Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(34.1) Как и в электростатике, решение уравнений (34.1) сводится к отысканию потенциала <р, поскольку уравнение гогЕ=О удовлетворяется подстановкой Е = — Чд. В итоге система (34.1) сводится к одному уравнению йг(о( — Ч р+Е""я)3=0, (34.2) тогда как уравнение йг(аЕ)=4яр используется для определения плотности свободного заряда р уже после того, как найдено электрическое поле Е.
Ясно, что любая задача магнитостатики, сводящаяся к решению уравнения (34.2), аналогична соответствующей электростатической задаче, ибо получается из последней заменами: е -+ о, Р— — оЧ~р, 4яр -+ — йг (аЕ 'л). (34.3) Как уже отмечалось, для обычных проводников при не очень большой напряженности Е поля электропроводимость о можно считать не зависящей от Е. В простейшем частном случае однородных проводников о' является постоянной в каждой точке Рис. 34.2 Рис. 34.1 заданного проводника, и тогда уравнение (34.2) сводится к следующему: сир = с)!9 Е ", (34.4) т. с.
к уравнению Пуассона с плотностью «сторонних» зарядов р "= — с)!9Е 'с/(4к). (34.5) Весьма распространен класс сторонних сил, для которых в отдельных областях можно ввести сторонний потенциал, т. е. положить Е и оя Ч~аю»с (34.6) Примером таких сил могут служить диффузионные силы Ес"с=аЧт, термоэлектрические силы Е 'с=рЧТ и др. Используя (34.6), вместо (34.4) в соответствующих областях найдем л(р+д- )=().
(34. 7) Очевидно, что во всем пространстве соотношение (34.6) не может выполняться, поскольку циркуляция Е " по любому замкнутому контуру, т. е, сторонняя э. д. с., оказалась бы тогда равной нулю. В качестве примера возьмем термоэлектрические силы Е"'и =Г~ЧТ. Пусть замкнутая цепь С образована двумя кусками разных металлов 1 и 2, спаи которых А и В нагреты до температур ТА и Тв соответственно (рис. 34.!). Характеризуя каждый металл своей постоянной )3, для сторонней э.
д. с. находим выражение 8 =ЯХТ=(Тв — Ти)()3! — ~32) 940. с В большинстве практических задач приходится определять потенциал !Р и плотность тока ) в системе однородных проводников с электропроводимостями оь соприкасающихся по некоторым границам раздела (рис. 34.2).
При этом сторонние э. д. с. 99 появляются лишь на границах раздела, исчезая в толще проводников. Поэтому внутри проводников и граничащих с ними однородных диэлектриков выполняется уравнение Лапласа Лвр=О. При сшивании решений в разных областях необходимо использовать граничные условия, вытекающие из (34.1). Так, уравнение го1Е=О приводит к граничному условию (пЕг ) = (пЕ1 ), (34.8) которое (см.
З 22) эквивалентно условию непрерывности потенЦиала >Р или Условию 1Р, — <Рг =сопзп УРавнение йц)=0 пРивоДит к граничному условию (в)2) = (п)1), (34.9) т. е. к непрерывности нормальной составляющей тока. Задача 344. Найти поверхностну>о плотность свободного заряда и викон преломления ли>тй тока на ера»ице двух сред с удельными проводимостями е>, ог и диэлектрическими пронициемостями в>, сг.
Наконец, третье условие получается из уравнения 1= о(Е"'о — Чвр) (34.10) интегрированием вдоль линии, перпендикулярной поверхности раздела 5 (рис. 34.3). С учетом (34.9) находим г 2 2 ср,— 1р,+ (Е'""1Н)= (в)) — =(п)) —. (34,11) Устремляя точки 1 и 2 друг к другу и вводя сопротивление >1>2 = 5 1 (34.12) поверхности раздела по отношению к протекающему нормально ей току 1, перепишем (34.11) в виде ~~12 1р1 срг+и 12 (34.13) где введена сторонняя э.
