Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вещество имеет атомистическую структуру. Его электромагнитные свойства обусловлены легкими отрицательно заряженными электронами с зарядом е= — 4,803242 СГС, и тяжелыми положительно заряженными ядрами с зарядами, кратными заряду электрона. 2. Эти элементарные заряды являются источниками микроскопического электромагнитного поля, которое вне зарядов подчиняется уравнениям Максвелла †Лорен, т. е. уравнениям Максвелла в пустоте. 3.
Модели атомов, молекул и самих электронов нельзя построить без допущения сил неэлектромагнитного происхождения, структура которых должна разумно постулироваться. 4. Макроскопические поля Е и В суть средние по пространству и времени от соответствующих микроскопических полей е и Ь. 5. Наконец, забегая несколько вперед, следует потребовать, чтобы уравнения Максвелла †Лорен для полей е и Ь и урав- 174 пения движения зарядов были ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. В связи с этим введение неподвижного электромагнитного эфира оказывается излишним.
я 57. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА — ЛОРЕНЦА И МАКРОСКОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Согласно вышеизложенным постулатам, уравнения Максвелла— Лоренца для микрополей е и Ь имеют вид 1 Ре 4я.„„„ го1Ь=- — + — 1"""е, !11че=4кр'""е, «й « (57.1) 1 дь го1е= — — —., ЙчЬ=О. с' а! При этом микроскопические плотности заряда и тока могут быгь представлены в форме Р"""е(1, г)=~> Р;(1, г); 1"""'(1, г)=2 )!(1, г), ! ! ГДЕ Рь 1! — ПЛОтНОСтИ ЗаРЯДа И тОКа ДЛЯ ОтДЕЛЬНОй ЗаРЯжЕННОй частицы номера 1. Если частицы считать точечными, то р;= р,""(1, г) =е!б [г-г!(1))', 1!=1!"'(1, г)=е!ч!б[г — г!(1)), где г;(1) — радиус-вектор положения частицы, ч;(1) — ее скорость, е; — заряд.
Но в таком случае не учитывается, например, тот важный факт, что заряженные частицы могут обладать собствен- ными магнитными и электрическими дипольными моментами. Используя представления (2.12) и (2.13) для плотностей связанных зарядов и токов, учтем подобные структурные эффекты, добавив к р',"" и 11'" следующие источники: р';= — сйчкь Я=да,!!д1+сгогп!, где к; и 14! — вспомогательные векторы, исчезающие вне частицы номера 1 и в практических расчетах принимаемые б-образными. Таким образом, р""""(1, г)=2 (е;б[г — г!(1))' — сйча!), ! (57.2) 1"гв(1, г) = ~> (е!ч!б [г — г;(1)1 + дн!!д1+с го114,) . Так как заряженные частицы движутся по сложным, запутанным траекториям, то порождаемые ими микрополя е и Ь имеют нерегулярную, случайную структуру. В то же время макроскопические поля Е и В, подчиняющиеся уравнениям Максвелла (10.1), являются регулярными функциями, так как порождаются макроскопическими источниками р"""' и 1»""", получающимися усреднением соответствующих микроскопических источников 175 (ф, г))ге 7(1+1', г+г')ж'д$".
(57.4) мог Отсюда видно, что операция усреднения (...) линейка и обладает свойствами (57.5) Применяя операцию усреднения (57.4) к уравнениям Максвелла Лоренца и используя (57.5), находим: гог (Ь) =- —, (е) + — ()"""'), г)1ч (е) =4я (р "'"), (57.6) го1 (е) = — — —. (Ь), г(1ч (Ь) =О. с оп Сравнивая систему уравнений (57.6) с уравнениями Максвелла (10.1), убеждаемся, что для их согласования необходимо по- ложитге (е) = Е, (р"""") = р""'"'= р — г)1ч Р, (57.7) (Ь) =В, (1"""') =1""""=1+ — ', +стог М.
