Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Решая эту систему при заданных р, 1 и е, р, можно определить Е, 13, В и Н. В интегральной форме эта система переписывается так: где, по аналогии с (1.19), г г чзгзгг =) (Ы!), дзг=) (Е 'М1). (11.2) 1 1 При вычислении интегралов в (!1.2) предполагается, что они мало меняются при изменении положений точек 1, 2, взятых где-то на поперечных сечениях проводника ог г (рис. 11.1). Поэтому закон (11.1) справедлйв только для квазилинейных проводников, Рис 11 1 для которых можно пренебречь поперечными размерами по сравнению с продольными, т. е.
~эз г «1зг. Тогда, выбрав бесконечно малый участок проводнйка 1,г, имеем 1= ) (и!) е!о = (и!) о. Так как ! ! и !!с!1, то из (11.1) и (11.2) выводим, что ! = ет (Е+ Е"") (11.3) (дифференг1иальный закон Оява). Здесь мы воспользовались определением электропроводимости о, согласно которому для цилиндрических проводников Язг=!зг1(оо). В случае анизотропных сред вместо о следует писать тензор электропроводимости 6, т. е.
полагать 1'с = оа(Е„+ Ек "). (1 1.4) Следует отметить, что, хотя закон Кирхгофа (11.1) верен лишь для стационарных токов, не зависящих от времени, соотношение (11.3) часто обобщают и на нестационарный случай. Задача 11.1. Показать, что для квазилинейных проводников сопротивление учистка может быть вычислено по формуле д! ~~! з (11.5) где Б(е) — площадь поперечного сечения, всюду нормального к линиям тока. Получить аналогичную формулу для онизотропньт проводников. Добавляя (11.3) к уравнениям (10.1) и (10.3), получаем систему уравнений, позволяющую вычислять Е и В, если заданы сторонние э.
д. с. и распределение зарядов на отдельных элементах рассматриваемой системы проводников, диэлектриков и магнетиков. Следует, однако, вновь отметить, что линейный закон (11.3) и соотношения (10.3) справедливы лишь для узкого, хотя и весьма распространенного, класса проводников, диэлектриков и магнетиков. В более общем случае все эти «законы» не верны и должны быть заменены более сложными функциональными связями.
37 $12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ До сих пор предполагалось, что е, )1, о являются произвольными функциями 1 и г. Однако, как правило, они оказываются кусочно-непрерывными функциями координат, т. е. претерпевают разрывы на некоторых границах раздела. Обусловлено это тем, что применяемые на практике технические устройства включают в себя элементы, обладающие различными а, )г, о. В связи с этим можно получить решение уравнений Максвелла лишь в отдельных областях пространства, где коэффициенты е, )1, а непрерывны. Полученное таким образом общее решение системы дифференциальных уравнений содержит некоторые произвольные функции. Чтобы их определить и получить решение для всей совокупности областей, необходимо наложить граничные условия, или, как говорят, «сшить» решения на границах областей.
Эти условия «сшивания», налагаемые на векторы Е, П, В, Н, легко вывести, используя интегральную форму уравнений Максвелла (10.4). В самом деле, применять в пограничной области уравнения в дифференциальной форме нельзя, так как поля на границе могут терпеть разрывы, поэтому пространственные производные от них могут не существовать. Однако уравнения в интегральной форме, безусловно, должны выполняться, так как они являются непосредственным следствием экспериментальных фактов.
Используем, например, интегральную теорему Гаусса 13.4) в применении к вектору Р 1см. (10.4) ). В качестве объема й' возьмем бесконечно малый цилиндр с основанием 5 и высотой Ь, верхний и нижний торцы которого лежат соответственно в диэлектриках 2 и 1 1рис. 12.1). Так как цилиндр мал, то уравнение ~(пР)Ы=4я) рй)' з апишется в виде (пР~) о — (пР,) 5+ (Р2 111 =4ярло, где п — нормаль к поверхности раздела, Р— длина окружности основания, (Р) — среднее значе» ние нормальной к боковой поверхности составляющей П. 5 Пусть 6-+ 0 при фиксирован- 6 1 ном 5.
При вычислении предела учтем, что 0 всюду ограничено, так что слагаемое (Р) Й исчезает. Однако в пограничной области могут существовать столь большие скопления заряда, что Рис. 12.1 38 даже в пределе и -+ 0 заряд внутри цилиндра на элементе оЯ граничной поверхности может быть отличным от нуля и равным сф = 1пп рйЫ= т1сБ, (12.1) ф(пВ) о5= 0, откуда (вВз) — (вВ,) = О, (12.3) т. е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух магнетиков.
Применим первое из интегральных уравнений Максвелла (10.4) к контуру С (рис. 12.2), получающемуся при рассечении цилиндра (рис. 12.!) вдоль нормали в: с 5 5 где и= (вт); т — единичный вектор, касательный к поверхности раздела, Пусть теперь й-+ 0 при малом фиксированном 1. Тогда т (Н, — Н,)1+ (пН)ьй — (вН)„й — — — (Е0)й= — (Ц)й. Примем во внимание конечность Н и д01й, а также то, что в пограничной области могут протекать столь большие токи, что даже в пределе и-+0 сила тока, протекаюьцего сквозь контур С на участке 01 поверхности раздела, может быть отлична от нуля и равна Ж= 1пп (к1) йо1=(к1) 01.
