.!) Иначе говоря, кроме истинного заряда е мы взяли еще два фиктивных заряда е' и е", помещенных в симметричные точки. С помощью этих фиктивных зарядов как раз и описывается поле поверхностных зарядов, сосредоточенных на границе раздела г = О.
Подставляя (26. 5) в граничные условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных е' и е": Рвс. 2б.1 е'а аг =(е+е')/а„е"=е — е'. Решение этой'системы имеет вид е'=е(аг — с,)1'(сг+аг), е»=2ес,1'(сг+аг). (266) С его помощью можно вычислить поверхностную плотность ц„связанных зарядов на границе раздела (рис. 26.1): це = — (и (Р)) = — (в (Е2) =, ' ' . (26.7) Подсчитаем силу взаимодействия внесенного заряда е с этими связанными зарядами. Энергия взаимодействия равна г 1, ее' е ег-е, Иг',= — егр'г = 2 4аег 4аег е, бег (26.8) откуда находим силу взаимодействия («силу изображения»): р'(г) =(а/Я)~р(г'). (26.12) 71 ег ег (26.9) да 4а'е., 4,4-ег Метод инверсии основан на применении теоремы Кельвина (см.
задачу 16.4). Суть его состоит в следующем. Допустим, что мы знаем решение уравнения Пуассона Лер= — 4яр в некоторой области )». Совершим теперь преобразование инверсии радиуса а с центром в некоторой точке г„: <р'(г)=а<р(г')ггЯ,» г'=а'К/Яг, (26.10) где К = г — га. При этом преобразовании область 1» перейдет в некоторую другую область )»', а уравнение Пуассона, согласно теореме Кельвина, примет вид Лгр'=(а1Я)'Л'<р(г')= — 4в(а/Я)'р(г'), (26.11) что эквивалентно введению в области Г' нового распределения зарядов с плотностью Таким образом, преобразование инверсии связывает между собой решения двух разных задач электростатики, Используем метод инверсии для ре- ~+ щения следующей задачи.
Пусть имеется заземленная проводящая сфера радиуса а и вне ее задано некоторое распределение зарядов р ~ (г). Введем обозначения Гк для областеи пространства вне и вйутри сферы (рис. 26.2). будем искать решение уравнения Пуассона »згр = — 4яр, (26.13) удовлетворяющее граничному условию гр = О сферы, в виде Рис. 26.2 Согласно (17.6), в области на поверхности 'р= ) —,г(~ +гро ! р, (г') (г — г'( (26. 14) где гр — некоторое решение уравнения Лапласа.
Для нахождения гр поместим в области )г инвертированные заряды, плотность которых, согласно (26.12), равна р (г)= — (а)г)'р,(а'г/г'), и рассмотрим создаваемый ими потенциал (26.16) 72 Чтобы убедиться в выполнении граничного условия, вычислим потенциал грс на поверхности сферы в некоторой точке А (рис.
26.2). Для удобства введем обозначения (ОРа =г»., АР», = Я». ) и воспользуемся тем, что условие инверсии г~ г = ах эквивалентно подобию Ь ОАР и гз ОАР~, из которого следует, что г~ /а=а»»г =Я~ /Я =сопзн (26.! 7) Этот факт не удивителен и является выражением известного свойства окружности быть геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний до двух заданных точек постоянно (окружноснгь Аполлония). Используя (26.!7), а также закон преобразования при инверсии >лемента объема г) Р"., = г ~~ с1 г., д й = (а ( г ) с( !' для точек на поверхности сферы имеем т' у„ и что эквивалентно выполнению граничного условия тр=О.
Таким образом, решение задачи имеет вид ср(г)= ", с))" — — рл — г' . (26.!8) т' У Задача 26Л. На расстоянии ! от проводящей плоскости параллелвно ей помещен бесконечный проводящий циэиндр радиуса а с эарядолв н на ! см длины, Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проницаемостью в, найти в ней потенциал П и силу притяжения Р цилиндра к плоскости.
й 27. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ г=т)Е!'2. В то же время [см. (22.6) и (22.8)) (27. 2) т! = — 1п0)„Е = пЕ. (27.3) Все это позволяет представить поверхностную плотность сил, действующих на проводник, в виде г= '(ОЕ) =-.,п. ап (27.4) Таким образом, проводники в электростатическом поле испытывают растяжение, очевидной причиной которого является расталкивание поверхностных зарядов. Интересно, что численно это растяжение совпадает с плотностью электростатической энергии щ,, 73 Так как в проводниках объемная плотность электрического заряда равна нулю, то в электростатическом поле на ннх действует только поверхностная сила с некоторой поверхностной плотностью Е Очевидно, что сила, действующая на элемент поверхности с15, может быть представлена в виде с)Г = те!5= т1Е'с15, (27.1) где Е' — напряженность действующего поля, равная напряженности Е полного поля за вычетом вклада элемента с)о.