176 (57.2). Поэтому и макроскопические уравнения Максвелла должны получаться усреднением микроскопических уравнений Максвелла --Лоренца (57.1). Под усреднением какой-либо микроскопической величины Д1, г) мы будем понимать усреднение по физическому бесконечно малому объему с1Г, определенному соотношением (2.1), и по физическому бесконечно малому интервалу времени стб определение которого мы сейчас дадим. Если усреднение по объему необходимо потому, что в макроскопической теории рассматриваются объекты, состоящие из большого числа частиц, то усреднение по времени вызвано тем, что микроскопические поля, даже усредненные по пространству, остаются хаотически изменяющимися во времени в связи с беспорядочным движением порождающих их частиц.
Если во — средняя тепловая скорость движения частиц, а 1 — среднее расстояние между ними, то характерное время изменения микроскопических величин имеет поРЯдок Го —— 11оо. С дРУгой сгоРоны, всегда можно ввести характерное время 7 изменения макроскопическнх величин, в качестве которого обычно берут время релаксации системы (37.13) либо период колебаний в случае периодических процессов. В таком случае физический бесконечно малый интервал времени Ж должен удовлетворять условию 1о « о1 « Т. (57.3) Тогда усреднение некоторой микроскопической величины 1(б г) определяется следующим образом: Выясним теперь более подробно, пользуясь представлением (57.2) для микроскопических источников, какова структура р, Р и М. Прежде всего, пользуясь свойством Ь-функции, найдем вклад точечных источников в рп"ь и Зп'йп' (р'""(1, г))= " ~г е;с11', лу Лг (57.8) (1""(1, г))=- 2 еегз(1+В)й', Ь» где символ Ы Л Г означает, что суммирование проводится по всем зарядам, которые в момент времени 1+1' оказались в объеме Л(с с центром в точке г.
Отсюда видно, что выражения (57.8) отличаются ог (2.2) и (2.5) только дополнительным усреднением по времени. Оценим теперь вклад в (5 7.8) связанных зарядов, которые будем обозначать индексом а. Пусть некоторая молекула номера 7с имеет объем Р . Чтобы найти ее вклад в р"" и 1"", заметим (на основе неравенства Р « Л1с), что для всякого заряда номера сг, принадлежащего молекуле, 1г„1з«е»(с, если начало координат поместить в центр масс молекулы.
Так как в дальнейшем будет производиться усреднение по объему е» К, то в р"" можно провести разложение по степеням г„. В таком случае, обозначая рг„'1" вклад молекулы номера 7с в р"", имеем ргьз" (1, г)= „'з е,б(г — г„(1)1= 2 ', 2 (г„Ч)"е„б(г), йе У «=О ' йеУ» что соответствует обычному разложению по мультиполям. Если же учесть условие нейтральности молекулы, согласно которому 2 е„=О, йе У» то ргь1" (1, г)=,"г„( ) 2. (г„Ч)"е,б(г)йй — с(ззгР1й", (57.9) п=з ' осГ» где Ргьз = .> ~з, е„г„(г,Ч)" '8(г).
(57,10) ос г'»» = г Задача 57.1. Показать, что вклад отдельной молекулы номера 7» в 1"",иомсегн быть представлен в вида дР»»»" 7»г-1-сгог М»»»»", где М(»Ч= ~ ~ — "(г„г„1(г„у)" 'б(г). " ( — 1)"''и е„ (57.1 1) „„,„, (и-;-1)! с 177 Теперь уже нетрудно получить явное выражение для поляризованности Р и намагниченности М. Для этого достаточно просуммировать (57.10) и (57.11) по всем молекулам и учесть в соответствии с (57.2) собственные магнитные и дипольные моменты заряженных частиц. В результате после усреднения получаем Р=,'г" (я!)+ — ,'г е„гго М=2'()г,)+ 2 е„[г„ц„), (57.12) г иеа1 где волнистой чертой обозначено усреднение по интервалу времени ЛЕ Прн ВЫВОДЕ ЭТИХ фОрМуЛ МЫ, ИСПОЛЬЗуя НЕраВЕНСтВО ) Г„) « Л)г, пренебрегли высшими членами разложения (л > 1) в (57.10) и (57.1!), относящимися к высшим мультипольным моментам.
