Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому 8зз=8зз=О 8зз=(ЧЯ 8=(8ыйгз 8сз)8зз и из (18.5) йя=пя уз 'й '= 'д„ь,— у,',з 'Й ', (187) т. е. гауссова форма элемента поверхности, которая удобна, если поверхность задается параметрически уравнением г = г (и', из ). Тогда (18.1) принимает вид из закона Кулона ср(г) = ( ) с)1'. (1 8.9) с Задача 18Л.
Показать, что обьемная плотность заряда в случие, когда заряд с линейной плотностью х(г] распределен вдоль линии, задаваемой пересечением двух поверхностей У,(г)=0, уз(г)=0, равна р(г)=х(г)5[у (г)!8[у (гЦ— рру, )з)г)1, 1з ~[ТУ,РУз)! ' Задача 18Д. Найти потенциал равггомерно зарязкениого кольца радиуса а и зарнда е. Результат выразить через полный зллиптическии интеграл первого рода к(й) = (0<~«1). е -~ъ" з а 19.
ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ (МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ) Рассмотрим систему зарядов, сосредоточенную в некоторой области й; т. е. предположим, что рр)0 только внутри )'. Пусть область )г конечна и может быть включена в некоторый шар радиуса а. Поместим начало координат О в центр этого шара и введем обозначения: г — радиус-вектор точки наблюдения, г' †ради-вектор произвольного заряда (рис.
19.1). Очевидно, что потенциал данной системы зарядов может быть вычислен по формуле (17.4): гр(г) = (19.1) Однако пусть нас интересует поле на больших расстояниях от системы, т. е. при г»а. Поскольку на таких расстояниях р=О, потенциал гр удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому представляет собой убывающую часть общего решения (16.11): о 1 сР(г)= ',2 ',2 г ' зР7 (соз9)(аьпсоьта+Ь, Яптсг). (19.2) ~=вы=о Такое представление потенциала называется мультипольным разложением, коэффициенты а, и Ь, — мультипольными моментами порядка (1, т) данной системы зарядов, а число п=2'— мультипольноетьзо.
Очевидно, потенциал 2'-поля имеет вид <Р,= 2' г ' 'Р, (сов 9)(аоясозта+Ь, Яптсс) (19.3) и убывает при г-+ со как В частности, при 1=0 (п=1) получаем поле одиночного заряда (монополя), при 1=1 (п=2) — поле диполя, при 1= 2 (п = 4) — поле кеадруполя и т. д. Коэффициенты мультипольного разложения (19.2) зависят от характера распределения заряда р(г).
Чтобы установить эту зависимость, обратимся к общей формуле (19.1) Рис. 19.1 и произведем в ней разложение в ряд Тейлора: = ,'> (, ) (г'Ч)'-, )г — г! ~ ~ Л справедливое при г>а>г'. Тогда (19.4) <р(г)= ,'1 —, р(г')(г'Ч)'-ь))г', (19.5) или в координатной форме ьр(г)= ,'~" —,~ р(г')х "з ...холд;, ...дз — с1)гка 1=0 Л "г = ,'~" (,) Дз- чд,, ...д,, —, где введен тензор 2'-польного момента (19.6) 55 (ей '" 9= ) р(г') х" з . х'йо)'' (19.7) Одним из неудобств координатного мультипольного разложения (19.6) является то, что не все слагаемые в нем независимы, так как, согласно (19.3), потенциал 2'-поля должен содержать только 21+1 произвольную постоянную, а число независимых компонент у тензора Д'з".6 равно Д1 = С,'„= 21+1+ 1(1 — 1))г > 21+1.
(19.8) Задача 19.1. Доказать формулу (19.8). .Таким образом, между потенциалами типа (19.6) должны существовать тождественные соотношения — по 1(1 — 1)1'2 соотношений на каждый 2'-поль. Чтобы понять, в чем здесь дело, изучим поле отдельного мультиполя подробнее. Сначала построим 2'-поль. Перенесем заряд е на вектор а, и в точку, где он Рис. 19.2 56 -е а, зе находился, поместим новый заряд — е.
Так строится диполь (1=1). Сместим теперь диполь на вектор аз и в точки, где размещались прежние а, заряды, поместим заряды противоположных знаков. Так получается квадруполь (рис. 19.2), соответствующий значению 1=2. Совершив указанную операцию 1 раз, мы и получим 2'-поль. Зииача 19.2. Показать, что потенциал построенного вьние 2ьиоля на больших расстояниях от него ровен Г ' р,= ( — 1)'~и (и,.5г)~ —. (!9.9) е Очевидно, что число различных 2'-полей определяется числом независимых комбинаций 1 векторов а,, ..., аи Допустим, что 1с векторов мы установили вдоль оси У. Тогда 1 — и оставшихся векторов можно установить либо вдоль оси Х, либо вдоль оси У.
Таких комбинаций возможно 1 — )г+ 1, так как вдоль оси Х можно установить О, 1, 2, ..., 1 — )г векторов. Следовательно, полное число комбинаций равно Ч= ',"„(1 — ) +1) =,'(1+ 1)(1+2) ь=о и совпадает с числом независимых компонент тензора Д""'". Однако не все эти комбинации приводят к независимым потенциалам. В самом деле, при />2 среди 1 векторов могут встретиться два одинаковых, т. е. а, =а г ве„где е,--один из базисных векторов. В этом случае между потенциалами (19.9) появится линейная связь, основанная на тождестве 2„(е,Ч)з - = зЗ вЂ” = О.
