Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому у =ез /(тсз) можно вполне обоснованно рассматривать как характерный размер электрона, его классический радиус. Задача 48.1. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния эллиптически поляризованных плоских электромагнитных волн свободным электроном. Задача 48.2. Найти выражение для полного сечения рассеття линейно поляризованного света частоты ы упруго связанным электроном с трением.
Обьяснить с его помощью голубой цвет неба и красный цвет Солнца при закате. ГЛАВА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И ПОЛЯ При решении многих электродинамических задач весьма полезным оказывается приближение квазистацнонарного поля. Его применяют при анализе линейных цепей переменного тока, при расчете длинных линий, в магнитной гидродинамике и в других областях. Чаще всего зто приближение эффективно в тех случаях, когда характерные частоты изменения токов и попей не очень велики и поэтому длины волн, которые могут излучаться системой, значительно превосходят ее линейные размеры Е Иначе говорщ если ввести характерное время Т изменения полей, пю предполагается выполнение условия /«сг, которое можно назвагпь достаточным условием кеазистационарности.
Электромагнитное поле в згпом случае напоминает по структуре поле вибратора Герца в ближней зоне и получило название квазиствционарного. Уравнения для полей в квазистационарном приближении оказываются более простыми, что позволяет эффективно использовать их для решения широкого круга задач. я 49. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ Квазистационарное приближение, основанное на условии (1Ч.1), соответствует предположению о медленности процессов. Это означает, что всякое изменение поля в какой-либо части системы практически мгновенно передается в любую ее точку, т.
е. фаза изменения поля во всех точках системы практически одна и та же. Иными словами, при анализе процессов в системе можно пренебречь запаздыванием, заменив, например, в выражении для запаздывающих потенциалов (41.24) аргумент г — Я / с на В результате потенциалы цг и А можно записать в виде гр(Е г)= Р~',)111"; А(б г)=- 1~',)г11г', откуда следует, что они являются решениями уравнений Агр = — 4кр, АА = — 4к1 / с, не отличающихся от стационарных.
Особенность этих уравнений состоит в том, что время 1 все же входит в них параметрически— 149 через источники р и 1. Поэтому при вычислении Е и В вос- пользуемся обычным определением Е = — — — „— Чср, В = гогА, 1 дА с дс (49.2) учитывающим вихревой характер электрического поля. Таким образом, уравнения для полей в квазистационарном приближении действительно упрощаются. Для получения этих упрощенных уравнений в случае неоднородной среды с проница- емостями а(г) и !4(г), а также при наличии проводников с удельной проводимостью ст(г) воспользуемся методом электромагнитных потенциалов в специальной калибровке с)(ч(сА)=0.
Тогда уравнения Максвелла принимают следующий вид: Йч(аЧср)= — 4кр, гот -гогА)= — 1 — — — [~Чср+- — ). (49.4) У! '! 4к. с дУ 1дА~, (и ) с сд([, с дс) Если в области с линейным размером! рассматривать решения этих уравнений, существенно изменяющиеся за некоторое время Т, то при выполнении условия (1Ч.!) в среднем по области гог(-гогА) » —, —, (49.5) ( В самом деле, в среднем по области ~гоф 'го1А)~ имеет порядок А !(!'р), тогда как порядок )ае ~д~А/д! ~ есть аА /(е'Т'). Поэтому (49.5) является следствием (1Ч.!). С учетом (49.5) уравнения Максвелла для квазистационарных процессов можно записать в виде /1 1 4л. с дж гог(-В)= — 1 — -Ч вЂ” „, с(1ч(сЧср)= — 4лр, (и,) с с св' (49.6) гоГЕ= — — —, с)1чВ=О.
1 св с дс' 1 сА !Чср!»-— с дс (49.7) Это неравенство можно считать онределяюи!им условием квазиетационарности вместо (1Ч.1). Такое предпочтение оправдано тем, что, например, для длинных линий условие (1Ч.!) нарушено, тогда как уравнения (49.6) справедливы, так как выполнено неравенство (49.7). 150 Они отличаются от полных уравнений Максвелла (10.!) тем, что в первой группе уравнений сделано пренебрежение вихревой частью Е по сравнению с потенциальной частью, что можно выразить неравенством Наконец, для хороших проводников уравнения (49.6) могут быть подвергнуты дальнейшему упрощению, если предположить выполнимость неравенства оТ» а. (49.8) Согласно закону Ома, )=о(Е+Е"'Р), и (49.8) сводится к предположению о малости плотности тока смещения по сравнению с плотностью тока проводимости: 1 дп — — «!11 4к г1 (49.9) С учетом (49.9) уравнения (49.6) принимают такой вид: гос(- В~1 = — 1, 01ч (сЕ) = 4яр, ~в ! (49.10) гоГ Е = — — —, ой я В = О.