Из вида формул (57.12) следует, что векторы Р и М, возникающие в электронной теории, отличаются от векторов (7.5) и (8.2) практически лишь дополнительным усреднением по времени. Это обстоятельство позволяет интерпретировать их как средние плотности дипольного и магнитного моментов среды. Паконец, очевидно, что р и З получаются при усреднении точечных частей микроскопических плотностей свободных зарядов и токов. Обозначая свободные заряды индексом (з, имеем р = 2 ' с!г ( 8 (г — г8 ) ), 1 = 2 ер ( уб 8 (г — г!г ) ), (57. 13) !г б что после усреднения приводится к виду (57.8). Таким образом, установлено, что макроскопические уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде получаются в электронной теории при пространственно-временном усреднении соответствующих микроскопических уравнений Максвелла — Лоренца.
Теперь остается выяснить, как в электронной теории могут быть получены конкретные уравнения состояния вещества типа Р=Р(Е), М=М(В). Задача 57СЕ Введя микроскопические потегсциалы злектроыагнитного поля, т. е. положив е= — згр — с ' са!Гг, Ь=гогя, показать, что уравнения Максвелла Лоренца (57.!) могут быть получены из вариационного принципа 'з з з 8 ~ — (е' — Ь )4- — (я!"""') — грр""" Фд!'=О (57.! 4) ! ~8п с ч г при условии, что вариации бгр и ба исчеза~опг на границах области интегрирования.
Вывести отстда выражение для силы Лоренца. 8 58. ДИЭЛЕКТРИКИ В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Особенность диэлектриков, т. е. сред, поляризующихся под действием электрического поля, состоит в том, что их молекулы обладают электрическими дипольными моментами р, в общем случае зависящими от действующего на них поля Е'. Как будет !78 ниже показано, действующее на отдельные молекулы поле Е', часто называемое локальны и, отличается от среднего поля Е= ( е ) в среде и совпадает с ним лишь для достаточно разреженных веществ. Считая поле Е' слабым по сравнению с внутримолекулярным, можно произвести разложение функции р(Е') в ряд Маклорена и' ограничиться линейным приближением: р(Е) р(О)";(Е' — -)р(Е) с рк ~й.Е', (»1) где (г — тензор поляризуемос)пи молекулы, имеющий компоненты (гй др() бб !е'=О. !58.2) Таким образом, в общем случае в дипольном моменте молекулы можно выделить постоянную часть Р, не зависящую от поля Е' и называемую собственныл( дипольпым моментом молекулы, а также часть й Е', линейно зависящую от поля и называемую в связи с этим индуиированным дипольным моментом.
При э)ом, вообще говоря, направление индуцированного момента не совпадает с направлением поля Е', что является проявлением анизотропии молекул. В простейшем случае изотропных молекул можно положить а(, = пб,„, поэтому 158.4) Р=Ро+ "Е Подобная зависимость наблюдается, например, тогда, когда заряды +е, разделяемые в поляризуемой молекуле, удерживаются в положении равновесия квазиупругой силой, пропорциональной смещению: Е = — )сг. Нетрудно показать, что в этом случае поляризуемость с( =ез /)с, поскольку при равновесии )сг=еЕ' и индуцированный дипольный момент равен ег= Е'ез/)с.
В связи с зависимостью (58.4) интересно выделить два крайних типа изотропных молекул, наблюдаемых в природе: 1) квазиупругие молекулы, у которых р„= О, т. е. р = аЕ' !в качестве примера можно указать молекулы СНв и СС! ); 2) дипольные молекулы, у которых р»ФО, а квазиупругий член с(Е' мал по сравнению с собственно дипольным рв (примером являются молекулы НзО, НС1, СН,С!). Диэлектрики, состоящие из квазиупругих молекул, называются диэлектриками 1 класса !или неполярными), а состоящие из дипольных молекул — диэлектриками П класса (или полярными).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
