Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Показать, что (4.5) есть решение (4.2), удовлетворяющее условии> соленоидальности д(чВ=О. (4.б) 25 Так как поверхность 5 произвольна, то го( В = 4я1/с (4.2) (закон Ампера в дифференциальной форме). Так как закон Ампера является следствием закона Био— Савара — Лапласа (см. задачу 1.5), то, очевидно, последний как раз и дает готовое решение уравнения (4.2). В самом деле, согласно (2.4), И1 =1г()г. (4.3) Поэтому если элемент тока И1 помещен в точке г', то вместо (1.8) имеем Согласно (4.6), магнитные заряды в свободном виде не существуют. В самом деле, взаимодействия электрических и магнитных зарядов тождественны. Поэтому можно применить теорему Гаусса (3.4) и к магнитному полю. Тогда магнитный поток Ф сквозь замкнутую поверхность о с учетом (1.7) равен Ф=)'(иВ)Ы=4я ~~ т;=О.
(4.7) я 5. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ Найдем теперь дифференциальную форму закона электромагнитной индукции Фарадея. Для этого воспользуемся формулировкой Максвелла (1.17) и ограничимся случаем неподвижных кон~уров (как учесть движение контура, мы установим в З 50).
Так как, по определению, э. д, с. индукции в контуре С равна А =ф(Еа), (5.1) с то, применяя теорему Стокса, преобразуем (1.17) к виду где о --правоориентированная поверхность, натянутая на контур С. Ввиду произвольности о из (5.2) следует, что госЕ= — —— 1дн с дс (5.3) (дифференциальная форма закона электромагнитной индукции Фарадея). Согласно (5.3), переменное магнитное поле В порождает в каждой точке пространства вихревое электрическое поле Е (рис. 5.1) с отличной от нуля циркуляцией (5.1) (в проти- Рис. 5.1 26 3 ск Отсюда по аналогии с (3.5) следует (4.6).
Из уравнения (4.7), выражающего факт неразделимости магнитных зарядов противоположных знаков, вытекает, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В связи с этим можно считать (4.6) справедливым не только для статических, но и для зависящих от времени магнитных полей В. Что же касается закона Ампера (4.2), то (см. з 6) он нуждается в дальнейшем обобщении на нестационарный случай.
воположность потенциальному электростатическому полю, для которого сл = О, так как гог Е = 0). Взаимосвязь электрического и магнитного полей, выражаемая уравнением (5.3), позволяет рассматривать их как различные проявления единого электромагнитною ноля. Задача 6.1. Показать, что уривнение (4.6) можно рассматривать как начальное условие, которому удовлетворяет магнитная индукция В.
б)у) = — др/дь Противоречие исчезает только в стационарном пределе, когда др/д1=0. Поэтому уравнение (4.2) необходимо обобщить, добавив справа некоторый вектор, исчезающий в стационарном случае, т. е. вектор вида дС/дб названный Максвеллом током смещения: 1В 4к(.+ ~~ ~ (6.1) с' с!г Учитывая (2.7), получаем йу (дС7ду ) = — йу 3 = д р7дг, или, согласно (3.5), йу 4я — — — '„=О. (6.2) Самым общим решением (6 2) будет 4я(дС7ду) =дЕ7ду+ гога, где а — произвольный вектор. Простейшее предположение го1 а=О, сделанное Максвеллом, было обосновано им, пожалуй, лишь соображениями эстетического порядка*. В самом деле, в этом случае появляется некоторая симметрия основных уравнений, поскольку уравнение (6.1) приобретает вид го1 В=- — '+ — 3 1 сЕ 4к.
с де с (6.3) и внешне (при 1= 0) становится похожим на уравнение (5.3). Конечно, справедливость уравнения (6.3) в конце концов обосновывается экспериментальным подтверждением вытекающих из него следствий. * Памятная надпись, сделанная Дираком 3 октября 1956 г. на стене кабинета теоретической физики Московского государственного университета. гласит: «РЬуяса1 1азц зьоп14 Ьаче гпабьегпапса! Ьеапгугч что означает: «Физический закон лолиен быть математически патиным». 27 з 6.
ТОК СМЕЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ Уравнение (4.2) не может быть справедливым в нестационарном случае, поскольку из него следует, что йу1=0, тогда как, согласно (2.7), Задача 6.1. Убедиться в непротиворечивости системы (6.4), доказав, что уравнение (2.5) можно рассматривапп как начальное условие на поле Е. Систему уравнений (6.4) можно записать и в интегральной форме, если воспользоваться теоремами Стокса и Гаусса — Остроградского: ф (Вд!) = — — (пЕ) Й5+ — (п1) с)5, с в Г (пЕ)с)5=4я~ рсз)г, (Есзз)= — — — (пВ)Ы, (пВ)Ы=О. (6.5) с в в Выписанные уравнения выражают соответственно обобзценный закон Ампера, теорему Гаусса, закон электромагнитной индукции Фарадея и отсутствие магнитных зарядов*. Задача 6.2.