1ВВ с й Как видно, индукции В подчиняется уравнениям магнитостатики, что позволяет использовать все результаты этого раздела. Вместе с тем необходимо учитывать, что электрическое поле Е не является безвихревым. я 50. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКАХ ~(е~11= --')( '— ")дУ= --' '— ', (50.1) 1 а где Ф вЂ” магнитный поток сквозь неподвижный контур 1, то наиболее общая его формулировка (1.17) предполагает произвольно деформирующийся проводящий контур (см., однако, задачу 1.9). При этом э. д.
с. в контуре оказывается равной 1 йФ д'= — — —, е д~ (50.2) 151 Из общих уравнений Максвелла для квазистационарных процессов нетрудно получить основные уравнения для токов в системе квазилинейных проводников, обычно используемые при расчете линейных цепей, содержащих такие элементы, как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Однако проще всего эти расчетные уравнения вывести из закона сохранения электрического заряда и закона электромагнитной индукции Фарадея. Но если в (10.4) закон Фарадея был сформулирован в виде Покажем, что уравнение (50.2) может Ж быть выведено из (50.1), если учесть движение контура. Для этого введем скорость н движения произвольной точки контура (рис. 50.1).
Так как за время й элемент контура с)! опишет ориентированную площадку Рис. 50Л пЮ='(сПн ) Ж, то вызванное движением контура изменение магнитного потока равно ЬФ= — Жу(В(с))н )). (50.3) В результате полная скорость изменения магнитного потока ге = 'ь+ ~,в1 а ~.
(50.4) С учетом (50.1) соотношение (50.4) можно переписать в виде (50.5) где Е'кч Е+-'(нВ ) с (50.6) — эффективная, или действующая, напряженность электрического поля в движущемся контуре. Очевидно, что если в'ту(Е'с)!), (50.7) 152 то (50.5) эквивалентно (50.2).
Легко понять, что в движущемся проводнике истинная э. д. с. описывается именно формулой (50.7), поскольку на заряды, создающие ток в движущемся проводе, действует полная сила Лоренца г= (еь — ~ В~)= е'. с Задача 50Л. Найти э. д. с, о униполяриой .машинвк представллющей собой постоянный сферический магнит радиуса а, вращающийся с угловой скоростью ю. Один иэ подвижных контактов расположен на полюсе, а другой на экваторе (рис. 50.2). Итак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим для описания токов в некоторой системе квазилинейных провод- ников (включающих различные омические нагрузки, катушки само- индукции, трансформаторы, цепи электродвигателей и тому подобное), которые могут содержать и разрывы в виде конденсаторов.
Заметим, что внутри движущегося проводника, согласно закону Ома, )=о(Е'+Е'"'), или Е'= — Е"'"+1/сг, (50.8) а внутри конденсатора, по условию (49.7), Е' = - 37<Р. (50.9) Рис. 50Д Используем (50.8) и (50.9) для вычисления контурного интеграла в (50.5). При этом для проводящего участка контура г)1 с сопротивлением Я (Е л1) (Еатао,)1)1 (1 ) 4атоР1 ~Я (50 10) 1 11 и (50.12) о где сумма распространяется на все элементы контура.
Вводя взаимную индуктивность 2,11 двух элементов, по которым протекают токи У, и У1, для маги потока Ф„связанного с контуром 1,, и входяще (50.5)) в левую часть (50.12), получаем 1 Ф,=-,'1 ''2 2.111,. !се и итного .с го [см. (50.13) Рис. 50.3 153 В то же время для участка с конденсатором емкостью С (рис. 50.3) г г (Е' 111 ) = — (и 1Р 111) = 1Р1 1Рг = ~, 1 1 где е(г) — заряд конденсатора. Зная силу тока проходящего через конденсатор, и принимая для простоты е(0)=0, имеем е(г)= — ) ф)с(п о С учетом соотношений (50.10) и (50.11) для некоторого замкнутого контура 1, В результате 150.12) принимает вид ! ,'! ( —, — ~ 1а1„+ 1!/!., + — 1 1 с)! ~ = ',) 8;"е. (50.14) о Мы получили второй закон Кирхгофа для линейной цепи переменного тока: сумма сторонних э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