д. с. 2 в >г ( (Е о111). 1 (34.14) При этом предполагается, что 812 постоянна на поверхности 5. Обычно это условие хорошо выполняется для квазилинейных проводников, в сечении которых Ф>2 меняется весьма незначительно. асср Е Рис. 34.3 Рис. 34.4 Суммируя соотношение (34.13) для ряда последовательных участков некоторой квазилинейной цепи, получаем вгиорой закон Кирхгофа для участка цепи: ~'" 4 Яс = <Р ~ сРг+,', 4'а. (34. 15) В частном слУчае замкнУтой цепи, полагаЯ срз=срз, находим (34.16) у(п))с15=~)4 =0, (34.17) где о — граница области Р'. Соотношение (34.17) называется первым законом Кирхгофа и, очевидно, выражает закон сохранения электрического заряда.
Полученные выше граничные условия имеют разный вид на поверхностях раздела проводник — проводник и проводник — диэлектрик. В первом случае уравнения (34.8) и (34.10) при дополнительном предположении Е,"~=0, (34.18) означающем, что сторонние силы действуют только на границе, приводят к скачку касательной составляющей плотности тока на границе: [н),]!ст, = [п),]/о,. (34.19) Ю1 Если цепь изолирована и имеет полное сопротивление Я, то получаем закон Ома Ю=1Я. Наконец, если проинтегрировать уравнение с))и)=0 по некоторой малой области Р; в которой сходятся несколько квазилинейных проводников (рис.
34.4), то с помощью теоремы Гаусса— Остроградского найдем Из условия (34.9) находим (п))=о, (пЕ,)= о2(ВЕ2), (34.20) что позволяет (см. (22.5)) выразить поверхностную плотность заряда на границе через нормальную плотность тока: г) = — (аз (пЕ,) — е, (пЕ,)) = — ( — ' — — ' ), (34 21) 4х 4я ~,е, е,1 В случае границы проводник — диэлектрик (п1) = О, откуда с учетом (22.6) находим (пЕ""") = О, е(пЕ""'"') = 4яг). (34.22) В то же время из условия (34.8) следует, что (пЕ ""3'='(пЕ""'1= — [пи.
(34.23) я 35. СИСТЕМА ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ В СРЕДЕ С МАЛОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ Рассмотрим систему хороших проводников-электродов с удельной проводимостью ое- со, погруженных в плохо проводящую среду с удельной проводимостью о<(ое. В этом случае определение потенциала <р в проводящей среде сводится к основной задаче электростатики. В самом деле, поверхностная плотность заряда на электродах [см. (34.21)) равна как и в электростатике. Кроме того, токи 1ь стекающие с электродов, обычно бывают известны, поэтому плотность тока ) является ограниченной величиной, порядок которой 1-1/,уь где 5; — -площадь поверхности электрода.
Отсюда следует, что внутри электродов напряженность поля оказывается исчезающе малой, т. е. Е-Щось;)- О, и потенциал можно считать постоянным: (35.2) ~р = ~р, = сопз10 При этом силы токов 1ь стекающих с электродов, зависят от напряженности поля в окружающей среде: 102 1;=у(п))М=2)о(пЕ)оо. Таким образом, задача нахождения потенциала <р в проводящей среде сводится к решению уравнения г)1т(ору) =0 с гранич- гй, = ~' Я,й1ь. (35.4) Коэффициенты Атч определяемые геометрией электродов и удель- ной проводимостью среды о (г), называются коэффициентами сопро>нивления. Задача 35Л.
Показать, что обратная митрича сопротивления К,ь ' для сл> чия проводящей среды, «ириктеризуемой тсн зорим проводимости Ь (г), может быть предстивлени в виде к,—,'=ььч-уй„, рчь'=-ь„, (35.5) где Ьь=)[ ) 1(г)(т'о 'з)Ж) ~бб„ (35.6) з 'ь а интеграл берется по всем,тниям токи, соединлющим злектроды номеров и й. Смысл обозничеиий ризьяпзен в зидиче 24Л.
