Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для высокопроводящих материалов толщина скин-слоя оказывается очень малой. Если она мала по сравнению с радиусом провода, то расчеты, выполненные для цилиндрического провода, незначительно отличаются от расчетов скин-эффекта в проводящем полупространстве. Рассмотрим поэтому именно эту задачу. ь Это явление было описано английским физиком О.
Хевисайдом в работах 1884 — 1885 гг. и впервые обнаружено на опыте его соотечественником Д. Юзом в 188б г. 159 Пусть однородная проводящая среда занимает полупространство г>0, обладает электропроводимостью о, проницаемостями с, р и граничит с вакуумом (рис. 52.2). Запишем уравнения Максвелла в квазистационарном приближении внутри проводника: го(Н= — оЕ, (а) йуЕ=О, (б) с (52.1) го(Е= — — —, (в) йуН=О. (г) рдн с дз Здесь р=О, так как рассматривается установившийся процесс и все внесенные свободные заряды [(см. (37.12)) должны рассосаться за время релаксации т=яЯ4яо). Дифференцируя по ( уравнение (52.!а), находим дН 4ао дЕ с с го( — = — — = — — го( го( Е = — з5Е, де с сп р р откуда 4иор дь сз дз (52.2) Аналогичное уравнение получается и для напряженности магнитного поля: ЛН = —,1 —.
.сз дз' (52.3) Е=(Е, О, 0); 1=стЕ=(у, О, 0). Тогда из йуЕ=О выводим, что ОЕ(Ох=0, т. е. Е зависит только от О у и ж Но так как нас интересует задача о распределении плотности тока в цилиндрическом проводнике, которую мы упростили, то зависимость от у можно не рассматривать, имея в виду лишь азимутально-симметричные реше- !60 Задача 52Л. Показать, что уравнения (52.2) и (52.3) допускают в области 1' при граничном условии (иЕ)=О или (пН)=О только затухающие во времени решепич.
На основании результата задачи 52.1 можно сделать вывод, что квазистационарное поле в области г)0 может существовать долгое время только при условии, что на границе области к=О поддерживается некоторое внешнее поле (в случае задачи о проводнике это соответствует заданию внешнего напряжения, приложенного к проводу). В частности, если на границе задано периодическое электрическое поле с напряженностью ЕоехР( — зоз(), напРавленной по оси Х, то Решение задачи следУет искать в виде ния. Поэтому полагаем Е= Е(г) ехр ( — !ез! ) и запишем (52.2) в виде Е" (г) = — !4ксгргвс ~Е(з).
(52.4) Решение уравнения (52.4) очевидно: Е(з)=Еее"', х=+и ' Л4ло1цв. Рис. 52.2 Отбрасывая нарастающее в глубь проводника поле как физически неосуществимое, выбираем решение с Век<0, т. е. х=(! — 1)(б, б=с~ '2корсо. (52.5) Таким образом, напряженность электрического поля в проводнике изменяется по закону Е(1, к)=Еое и'е'" "". (52.6) Как видно, она экспоненциально затухает в глубь проводника. При этом роль эффективной глубины проникновения поля в проводник играет параметр б, называемый то:!и!иной скин-слоя и определяемый формулой (52.5). Числовые оценки, выполненные для меди (р=1, о=5 1052 с ') при частоте 50 Гц, показывают, что б - 2 см.
Поэтому в проводниках обычных сечений скин- эффект проявляется лишь при гораздо большей частоте. Для нахождения напряженности магнитного поля в проводнике воспользуемся уравнением (52.1в), из которого получим Н = — ! — го! Е. (52.7) во~ Подставляя (52.6) в (52.7), находим: Н=(0, Н, О); Н=Ес(1+!)!()цвб). (52.8) Используем это решение для расчета сопротивления 1 см цилиндрического провода радиусом а. Если а«б, то очевидно, что результат будет такой же, как при постоянной силе тока, так как плотность тока почти постоянна по сечению провода. Если же а»б, то результат будет иным и получить его можно с помощью (52.6), положив Е(!, т)-Ееехр((а — г)(! — 1)/Яехр( — йв!).
(52.9) Прежде всего вычислим на основе (52.9) полную силу тока через сечение провода: а 1=2ко) Егдгх(1+!) япобЕве '"'. (52.10) о Теперь воспользуемся законом Джоуля — Ленца, согласно которому тепловые потери в 1 см провода определяются его сопротивлением А и равны В за зж !б! в Руз 2я ((г/гг)гкзг)г о О =поЕ ) е з' "Нгс)г о = паобЕоз /2.
(52.11) Замечая, что гз =(яаобЕо)з, находим сопротивление 1 см провода: Я=(2паоб) '. (52.12) Анализ этой формулы показывает, что фактически нужно учитывать лишь сопротивление самого скин-слоя (рис. 52.3), т. е. в обычной формуле для сопротивления Я=(оЯ) ' вместо поперечного сечения я=паз нужно подставлять площадь кольца толщиной б.
Приближение такого рода, основанное на неравенстве а))б, обычно называется приближением Рэлея. Задача 52.2. Подсчитать ввэтргнвьао индуктивность 1 см провода радиусом и в рэлеввгком приблиэкении. Однако опыт показал, что зависимость сопротивления провода от частоты типа Л гы, как предписывает формула (52.12), сохраняется далеко не для всех частот, удовлетворяющих условию квазистационариости (49.8). Оказалось, что в области достаточно высоких частот, при которых глубина проникновения поля в проводник и длина свободного пробега 1в электронов в металле сравнимы, т. е. 8<(в или с'/(2яор(в') < ы «о)е, (52.13) наблюлается более быстрый рост сопротивления с частотой.
