Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Заметим прежде всего, что компонента тензора второго ранга Г"" преобразуется как произведение соответствующих компонент двух 4-векторов А "В". Поэтому если направить ось Х вдоль скорости движущейся системы отсчета г, то вследствие инварианз- ности поперечных компонент 4-вектора А и А ' компоненты Гг' и Гз" должны преобразовываться как 4-векторы. Это обстоятельст- во с учетом свойства антисимметрии Г"" = — Ген позволяет установить закон преобразования всех компонент тензора Г"", кроме Го'. Однако [см. (79.6) ] — Го' =Ргз, т.
е. Го' преобразуется как инвариантная составляюпгая дуально сопряженного тензора Ггз. Учитывая все сказанное, можно записать следующие формулы преобразования для тензора электромагнитного поля; Г ог Гог Г ог у(Гог ]ЗГгг) Г оз „(Гоз ]ЗГгз) Г гз Ггз Г гг у(Ггг [ЗГог) Г гз (Ггз [ЗГоз) (80.1) или с учетом (79.3): Е,=Е„Е;=у(Ег — бвз), Е',=у(Е,+[ЗВг), (80.2) В',=В,, Вг=у(Вг+рЕз), Вз="у(В,— ]ЗЕг). Эти формулы можно записать и в компактной векторной форме: и где символами 11 и 3 обозначены соответственно продольная и поперечная составляющие векторов.
Обратные преобразования, очевидно, получаются заменой ч-+ — ч. В полученных законах преобразования (80.3) отчетливо выявляется тесная взаимосвязь и глубокое внутреннее единство электрического и магнитного полей, выступающих как различные проявления единого электромагнитного поля. В частности, одним из ярких свидетельств этого единства являются уже известные нам теоремы 1'яс 801 Дж. Дж. Томсона, (см. задачу 6.2), вытека- ющие из (80.3). Так, если в движущейся системе отсчета Х' имеется только магнитное поле В', то в неподвижной системе Х, согласно (80.3), появится поперечное электрическое поле Е = — [чВ3 / с. Аналогично, если в системе Х' имеется лишь электрическое поле Е', то в системе Е появится поперечное магнитное поле В=[чЕ]/с. В качестве важного применения формул (80.3) рассмотрим задачу о нахождении электромагнитного поля, создаваемого точечным зарядом с, движущимся с постоянной скоростью ч.
Очевидно, что в собственной системе отсчета Х' заряда имеется лишь электрическое поле с напряженностью Е'=сг'/г". (80.4) Применив формулы преобразования, обратные (80.3) и пред- варительно записанные в компактной форме: Е=(1 — у)ч(чЕ')/ и'+у(Е' — [чВ'3 /с, (80.5) В =(1 — у) ч(чВ') ! и~+ у(В'+ [чЕ'3 / с ), найдем, что в неподвижной системе Х Е=уЕ'+(1 — у)ч(чЕ')/и~, В=[чЕ)/с. (80.6) Подставляя (80.4) в (80.6) и учитывая, что, согласно (67.20), г'=г — учс+(у 1)(гч)ч)и2, после несложных преобразований находим е е(г — и) (1 — 11' ) Е=У з(г чс)=(( )г ( 2 г)( 152))за' (80 7) Анализ этой формулы показывает, что при больших скоростях и, когда )3=1, поле практически концентрируется в плоскости, перпендикулярной движению (рис. 80.1).
Показателем релятивистс- кого сжатия поля является отношение Е(х — и!=а, у=2=О)/Е(х — ш=0, у=с=а/ 2)=(1 — (3 )~'~. 258 Задача 80.1. Металлический шарик радиуси и и зарлда е движется с постоянной скоростью ч. Понизить, что соли Лоренцо, действ»ющоя но элементарный зиряд но поверхности шарика, кажет быть представлена в виде Е= — чФ, где й — конвекционный потенциам Найти Форму эквипотенциаяьной поверхности ф=сопвь (эллипсоид Хевисайда). Задача 80.2.