ь-о (12.4) 39 где т1 — поверхностная плотность элеРис. 12.2 ктрического заряда. Окончательно при и- 0 имеем (в0,) — (и0,) =4ят1. (12.2) Следовательно, нормальная составляющая вектора электрической индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух диэлектриков только в том случае, когда на последней нет свободного поверхностного заряда. При наличии же поверхностного заряда нормальная составляющая 0 изменяется на границе скачком на 4яз1. Аналогично получаются граничные условия и для вектора магнитной индукции В.
Согласно последнему из уравнений (10.4), т. е. касательная проекция вектора напряженности электрического гюля не имеет разрыва на поверхности раздела двух сред. Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными е и р имеют вид (пР,) — (пР,)=4хц, [пЕг) — [пЕ[)=0; [и Н г 1 — [и Н [ 1 = — 1, (п В г ) — (п В [ ) = О. $ 13.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ (12.8) Рассмотрим макроскопический элементарный объем [1[г, которому соответствуют некоторый распределенный свободный электрический заряд [)Д=р[11г и элемент тока И1=1[1)г. Тогда, согласно закону Кулона и формуле Ампера (1.9), на этот объем в электромагнитном поле будет действовать сила о=пес~[[Ив[=(рк~--'[в1)пг, что позволяет ввести плотность силы Т= [)Р/д 1; действующей на распределенные заряды и токи: 1= рЕ+ — [1В3.
(13.2) Естественным следствием (13.2) (см. задачу 1.8) является выражение для силы, действующей в электромагнитном поле на отдельный точечный заряд е и получившей название силы Поренца: Вектор 1 называется в таких случаях плотностью поверх- ностного тока. В результате имеем (тНг) — (тН[) = 4к ()с1)/с. (12. 5) Подставив т= [кп) в (12.5), найдем, ввиду произвольной ориентации и в касательной плоскости, [пНг1 — [пН,1 =4к1/с. (12.6) Таким образом, касательная проекция (пН) вектора напряженно- сти магнитного поля непрерывна на границе раздела двух сред, если отсутствует поверхностный ток проводимости.
При наличии же последнего она испытывает на границе раздела скачок, равный 4п1/с. Аналогично выводится граничное условие для касательной проекции вектора напряженности электрического поля. Оно следует из второго уравнения (10.4) и имеет вид [пЕ,3' — [пЕ,1 = О, г= (кь-[ В!). (13.3) По аналогии, выражение (13.2) называется плотностью силы Лорен[[а в электромагнитном ноле. Задача !3.1. Показать, чтп при отсутствии вещества плптнпсть силы Лоренца может быть приведенп к виду Г= — дй[дз-Ь а[к Т, (13.4) или в кпмпонентпк Уь= — дя'~дз+ д, Т", где й = [ЕВ)[(4яс), (13.5а) Т тензпр натяжений Максвелла, имеющий компоненты Та='1Е'Еь,ВВ '(Ез,нз)бь. 4я[ 2 (13.5б) Для выяснения физического смысла и и Та воспользуемся законом сохранения импульса и покажем, что электромагнитному полю необходимо приписать механический импульс.
Пусть источники электромагнитного поля, т. е. свободные заряды и токи, сосредоточены в некотором объеме [с, окруженном неподвижной поверхностью о, и обладают механическим импульсом Р. Если через С обозначить импульс электромагнитного поля в том же объеме, то ясно, что суммарный импульс системы кполел-источникиь может измениться лишь в результате перетекания импульса электромагнитного поля через поверхность о. Поэтому можно записать — (Р+ С) = — пД'до, дг (13.б) дР(дз=р=) Гд[с, или с учетом (13.4) Преобразуя последний интеграл к поверхностному с помощью теоремы Гаусса — Остроградского (2П.б), находим где ц'- †плотнос потока импульса электромагнитного поля в г-м направлении.
В то же время, по второму закону динамики, сила, действующая на источники со стороны электромагнитного поля, равна Сравнение этой формулы с (13.6) показывает, что с= я4$'= — ~ (ев)сп; Г 4лс ~ (!3.7) т, е, я — плотность импульса электромагнитного поля, а — Гп — плотность потока )г-й компоненты импульса электромагнитного поля в Ьм направлении.
При рассмотрении электромагнитного поля в среде необходимо учитывать еще и силы, действующие на связанные заряды и токи. Однако их уже нельзя рассчитывать по формуле (13.2). В самом деле, макроскопическую плотность силы Лоренца естественно определить (см. 3 2) как = — ',1 е, Е+-)уВ3 (13.8) где Е,, В; характеризуют электромагнитное поле в точке нахождения 1'-го заряда за вычетом его собственного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