Это явление, получившее название аномальввгв скин-эф4екта, объясняется тем, что при 8Н(в перестает быть справедливым локальный закон Ома )=оЕ. В самом деле, если, например, воспользоваться электронной моделью Друде, то электрическое поле будет разгонять электроны не в течение времени их свободного пробега, как предполагалось в этой модели, а в течение времени их пребывания в скин-слое, причем напряженность поля существенно меняется на протяжении этого слоя.
Таким образом, электроны будут находиться в области ускоряющего их поля гораздо меньшее время, что приведет к уменьшению силы тока или эквивалентному возрастанию сопротивления. Как можно показать*, длина свободного пробега электронов растет с убыванием температуры Г быстрее, чем Т ', так что условие (52.13) выполнено и дпя обычных частот, но при низких температурах. Таким образом, условия для проявления аномального скин-эффекта выполняются как при высоких частотах и нормальных температурах, так и в области обычных частот, но низких температур.
Удовлетворительное объяснение аномального скин-эффекта было дано Г. Рейтгром и Э. Зондхаймвром в 1948 г. Они пришли к следующей нелокальной связи 1 и Е, обобщающей локальный закон Ома: 3о ( И(ИЕ') 1(г) = — ~ в е жьг()гх 4я) ~ Лв где И=г — г'. Таким образом, согласно (52.14), плотность тока 1(г) определяется напряженностью Е поля в некоторой окрестности точки г с размерами порядка 1в. * Смз Кигилгель Ч. Введение в физику твердого тела.
М., 1963. С. 338 — 342. 162 Залпча 52.3. Показать, что в пределе 1о О закон Рейтера--Зондхаймсра (52.14) переходит в ооьтный закон Ома. Задачи 52.4. Показать, что в рзлеевском приближении сила, действующая па прпводящсе тело в перелтстом магсатном поле частоты ы, может быть зиписана в виде (52.15) еде Я вЂ” поверхность тела. 53. ДЛИННЪ|Е ЛИНИИ Рассмотрим длинную двухпроводную линию (рис.
53.1). Введем емкость С, индуктивность 2, и сопротивление Я линии на 1 см которые будем считать постоянными величинами. Тогда для участка бх линии зги параметры, очевидно, равны: ЬС= Сбх, И-= Ых. ЬЯ = Абх Найдем уравнения для силы тока 1 и напряжения (с' в линии, являющихся некоторыми функциями 1 и х. В качестве исходных возьмем уравнения (49.6), из которых, в частности, вы гекает закон сохранения заряда в обычной форме: др)д(+с)зч)=О. Заряд ЬД=бхС6 участка линии бл может изменяться как из-за разности сил токов в точках х и х+бх, так н из-за утечки (разряд линии). Таким образом, — ЬД = бхС вЂ” = Г(х) — У(х+Ьх) — 6бх6, (53.1) где последний член, в котором 6=сопйг, описывает утечку в линии согласно закону Ома.
Переходя в (53.1) к пределу Ьх — О, находим СдЦд(+дЦдх+ 60= 0. (53.2) Наконец, запишем второй закон Кирхгофа для участка бх линии: бхЯ1= — Ьх2,с зд1(д1+ Цх) — 6(х+ бх), откуда после перехода к пределу Ьх- О выводим 1Я = — Ес зЛ/д( — д ~l/дх. (53.3) Уравнения (53.2) и (53.3) называются телеграфными и являются основными при описании процессов в длинных линиях.
Дифференцируя (53.2) по х, а (53.3), умноженное на С,— по 1 и вычитая полученные уравнения одно из другого, находим (53.4) Подставляя в (53.4) д(з)дх, взятое из (53.3), приходим к уравнению с де дз сс —,— ' —,ь(ось 'пс) — с 'ое)с=ь. с535) дс' д» дз 163 т Замечая, что уравнение (53.5) содержит волновой оператор, от- У вЂ” в вечающий скорости распространения волны к к+дк о =с(1,С) '", (53.6) попробуем искать решение этого уравнения в виде к(1, Х)=!(Х вЂ” ОВ1)с (Х), что соответствует неискаженной волне, форма которой сохраня- ется, а амплитуда изменяется вдоль линии.
Подставляя (53.7) в (53.5) и приравнивая нулю коэффициенты при независимых функциях 1' и 7', имеем ~е — 6Я~=О, 2сг1'+~ой(6Е+сгЯС)=0, Рнс. 53.! откуда —,,оа. — 2сг(6Я) "го„, '+6к.+сгЯС 0 (53 8) Последнее соотношение в (53.8) с учетом (53.6) принимает вид ( '6Š— с РЯС)г=О, и поэтому неискаженная волна существует только прн выполнении условия откуда Цг, т'= у=а!(1, х), (53.10) т.
е. вдоль линии сохраняется постоянным отношение У(1, х)/к(1, х)=а=с ' УХ~С, (53,11) называемое волновым сопротивлением линии. Если на конце линии поставить нагрузку Я„, то для непрерывности 6 и 1 необходимо выполнение условия Ял = с ' АХ/С, (53.12) * Неискаженные волны были предсказаны О. Хевнсайдвм в 1887 г. 164 с ' ггХ!С = /Я76 =а. (53.9) Как видно из (53.8), амплитуда неискаженной волны экспоненциально затухает вдоль линии*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