Найти электромагнитное поле точечного электрического диполя с .иоментом Гч движущегося с постоянной скоростью ч. 8 81. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Во многих приложениях неоценимую пользу может оказать знание инвариантных комбинаций, составленных из компонент электромагнитного поля. Можно указать две такие инвариантные комбинации У =-Г'Р /2 У = — Г""Р,/4, (81.1) в которых для удобства выбраны числовые коэффициенты 1 3 и — /в.
Воспользовавшись матричными представлениями (79.3) и (79.5) для тензоров Е"' и г'и, электромагнитного поля, инварианты (81.1) можно выразить через Е и В: У,=Ез — Вз, У =(ЕВ) (8 1.2) Отметим, что, согласно (81.1), только У, является истинным скаляром, тогда как г является псевдоскаляром, т. е. изменяет знак при пространствейном отражении. Задача 81.1. Показать, что характеристические числа матрицы Р," выража- ются через инвириоюпы (81.2).
Из существования инвариантов 181.2) можно вывести ряд полезных свойств электромагнитного поля. Например, из явного вида Уз следует, что с помощью преобразования Лоренца нельзя перевести чисто магнитное поле в чисто электрическое, и наоборот. Это связано с тем, что инвариант У, изменил бы при этом знак, что невозможно. Далее, из явного вида инварианта .г вытекает, что если векторы Е и В ортогональны в некоторой системе отсчета, т. е. Уз=О, то и в любой другой системе отсчета они будут оставаться ортогональными. Таким образом, свойство ортогональности векторов Е и В является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
Интересной особенностью обладает плоская электромагнитная волна. Так как для нее Е=В и 1ЕВ)=0, то У, =.й =О. Поэтому в любой инерциальной системе отсчета плоская электромагнитная волна остается плоской волной. Задача 81.2. Каким условиям должны удовлетворять вскторы Е и В, чтобы существовила систельа отсчета, в которой либо Е=О, либо В=О? 259 Х ' = Х ' = 1пч, или (Е+1В )' = Е ' — В ' т 21 (ВЕ) = щч. (81.6) Разделяя в (81.6) действительную и мнимую части, убеждаемся, что существуют только два независимых инварианта (8!.2) электромагнитного поля. 8 82.
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ По аналогии с введением трехмерных скалярного гр и векторного А потенциалов электромагнитного поля, для решения системы уравнений Максвелла в четырехмерной форме удобно ввести четырехмерный векторный потенциал А электромагнитного поля, ПОЛОЖИВ двч = дв Ач — дч Аи. (82.1) Нетрудно видеть, что уравнение (82.1) является ковариантной записью соответствующих трехмерных уравнений Е = — ч гр— — с ! дА)'дд В = го(А, если считать, что 4-потенциал А имеет компоненты 4и (гр А) (82.2) Заметим, что подстановкой (82.1) автоматически удовлетворяется вторая группа уравнений Максвелла. В самом деле, д„Р""=а"""д„(д,А,— д,А )/2г 0 как свертка антисимметричного тензора 8""" с симметричными тензорами д„д,А, и д„д,А,. Обратим внимание йа то, что соотношением (82.1) 4-потенциал А определен неоднозначно, а именно: новый 4-потенциал с ком- понентами ,иу„— = А „+ д„Ф, (82.3) 260 Существует и другой способ вывола инвариантов (81.2), основанный на использовании формул преобразования электромагнитного поля (80.3) и позволяющий просто установить отсутствие других инварнантов, кроме я, и уз.