Если среда однородна и изотропна, т. е. ее электропроводимость о и диэлектрическая проницаемость а постоянны, то сила стекающего с электрода тока может быть выражена через заряд электрода: 1 = о (пЕ) Ы = — (пО) е)о = — До (35.7) 5, 3, Подставляя (35.7) в (35.4), находим р;=2„— 11 0 (35.8) к Сравнение (35.8) с (24.3) показывает, что коэффициенты сопротивления для однородной среды оказываются пропорциональными потенциальным коэффициентам Яп. Яп — нЯп!(4ячз).
(35.9) Рассмотрим теперь важный случай двух проводников-электродов. Задавая силу токов 1,= — 1з=1, мы предполагаем, что ь В последнем случае потенциал вычисляется с точностью до постоянной. 103 ными условиями (35.1) — (35.3). Но в 3 22 для этой задачи была доказана теорема единственности, по которой потенциал ср однозначно определяется либо заданием потенциалов электродов у;, либо заданием стекающих с них токов 1;*.
В связи с этим ясно, что между силами токов 1; и потенциалами ср; должна существовать линейная связь, аналогичная связи зарядов Д; и потенциалов ср; в электростатике: б Р ,Ф Рис. 35.1 Рис. 35.3 проводники имеют «стоки» (рис. 35.1). Используя соотношение (35.4), нетрудно найти, что в данном случае !01 — срг =1(߄— 2Я12+ Ягг) — = 1Я (35.10) что по форме совпадает с законом Ома. Введенная здесь величина Я=Я11 Я12+Я22 (35.11) называется полным сопротивлением системы двух электродов. Нетрудно видеть, что в однородной среде сопротивление системы [см.
(35.9)) обратно пропорционально ее емкости: Я = в,!(4яоС). (35.12) Если электроды 1 и 2 заземлены и поверхность земли является плоскостью симметрии системы (рис. 35.2), то вместо (35.12) имеем Я = е,!(2яо С). (35.13) В заключение подсчитаем тепловую мощность, выделяемую в проводящей среде при наличии системы идеальных проводников- электродов. Если проводящая среда занимает область Г, то выделяемая тепловая мощность (14.4) равна Р = ) оЕ2И'= ) (1Е) д Р'. Делая подстановку Е= — ЧсР и интегрируя (34.14) по частям, находим с учетом уравнения с(1ч)=0 и граничного условия (35.2) ! и =ЕМ(п1) йБ =Е %111='Е Яа!!1,.
! ! 1,1 Полученная квадратичная форма должна быть положительна, откуда вытекают полезные ограничения на коэффициенты Я;1, т. е. Я!! > О, Я!! Я„„— (Яа) 2 > О, (35.16) 104 а также еще одно важное представление этих коэффициентов: (35.17) Язк —— — — — — Ян. 2 д1,01ь Задача 35.2. Показать, что в нроводящей среде раснределение токов, стекающих с идеальных злектродов, таково, что тепловыделение лзинииально. я За. ПОЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПРОВОДНИКА С ТОКОМ И ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА Поставим задачу об определении поля бесконечного цилиндрического проводника с током. Ее можно рассматривать как идеализацию реальной задачи, в которой проводник с током является замкнутым и в некоторой его части включена сторонняя э.
д. с. Пусть проводник находится в вакууме, имеет радиус а и постоянную электропроводимость о. Выберем цилиндрические координаты, направив ось У вдоль проводника. Тогда простейшим решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим условию Е,=О внутри проводника, является 1р(г<а)= — ср, = — Е.-, /=7',=пЕ, Е=сопяц т. е. напряженность Е поля и плотность тока 1 постоянны внутри проводника и направлены вдоль его оси. Потенциал вне провода ср(г>а)г— е срг также должен удовлетворять уравнению Лапласа (36.2) и граничному условию при г=а орг=срз = — Ег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
