Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 28
Текст из файла (страница 28)
д, с., взятая по некоторому замкнутому контуру, равна сумме падений напряжений на всех индуктивных, емкостных и омических элементах этого контура. Наконец, для разветвленных цепей уравнения 150.!4) следует дополнить первым законом Кирхгофа. Для его получения воспользуемся соотношением с)1ч 1 — — Ч вЂ” 1=0, 4в г!1 являющимся очевидным следствием 149.6) и выражаюгцим закон сохранения электрического заряда в квазистационарном приближении. Интегрируя 150.15) по некоторому объему, включающему точку разветвления цепи, и используя теорему Гаусса--Остроградского, находим или , 1„=0, 150.16) где сумма берется по всем ответвлениям, сходящимся в данной точке, а под токами 1„понимаются как токи проводимости, так и квазистационарные токи смещения.
Соотношение 150.16) и представляет собой первый закон Кирхгофа/ сумма сил токов, притекаю)цих к точке разветвления цепи, равна нулю. Итак, для расчета линейных цепей с квазистационарными токами достаточно составить и решить систему уравнений Кирхгофа 150.14) и 150.16). В наиболее распространенном случае, когда токи и э. д. с, зависят от времени гармонически: 10е — !!о/ 4!стоР /~ее — !в! К= 4 К а С, и 1.а не зависят от времени, второй закон Кирхгофа принимает вид 1о ~ 4)о 150.17) /ч! /! /е! где введена матрица комплексного сопротивления (импеданс) У,„=Я,.б/„+!'~б;„(гвС ) ' — о/1//, ! с~ ~, 150.18) 154 Рис. 50.5 Рис.
50.4 действительная часть которой содержит активные сопротивления Аэ а мнимаи — Реактивные сопРотивлениЯ Хдг=бж(итСз) ' — сох',гкс В качестве примера рассмотрим простую цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности 2., емкости С и сопротивления Я (рис. 50.4). В этом случае ео Тот (50.!9) где У=Я+гХ, Х=(атС) ' — агЕ!'сг.
(50.20) Очевидно, что между током и э. д. с, появляется сдвиг фаз ср: Ве 1 0 В Е 1е 10 ф Х 1 стЬ (50.21) !Х! ' Л сгСЛ ясг' что принято изображать на диаграмме ток — напряжение (рис. 50.5). Если подсчитать выделяющуюся в цепи тепловую мощность, то найдем ЯТг )!!Ус!г~2=созср!4 оТо!12 (50.22) В связи с этим сдвиг фаз ср [см. (50.21)) часто называют углом потерь. Будучи весьма важной характеристикой линейной цепи, позволяющей определить в ней тепловые потери, сов 1р обычно всегда указывается в паспортах различных технических устройств, например электродвигателей переменного тока. Замечая, что импеданс г. системы является функцией частоты ат пРиложенной э.
Д. с., нетРУдно опРеДелить тУ частотУ оге, пРи которой сила тока в цепи максимальна, т. е. наступает резонанс. Согласно (50.21), при этой частоте ! У! минимально. откуда !пт г. = О, т. е. аге = с(Т,С) (50.23) (формула Томсона" ). Нетрудно видеть, что при резонансной частоте ср=0, т. е. потери в цепи максимальны — контур отбирает от источника максимальную энергию. * Речь идет о В.
Томсоне !Кедьвиие). 155 л~ 0 "г гг ггг Рис. 50.6 Часто в реальных конденсаторах и катушках индуктивности также наблюдаются потери, что связано с проводимостью используемых материалов. Эти потери удобно описывать с помощью формализма комплексных проницаемостей" а=а' Рга", )г=ц'+г'1г".
ПолагаЯ С6 0Со и 2.=1г2,о, импеДансы конДенсатоРа и катушки индуктивности можно представить в следующей форме: Ус = г Уй = гоэ2,о(1г'+ г1г") / с'. 150.24) с озС ~в~2' Тогда соответствующие углы потерь имеют вид гРс=агс18(а'/а"), гР,= — агс18(1г'/1г"). (50.25) Задача 50.2.
Записать уравнения Кирхгофа для линейной цепи, иэобралеениой на рис. 50.6. 0 51. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ЛИНЕЙНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ Из уравнений Максвелла в квазистационарном приближении нетрудно получить теорему Пойнтинга, которая выглядит так же, как и в общем случае: (ЗЕ ) = — д н / д~ — г)1ц Б, В = с (ЕН ) / (4к), (5! .1) но с тем отличием, что выражение для плотности энергии электромагнитного поля равно го= и + н =е(цгр)з,г(8н)+)ггг г /(8н), (51.2) т.
е, оставляется лишь потенциальная часть электрического поля Е = — Чгр. В связи с этим н, отлична от нуля практически только в конденсаторах, т. е. полная электрическая энергия равна (51.3) Иг г * Формализм комплексных пронипаемостей применяется прн описании распространенна электромагнитных волн в поглопгаюпгих средах (см., в частности, задачу 40.2). !56 в то время как магнитная энергия В' имеет обычный вид, как и для системы постоянных токов: ЕИ д)'= —,,') Т.,ЕТ,ТЕ.
