Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 13
Текст из файла (страница 13)
— соответственно потенциал и заряд з-го проводника. Решив основную задачу электростатики, т. е, найдя распределение потенциала ср(г) в окружающем пространстве, всегда можно, 3 зал эзэ 65 собой работу, которую необходимо затратить, чтобы создать в среде поляризацию Р. В самом деле, используя (23.10) и считая, что напряженность Е поля мало изменяется в пределах ячейки сз)г, элементарную работу электрического поля над связанными зарядами среды можно записать в виде ЬИ;=,'> е,(Е.бг)=) (ЕЬР)с))г, (23.12) ! откуда в предположении линейной зависимости Рг ЯЕ и вытекает (23.9). Таким образом, можно с уверенностью сказать, что выражение (23.9) представляет собой энергию, запасенную в диэлектрике при создании в нем электрического поля Е, и обратно задача 24л.
показать, что емкостные коэффициенты г;а могут быть представлены в виде Г:„= ~ аь-саь Сп= — аа (ээьlс), (24.4) где аа, э'ый, определяются конфигурацией векторных линий поля Г). В частности, если среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости в и векторная трубка, начинонэщаяся с площадка дб, э-го проводника, имеет нормальное сечение 45(г)=дь;)з'(г), то аь=][4к] (г.в г)((г)д)] дб„ (24.5) о, где линейный интеграл берется вдоль векторной линии Гэ=гР. а поверхностный — по эпой части поверхности Ьго проводника, с которой начинаются линии па, связывающие Ьй и й-й проводники; а;ь представляет собой вклад линий Ю, уходящих в бесконечность. Из (24.5) следует, что аа > О, поэтому (см. (24.4) ] Си>0, тогда как Сэг< 0, (~к.
Последнее обстоятельство является выражением того простого факта, что на проводниках всегда навгьпятся заряды противоположного знака. В самом деле, если заземлить все проводники, кроме зс-го, то наведенный на йм проводнике заряд (см. (24.2) ] равен Я = Сэкцэь.
Но если цэ, > О, то очевидно, что собственный заряд к-го проводника Дг > О, тогда как наведенные заряды Д,<0 при г'ф/с. Наконец, из (24.5) с учетом связи ЗВ15 = Ы, вытекает, что коэффициенты аа симметричны, т. е. а;„=а„ь Поэтому симметричными являются и емкостные коэффициенты: с„= с„ (24.6) (соотноигение «заимка сзни) . Его часто формулируют в виде теоремы взаимности Грина, смысл которой состоит в следующем. бб согласно (22.7), вычислить заряды Д, проводников. В то же время, по теореме единственности (см.
З 22), функция гр (г) однозначно определяется потенциалами проводников гро Поэтому и заряды проводников Д, некоторые однозначные функции всех потенциалов гр„грз, .... Из-за линейности уравнений поля (22.4) эти функции могут быть только линейными. Поэтому должна существовать связь вида д,=~С„р„, (24.2) срг= ' оэг)оь (24.3) Постоянные коэффициенты Са называются емкостными коэффициентами системы проводйиков, а Яа - — потенциальными коэффициентами. При этом коэффициенты Са называют собственными емкостями, а Са при (Фlс коэффициентами взаимной емкости или коэффициентами электростатической индукции. (24.12) б7 Рассмотрим два состояния одной и той же системы проводников. Пусть в одном нз них заряды и потенциалы проводников Дь срь а в другом — Д,'ч ср). Тогда, используя (24.2) и (24.6), имеем з Д!ср!= „> Сзьсрьсрз=~~ Сисрьср!= «,Дьсрь.
(24,7) ! з,ь з,ь ь Это и есть теорема взаимности Грина. Для одиночного проводника О=Ср, (24.8) где С вЂ” собственнал емкость проводника. В частности, для металлического шарика радиуса а, находящегося в однородном диэлектрике с проницаемостью е и несущего заряд Д, получаем ср = Дз!(аа), т. е. С= ва.
В случае двух проводников, несущих равные и противоположные заряды Дз = — Дг=Д, из (24.2) Д = С('р! — срг). (24 9) Такая система проводников обычно называется конденсатором, а коэффициент С его емкостью, Задача 24.2. Показать, что емкост~ конденсатора выражается через емкостные козффичиенты по формуле С=(С„Сзз — Сзз)/(Сы -Ь 2С„ч Сг,), (24. ! О) Если обкладки конденсатора расположены очень близко друг от друга, то в соответствии с (24.5) имеем а„»а, и а,г»а,, так что приближенно можно считать С,С,г — Сзгжаз (а,о+ага), тогда как С„+2С„+С =а„,+а о. Таким образом, согласно (24.10), емкость конденсатора примерно равна С-агг=) Сгг).
Задача 24.3. Два одинаковых проводяивих тела, одно из которых имеет заряд Д, далеко отстоят друг от друга. 77ри помон!и первоначально незаряженного третьего проводника заряд переносится с одного тела на другое. Какими будут окончательные зиряды всех трех проводников пззсле многократного повторения операиии переноса, если при первом контакте заряд !2 первого тела улзеньшился на 1/и? Выразим теперь энергию системы заряженных проводников через их потенциалы или заряды. Подставляя в (24.1) после- довательно (24.2) и (24.3), находим ! ! И;=-,~Сир! р,=-,~Лад,д,. (24.!! ) нь з,ь Отсюда следует еще одно явно симметричное представление для емкостных и потенциальных коэффициентов: дзр,дзрь ' ' д!2;дйь Из условия положительности квадратичной формы (24.!! ) получаем полезные неравенства Си>0; СвС„„— Свь>0, !М (24.13) Задача 24.4. Найти емкость конденсатора, образованного двумя большими плоскими пластинами плошади В, наклоненными лод углом 13 друг к другу.