Доказать следующие теоремы Дж. Дж. Томсона; 1) если электромагнитное поле порождается системой зарядов, ~)вижущихся с постоянной скоростью о < с, то В = — (тЕ); 1 (6.6) с 2) если электромагнитное поле порождается системой постоянных токов, движущихся с постоянной скоростью о<с, то 1 Е = — (Вч). с (бд) Задача 6.3. В 1949 г. итальянский физик Э. Ферми предложил теорюо ускорения космических лучей, предположив, что причиной ускорения заряженных частиц может быть их взаимодействие с блуждающими магнитными * Поверхность б в (6.5) предполагается не изменяющейся со временем. 28 Итак, естественно сделать предположение, что в простейшем случае, когда электромагнитное поле возбуждается в вакууме заданными зарядами и токами, уравнениями для определения поля являются (3.5), (4.6), (5.3) и (6.3).
Эта гипотеза была выдвинута Максвеллом, и вытекающие из нее следствия оказались в блестящем согласии с опытом. Система уравнений 1 дЕ 4я. )дВ го( — — — = — ), го(Е+ — — „=О, сдс с '()) сбс '(И) с)19 Е = 4я р, сз19В = О называется уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в вакууме при наличии заданных зарядов и токов.
Уравнения, содержащие источники р и З, обычно называют первой группой уравнений Максвелла, а уравнения, не содержащие р и З,— второй группой. «облаками», т. е. гигантскими скоплениями межзвездного газа, пронизанного магнитным полем. Обосновать механизм ускорения Ферми, пользуясь (6.7). в 7. ДИЭЛЕКТРИКИ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ Переходя к наиболее общему случаю — описанию электромагнитного поля в веществе, мы сразу же сталкиваемся с серьезными трудностями. Сложность проблемы обусловлена тем, что, рассматривая реальное вещество, мы имеем дело с громадным количеством заряженных частиц, движение которых невозможно точно описать.
Чтобы продвинуться в решении вопроса, приходится строить определенные модели вещества, делая при этом упрощающие предположения о поведении составляющих его частиц. В первую очередь нас будет интересовать поведение в электромагнитном поле связанных зарядов и токов. В этом от-.
ношении наиболее просты в описании идеальные диэлектрики и магнетики. Диэлектрик, как и любая другая макроскопическая среда, состоит из совокупности тесно связанных между собой положительных и отрицательных зарядов. В среднем диэлектрик электрически нейтрален, но под действием пронизывающего его электрического поля Е положительные и отрицательные заряды смещаются в противоположные стороны, т.
е. происходит поляризаиия вещества. Пользуясь только условием нейтральности, можно установить (см. задачу 2.2), что возникшая при этом плотность связанного заряда р"" допускает представление свлз — с)', Р (7.1) где поляризованность Р исчезает вне вещества. Попытаемся выяснить физический смысл вектора Р. Так как под действием поля Е в каждой молекуле происходит смещение положительных зарядов е относительно отрицательных е; = — е;, то молекулы поляризованного диэлектрика можно рассматривать как электрические диполи с Диполь- ными моментами В;=е; Яь гДЕ еь — — смещение зарядов в молекуле (рис.
7.1). Сам же поляризованный диэлектрик макроскопически удобно представлять себе как совокупность двух взаимопроникаюгцих сред, состоящих соответственно из положительных и отрицательных зарядов и смещенных одна относительно другой в каждой точке на некоторый вектор я(г). Если при е)=0 заряды компенсируют друг друга и результирующая плотность заряда равна Рпс. 7.) 29 нулю, то при е) а)0 в неоднородном диэлектрике может появиться плотность связанного заряда р.Ф0.
Заметим, что смещение е) имеет порядок размера молекул и поэтому в макроскопической теории, где 1е)~<<Л)'"з, может считаться бесконечно малым. В связи с этим результирующая плотность заряда р„возникающая вследствие смещения положительно заряженной среды на Рис. 7.2 вектор е)+, а отрицательно заряженной — на вектор е), может бы гь найдена из формулы (2.8).
Полагая в ней соответственно бг=л)- и р=р-', получаем бра = — Йч(р-+е)с). Таким образом, Ре=ВР'+БР = — сззч(Р'е)'+Р е1 )= — ЙзчР, (7.2) откуда с учетом приближенного равенства р'- — р найдем (с точностью до ротора произвольного вектора) Р=р е) +р й -р (Ч е) )=р е) (7.3) Несмотря на малость е), вектор Р далеко не мал из-за чрезвычайно высокой плотности р+ - — р Заметим, что формула (7.2) допускает следующую очень наглядную иллюстрацию. Предположим, что смещение положительно заряженной среды* на вектор е)'=е) произошло в некотором объеме )л (рис. 7.2).
Тогда ясно, что в этом объеме возникает заряд Д, равный убыли положительного заряда: д= — ~(вя)р с)5= — ) Йч(р я)с))л, что в точности соответствует (7.2). Задача 7.!. Сопоставив (7.2) с (2.ь) и (2.7), поколот~, что вектор Ч может быть представлен в виде ч = 2 р, 2 е,', м с *к (7.4) где суммирование ведется только по положительным зарядам. С помощью (7.4) и (7.3) приведем поляризованность к виду 1 Р= — ~ р„ ~лак (7.5) ЗО * Заметим, что в реальном диэлектрике смещаются электроны, т. е. «отрилательно заряженная среда». что позволяет интерпретировать ее как среднюю (макроскопическую) плотность дипольного момента вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