Запишем теперь интегральную теорему Пойнтинга: (51.4) ))е)ИГ= — )и',си'„) — ! ) И)ИЕ. (55.5) )'[' ~( (1Ессор)1 (Е 5~ (Тг7! е сгс5ар) Наконец, последний член в (51.6) представляет собой мощность силы Лоренца и в соответствии с теоремой живых сил может быть приведен к виду ) (п() оУ=)5Т)й, где Т вЂ” кинетическая энергия системы. В результате уравнение (51.6) можно преобразовать: ((1Е)1)г 5~ (72Я е астор) 1 ~Т) ~г (5! .ба) Подстановка (51.6а) в (51,5) позволяет записать закон сохранения энергии в системе квазистационарных токов в виде гт, — ( Т+ — ~(.,ИТ)75+ -~ —" =~(ТЕ4'Е"' — 15~7!Е).
5))5, 2С .Е 2 Е Сс,) (5 1.7) Структура этого уравнения говорит о существовании далеко идущей аналогии между системой квазистационарных токов !57 Поверхностный интеграл в (51.5), описывающий потери си- стемы на излучение, в квазистационарном приближении исчезает, так как [см. (49.6)) на поверхности Я, которую будем считать сферой бесконечно большого радиуса Я, имеем: х( - г 77 )! - г ) Я ) Я - и Наконец, преобразуем интеграл в левой части (5!.5). Полагая в соответствии с законом Ома 1ос рн+о(Е+ [пВ))с+ЕЕ""), где в — скорость движения проводников или обкладок конден- саторов, находим ЯЕ) й)'=) [7",)о — (1'Е"'") + (нЩ дГ (51.6) Здесь 1'=1 — рн — плотность тока в неподвижных проводниках, 1= рЕ+с ' (1В]- — плотность силы Лоренца.
Так как для линейных токов 1'с11И=И1, то и механической системой с диссипацией. В самом деле, если заряды е; рассматривать как обобщенные координаты, то силы токов 1;=-е; должны играть роль обобщенных скоростей. При этом уравнения Кирхгофа (50.14) и (50.16) можно записать в форме уравнений Лагранжа -'(~') 6--'-'л (51.8) в которых функция Лагранжа и диссипативная функция Рэлея имеют соответственно такой вид; Р сс /4„~У~с~~ Р4д~Дсс 2с~ 8с~ 1 ) Я (51.13) 158 Л= Вс И/ = — ~) 1в11„— ~) (51.9) е 2 2 Й 2 С с=те~я;сг;" ). (51.10) 3 Итак, энергия В' магнитного поля играет роль кинетической, а энергия В; электрического поля — роль потенциальной энергии, что полностью согласуется с выражениями для обобщенных сил (23.15) и (33.8). Отмеченное обстоятельство позволяет легко вычислять механические силы взаимодействия токов и зарядов, обычно называемые поидеромоториыми силими.
Так, если коэффициенты С; или 1;„, входящие в Л, явно зависят от некоторых геометрических параметров д, (обычно размеров или расстояний), которые могут изменяться со временем, то соответствующие им обобщенные силы находят по правилу с.= — — с —,х1 —.' — с — ' — „( — ). с!31) ьх ' ! Если к лагранжиану Л добавить соответствующую механическую часть, зависящую от д, и д„то нетрудно получить и уравнения движения для параметров д, с учетом пондеромоторных сил (51.11), действующих на элементы системы со стороны электромагнитного поля.
В качестве примера возьмем катушку самоиндукции длины поперечного сечения кг2, с обмоткой из Ф витков провода. Тогда сила, действующая на катушку в направлении 1, равна 2с""сп 1 ! с Р т. е. соленоид стремится сократиться, что качественно объясняется притяжением двух соседних витков с током. В то же время сила, действующая вдоль г, равна т. е, соленоид стремится растянуться, что качественно объясняется отталкиванием тех элементов витков, токи в которых противоположны. Так, в известных опытах П.
эг. Капицы по созданию сверхсильных магнитных полей сила тока достигала миллионов ампер и часто катушки разрывались, не выдерживая нагрузок. Задача 51.1. Катушка индуктивности Рнс. 51.1 массы т, подвешенная за один конец, подключенный к источнику постоянного напряжения с э. д. с. д' (рнс. 51.1), свободным концом опуисепа в ртуть. Найти закон движения свободного конца катушки и закон изменения силы то«а в ней. Задача 51.2. Рельсотрон представляет собой две параллельные металлические шины длины з, улоэкенные иа расстоянии ( одна от другой и накодяивиеся под напряжением ГГ в поперечном магнитном иоле В. Подвижнььй стержень длины 1 и массы т замыкает шины на левом конце.
Найти предельные зничения скорости иь разгона стерзннв и к. п. д. т!с рельсотрона, считая заданными сопротивление цепи К, индуктивность Е и коэффициент трения к. 8 52. СКИН-ЭФФЕКТ Рассматривая в 8 36 задачу о поле прямого провода с постоянным током, мы обнаружили, что ток равномерно распределен по сечению провода. Но оказывается, что для переменного тока это уже не так. В самом деле, магнитный поток сквозь контур в продольном сечении провода !рис. 52.1) в случае переменного тока изменяется со временем, а это означает, что циркуляция напряженности Е электрического поля по этому контуру отлична от нуля.
Отсюда следует, что напряженность Е поля изменяется в радиальном направлении, поэтому распределение плотности тока 1=оЕ также оказывается неравномерным по сечению провода. Расчеты показывают, что практически ток протекает в тонком поверхностном слое провода, откуда и происходит название этого явления — скин-эффекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