Таким же методом, как в задаче 3.4, можно показать, что Е'=Е!'2, и поэтому (27.6) ЬИ',= — Е' (баЧа)+т —,йтба т11'. (27.11) С другой стороны, (27.11) должно быть пропорционально, согласно принципу возможных перемещений, элементарной Перейдем теперь к вычислению сил, действующих в эле- ктростатическом поле на диэлектрическую среду. Для этого воспользуемся выведенным ранее соотношением (23.13), со- гласно которому изменение энергии системы при малом изменении диэлектрической проницаемости среды равно ЬИ',= — — 1Е б~дГ (27. 5) е В общем случае диэлектрическая проницаемость е является сложной функцией плотности вещества т(г), температуры Т, напряжений в среде и многих других параметров. Для простоты предположим, что а зависит лишь от плотности вещества и явно от точки г, т. е. а = а (г, т).
В таком случае для вычисления сил, действующих на диэлектрик, можно восполь- зоваться принципом возможных перемещений и рассмотреть бесконечно малое смещение диэлектрика на вектор ба(г) в некоторой малой области 1'. Тогда бее а[г — ба, т'(гЦ вЂ” е[г, т(гЦек ь а[г — Ьа, т(г — ба)+бт) — е[г, т(гЦ= = — (ба Чс)+ бт (д а / д т), где бт=т'(г) — т(г — Ьа)-т'(г+Ба) — т(г). Воспользуемся законом сохранения массы вещества при деформации г- г'=г+Ьа, согласно которому б(тби)=т'(г )бà — т(г) И'=0.
(27.7) Преобразуем элемент объема д Г к старым переменным, введя якобиан преобразования .У, т. е. полагая дГ =Хд1; где .у=бет~~ д,(х" +ба") Й =с$ет Й б';+8,(ба') Й = з = Д [1+8,.(ба'Ц=!+йтба. (27.8) ~=1 Подставляя (27.8) в (27.7), получаем бт= — тйтба. (27.9) Таким образом, из (27.6) находим ба = — (Ьа Чс ) — т (да / д т ) йч Ьа. (27.10) Подставляя (27.10) в (27.5), находим изменение энергии работе внешних сил. Вводя плотность сил Г;"', действующих на диэлектрик, имеем Ь И', = — ) (1 "Ьа ) д 1'.
(27.12) Для того чтобы привести ЬИ', к виду (27.12), выполним во втором слагаемом (27.11) интегрирование по частям. Возникающий при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, поскольку вне области 1с, по условию, ба=О. Таким образом, ЬИ',= — Е'(ЬаЧс) — Ьа.Ч т — Е' Й)У. (27.13) Сравнивая (27.13) и (27.12), находим выражение для плотности сил, действующих на диэлектрик в электростатическом поле: 8к 8к 1, бз (27. 14) Формулу (27.15) можно получить и в микроскопической теории. В самом деле, как следует из решения задачи 23.4, на диполь р в электростатическом поле Е действует сила Е=Ч(рЕ) =(рЧ) Е. (27.16) Суммируя (27.16) по всем диполям р, из физического бесконечно малого объема Л1' и считая напряженность Е, действующего поля совпадающей с напряженностью Е среднего поля в среде, что справедливо для разреженных диэлектриков с а — 1«1, находим 1;" = — ' ~ Е,= — ' ~ (р Ч)Е,= ду„ау ' ду„оу ~ (р;Ч)Ек— е (РЧ)Е.
Гва (27.17) 75 Задача 274. Показать, что при электризации тел трением или при их близком контакте положительно заряжается вещество с большей диэлектрической проницаемошпью 1закои Кена). Для разреженных диэлектриков выражение для плотности силы (27.14) упрощается.
В этом случае а можно считать линейной функцией т, положив с=1+ст (см. (58.25)). В этом приближении т(да/дт)=с — 1 и (27.14) принимает вид есвяз Ч х' 2 8к Нетрудно видеть, что (27.17) сводится к (27.15), если учесть, что 4яР=(а — 1) Е, и использовать тождество (2П.4д), согласно которому (ЕЧ)Е =ЧЕ' ~2 — [Его! Е) =ЧЕ~/2, (27. 18) поскольку го!Е=О. Если в диэлектрике имеются свободные заряды„распределенные с плотностью р, то плотность сил„действующих на среду в электростатическом поле, равна Т,=рЕ- — Е~Ч8+ — Ч(Е~т — 1. 8л 8л 1 Бг (27,19) Иногда бывает удобно, поступая так же, как при решении задачи 13.1, представить (27.19) в виде $; = с)1т Тс„, (27.20) где Т„>--тензор электрических натяжений, имеюший компоненты (27.
21) 4л 8л ! дл ! Согласно (27.20), полная сила, действующая на диэлектрик в некоторой области ~; равна Е,=) Т,с(Р=) с)1чТВ>с)Р. (27.22) Используя теорему Гаусса- — Остроградского в форме (2П.6), сведем объемный интеграл в (27.22) к интегралу по поверхности Е, окружающей обьем Р: Е,= (п.Твч)с15= — л(пЕ)Š— — а — т —,' и с15. (27.23) 8 88. МАПЗИТНОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКОВ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ Перейдем к рассмотрению магнитостатических задач.
В этом случае исходными уравнениями являются го!Н=4щ/с, с)1тВ=О, В=Н+4яМ (в простейшем случае В=14Н). С их помощью можно определить индукцию В магнитного поля, возникающего в магнетиках при наличии: 1) токов с заданной плотностью 1; 2) постоянных магнитов; А(г)=- ~( )дГ, с) й (28.8) * Случай однородного магнетика получается умножением 1 на р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