Мшзил~альное и лзаксимальное расстояния между пластинами и йз. Краевым эффектом пренебречь. Задача 24.5. Как изменшлся емкосепь сферического конденсатора с радиусалзи оболочек а и Ь) а лри малой деформации внешней оболочки? Как изменится емкость лри малом растяжении конденсатора на расстояние й в одном из его центральных сечений? Задача 24.б. Найти емкость конденсатора, обкладки которого представляют собой усеченнью конические поверхности с углами раствора а и 1)>а, вложенные одна в другую (рис.
24.!). Радиусы усечения а и бва. Рис. 24.! Краевым эффектом пренебречь. Задача 24?Е Показать, что риспределение поверхностного заряда на проводниках таково, что энергия электростатического поля миничальна (теорема В. Томсона). я 25. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Можно выделить особый класс задач электростатики, относящихся к случаю, когда поле на бесконечности не исчезает, а стремится к некоторому постоянному однородному полю Ео.
Рассмотрим два простейших примера задач такого рода, когда во внешнем поле Ео находятся проводящий либо диэлектрический шары. 1. Поместим начало координат в центр проводящего шара радиуса а и выберем сферические координаты (направление Ео соответствует 9=0). Для простоты заземлим шар, тогда внутри него потенциал ср=О. Вне шара при г- со потенциал совпадает с потенциалом внешнего поля — Е гсоз9. Чтобы удовлетворить граничному условию ср(г= а)=0, из общего решения (16.11) уравнения Лапласа необходимо выбрать часть, пропорциональную сох 9: сР = Ео г сов 9 (а з ( г з — 1 (25.1) Из полученного решения видно, что во внешнем поле Ео шар поляризуется и приобретает дипольный момент р=Е аз.
При этом поверхностная плотность заряда на нем оказывается равной (рис. 25.1) — — — = — Ео соя 9. (25.2) 4к дг 4к с=в 2. Рассмотрим диэлектрический шар с проницаемостью е во внешнем поле Е . По аналогии с предыдущим случаем потенциал вне шара (область 1) будем искать в виде ср, = — Е гш~ 9+(С,(гз)~ы 9, (25.3) тогда как внутри шара (область 2) дипольный член должен отсутствовать, поскольку он расходится при г=О, а поле внутри шара должно быть конечным.
Поэтому полагаем в которая соответствует дипольному моменту шара зв — ! р= а Ео в -!- 2 (25.8) и поверхностной плотности связанных зарядов з) =(нР)= — ЕосозЭ. 4л вд2 (25.9) Обратим внимание на то, что в пределе в- со решение задачи с диэлектрическим шаром переходит в соответствующее решение задачи с проводящим шаром. Физически это объясняется тем, что при с- со связанные заряды становятся свободными и диэлектрик ведет себя как проводник. со Задачи 25.1. Проводящий шар радиуса а окружен диэлектрической оболочкой радиуса Ь с проницаемостью в и помещен в постоянное внешнее поле Е . Найти потенциал и во всех облисспях и поверхностную п.ютность заряда на шаре. Задача 25.2. Бесконечный проводящий цилиндр радиуса а помещен на плоской границе двух диэлектриков с проницаемостями в, и ез.
В среде с проницаемостью в, задако постоянное поле с напряженностью Еь, перпендикулярной плоскости раздела Фис. 25.2). Найти потенциал Е во всех областях и распределение заряди но цилиндре. Рис. 25.2 69 срг = Сгг сох Э. (25.4) — г + Подставляя потенциалы ьз (25.3) и (25.4) в граничные + з условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных С, и Сг: — Еоа+Сз/а =Сга, Рис.
25.1 Е + 2С, /а' = — сС . Разрешая ее, находим С,=а Е (и — 1Це+2), С = — 3Еоф+2), что соответствует следующему виду потенциалов: — 3 сбз=ЕогсозЭ вЂ”,— 1, срг= — — 'гсозЭ. (25.5) ! в+2 гз 1' в+2 Анализируя решение (25.5), убеждаемся, что напряженность поля внутри шара постоянна и равна Ег = ЗЕо /(с+ 2). (25.6) Это означает, что шар имеет постоянную поляризованность (25.7) $26. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЗЛЕКТРОСТАТИКИ Изучим два популярных метода решения задач электростатики, основанные на использовании некоторых свойств симметрии исходных уравнений и граничных условий.
Ме!под отражений применяется в тех случаях, когда границы раздела сред плоские. Проще всего понять этот метод, рассмотрев случай проводящего пол упростра нет ва. Пусть плоскость г=О разделяет проводник (г<0) и диэлектрик (г>0) с проницаемостью в, в котором задано распределение свободных зарядов р(г). Для нахождения потенциала !р в диэлектрике необходимо решить уравнение (22.4) с граничным условием !р(г=О)=0. Предварительно произведем симметричное продолжение функции с(г) на область г<0, т. е. положим ес(г)= — е(х, у,! г!). (26.1) Допустим, что известно некоторое решение !р, уравнения йч (а,Ч<р,.) = — 47!р (26.2) во всем пространстве (обратим внимание на то, что р=О при г<0). Рассмотрим функцию !р'= — !р,(х, у, — г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