Именно; применим формулы (80.3) к комплексному вектору Х=Е+1В, (81.3) впервые введенному английским физиком Л. Зильберинпейно.и в 1907 г. Тогда для преобразованного вектора Х' найдем Х,'! — — Хх, Х'„=у(Х,— г(чХ) /г). (81.4) Воспользуемся теперь комплексным представлением (72.9) для гиперболического поворота, положив у=сохо, !7()=апп, п=)аггй)). Тогда формулы (8!.4) примут вид Х,',=Х,', Х', =сох пХ,— а)по(чХ) /г.
(81. 5) Нетрудно видетгь что преобразование (81.5) представляет собой трехмерный поворот вокруг направления ч. при котором, как известно, квадрат вектора остается неизменным, т. е. отличающийся от старого на 4-градиент произвольного скаляра Ф, тоже удовлетворяет (82.1), поскольку ги„= д„А„— д„А„= д„лу„— д„лф„. Это свойство 4-потенциала является выражением градиентной, или калибровочной, инвариантности электромагнитного поля ср'=<р+с 'дФ('дб А'=А — 57Ф. Чтобы уменьшить произвольность выбора 4-потенциала, на него можно наложить некоторое дополнительное условие.
Если считать это условие линейным и лоренц-ковариантным, то оно определяется однозначно и известно как условие Лоренца — —.+ЙцА=д„А "=О. (82.4) Очевидно, ему всегда можно удовлетворить, совершив калиб- ровочное преобразование (82.3) с подходящей скалярной функцией Ф. В самом деле, подстановка (82.3) в (82.4) дает — д„д" Ф = — П Ф = — ди,ир и, т. е. скаляр Ф удовлетворяет неоднородному уравнению Далам- бера, решение которого задается с точностью до произвольного решения Фо свободного уравнения Даламбера ПФ6=0.
Таким образом, даже при наложенном условии Лоренца (82.4) 4- потенциал А„ остается определенным с точностью до 4-градиента д„Фо, где Фо †скалярн решение уравнения Даламбера. Перепишем теперь в терминах 4-потенциала первую группу уравнений Максвелла в вакууме. Подставляя (82.1) в (79.2), имеем д„Ри" =д„д" А "— д„д'А "=(4к(с) у", или с учетом условия Лоренца (82.4) ГЗА "= — (4к) с) У'. (82.5) Очевидно, что уравнения (82.5) являются ковариантной за- писью трехмерных уравнений (41.8) для потенциалов электромаг- нитного поля: Нср= — 4кр, Г1А= — (4к/с)1.
Задача 82Л. Г(оказать, что заназдывающее решение уравнений (82.5) может быть представлено в форме, ковариантной относительно ортохронных нреобразований Лоренца: А»(х)=-"Е(хь- ')8(( -х )з)7 (. )Ва, с3 или в эквивалентной форме Конвея Герглотца: А "(х)= — ~ с(й', ~' Г зш(х') ис~ (х — х']з с (82.6) (82.7) 26( где контьер С в комплексной п,юскости х' изображен на рис. 82.!. Задача 82.2.
Найти ковариантное представление для потенциалов Льенара — Вихерта. Задача 82.3. Дать ковариантную цюрмулировку метода векторов Герца. Задача 82.4. Показать, что из (82.1) вытекаюп представление 1 Л„(х)=д„Ф(х)4) хЬРВ„(хх)Хдх. ь ай «~в Рис. 82.1 8 83. кОВАРиАнтнАя зАпись УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ р'"*= — с(1УР, 1""'=сгогМ+дР)д1.
(83.1) Вводя 4-вектор плотности связанного тока у',и,„,=(ср""*,1""*) и антисимметрич(1ый пзензор поляризации — намагничения о и", заданный матрицей 11 Р2 РЗ 0 — Мз М2 М 0 — М, М2 М1 0 0 — Р 1 — Р, — Рз ~их (83.2) уравнения (83.1) можно переписать в явно ковариантной форме: у'„„=сд„5и". (83.3) Задача 83.1. Показать, что диэлектрик с поляризованностью Р, движущийся со скоростью ч, приобретает намагниченност~ М=(Рч))с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