(19.10) л=з Таких тождеств, очевидно, столько же, сколько существует возможностей выбора двух совпадаюгцих векторов, т. е. Сзз. Отсюда ясно, что число независимых потенциалов д, равно гЧз = М вЂ” Сзз —— 21+ 1, (19.! 1) как и должно быть согласно (19.3). Задача 19.3. Показить, что если для некоторой систелзы зарядов Дч ""=О при /с<0 то результат вычисления 12ч '" не зависит от выбора начала координат. Вычислим теперь напряженность Е электрического поля, создаваемого диполем с дипольным моментом р. Полагая в (19.9) 1=1, а, р/е, имеем: <рз = — (рЧ) г з =(рг)/гз; (19,12) Е, = — Чьрз = — Ч(рг) г з =(3г(рг) — ргз~ г з.
(19,13) Картина линий напряженности этого поля изображена на рис. 19.3 (см, задачу 1.3). Задача 19.4. Найти с помощью (!9.9) напряжеююсть Ез электрического поля квадруполя. Рассмотрим более подробно квадрупольный член разложения потенциала произвольной ограниченной системы зарядов. Согласно (19.6), имеем Рис. !9.3 с(зг = 2 0ад!д„ (19.
14) з 20. ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ Среди систем, не имеющих полного электрического заряда, представляет интерес совокупность распределенных по некоторой поверхности о электрических диполей. Такую систему можно представить в виде двойного электрического слоя, т. е. в виде 57 Учитывая тождества (19.10), к тензору квадрупольного момен- та Д!" всегда можно добавить единичный тензор вида аб!з, где п — постоянная.
Поэтому при расчете Д!з вместо (19.7) удобно использовать формулу Д!"=) р(г')(хпхщ — 8!"злз/3)с!1". (19.15) Построенный тензор О удовлетворяет инвариантному условию КРО=О)=0 (19.16) и поэтому имеет не шесть, а только пять независимых компонент в полном согласии с (!9.11). Задача 19.5. Получить двумерное мультипольное разложение, справедливое для распределений заряда р [з), не зависящих от одной из координат и сосредоточепнык внутри некоторого цилиндра конечного радиуса а. Найти двумерный аналог формулы (!9.9).
На практике, пользуясь мультипольными разложениями (19.2) или (19.6), обычно ограничиваются лишь первыми несколькими членами ряда. Для выяснения точности такого приближения воспользуемся оценкой, вытекающей из (19.6): чз! )ср!)<у ' ' шах ( Дй-")= — — ' -у), (! 9.17) ! -ь! Г1Г где /с!= !пах ~ дч ""~ а '. В частности, если плотность заряда огРаничена, т. е. ~ Р(г) ~ < Ро, то, согласно (19 7), к! < 4ЯРоаз/3. Сравнивая потенциалы ближайших мультиполей зр! и ср„„ замечаем, что если 7с! и 7с!чз одного порядка, то ~зр„з!зр!!-а/г. (19.18) Поэтому, ограничившись первыми неисчезающими членами разложения в (19.6), мы получаем тем лучшее приближение, чем меньше а/г.
ср(г) =) тв!Й. (20.3) В частном случае однородного двойного слоя, когда т=соп81, ср =тй, (20.4) где й — телесный угол, под которым видна из точки наблюдения вся поверхность 5. При этом знак Й положителен, если смотреть со стороны положительных зарядов, и отрицателен, если смотреть с противоположной стороны. Поэтому для однородного двойного слоя при переходе через поверхность потенциал испытывает скачок, равный срь — ср = [вр) =4ят.
(20.5) Это нетрудно понять, так как в использованном нами дипольном приближении следует считать 1- О, а при этом напряженность электрического поля внутри двойного слоя, согласно (12.2)„должна неограниченно расти, если считать т фиксированным: — (пЕ)=4кт) =4кт/1- со. (20.6) Из (20.6) нетрудно получить, что разность потенциалов на слое равна [<р ] = -(Е!) = 4кт. Задача 20Л. Показать, используя (203), что формула (20.5) справедлива и для неоднородного двойного слоя.
58 двух близких поверхностей, смещенных одна относительно другой на малое расстояние Цг) и заряженных противоположно. Пусть и— вектор нормали к поверхности 5, направленный от отрицательных зарядов к положительным. Тогда в точках, соединенных вектором смещения 1 =и1, поверхностные плотности зар ряда отличаются лишь знаком (рис. 20.1): з), = †) =т).
Поэтому элемент двойного слоя в!5 обладает дипольным моментом с!р = т) Ы5 (20.!) и потенциал в точке Р наблюдения [см. Рис. 20.1 (19.12)) равен <р(г) = т(г'), !15', (20.2) где К=г — г'; т=з)1 †мощнос двойного слоя, численно равная поверхностной плотности дипольного момента. Замечая, что г!5'(и'К)=Язв!й, где дй †элеме телесного угла, под которым видна из точки наблюдения площадка г!5', имеем з 21. ПОЛЕ СВЯЗАННЫХ ЗАРЯДОВ Рассмотрим поляризованный диэлектрик, заполняющий некоторую ограниченную область )г.
Зная поляризованность Р(г), можно определить, согласно (7.1), плотность связанных зарядов рр — — — йч Р, а затем по формуле (17.4) вычислить потенциал создаваемого ими электрического поля: гр(г) = Р'е) 1" = — — с()", (21.1) У р где использовано обозначение рр= рр(г'), йч'Р'=йч Р(г'). Однако пользоваться формулой (21.1) не очень удобно, так как поляризованность Р может испытывать разрывы на границах между различными диэлектриками, а это, как известно, приводит к появлению связанных поверхностных зарядов, учет которых представляет дополнительную трудность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
