Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Чтобы лучше понять причину этого, полезно сначала ознакомиться с двумя распространенными точками зрения на преобразования Лоренца. Пусть некоторый объект б описывается набором физических величин Х=1А, В, С,,1, являющихся компонентами некоторых 4-тензоров. При преобразовании Лоренца набор Х перейдет в новый набор Х'=~А', В', С', ...7, являющийся некоторой функцией старого. Возникающие при этом отношения между наборами Х, Х' и объектом б1 могут рассматриваться с двух различных точек зрения, отождествление которых приводит к принципу относительности*. !. Пассивнал точки зрения, или точка зрения двух наблюдателей, рассматривает наборы Х и Х' как соответствующие одному и тому же объекту ба, описываемому двумя разными наблюдателями в своих системах отсчета 2.
и 2.'. Таким образом, получается соответствие с9 ,Х-+2, ' Х'-+2.' 2. Активная точки зрения, или точка зрения одного наблюдателя, рассматривает наборы Х и Х' как соответствующие двум тождественны.ч объектам ер и с9', находящимся в различных состояниях и описываемым в одной системе отсчета 2,. В этом случае имеем соответствие е х Г- Х''~ В первом подходе преобразования Лоренца, связывающие наборы Х и Х', осуществляют лишь «перевод» физических величин с языка наблюдателя в 2, на язык наблюдателя в 2.'. При этом уравнения для Х также должны «переводиться» с одного языка на другой и форма их при этом может существенно меняться.
Лишь с принятием принципа относительности, который в данном случае является дополнительным постулатом, из всех возможных уравнений отбираются те, форма которых при преобразованиях Лоренца остается неизменной. Во втором же подходе вследствие тождественности объектов С и 19' наборы Х и Х' должны соответствовать разным решениям одних и тех же уравнений. Таким образом, активная точка 284 * Вагктапп К Ке!айейу — Кее1ева от Модегп Рвуйеъ 1957, ъ 29, р. 161. зрения предполагает, что преобразования Лоренца образуют группу ицвириицтпости исходных уравнений, т.
е. переводят одно их возможное решение в некоторое другое возможное же решение. Преобразования с такими свойствами были хорошо известны в физике еще до создания теории относительности. Классическим их примером являются канонические преобразования в механике, переводящие один возможный набор канонических переменных Х=(д, р; г, Н), подчиняющихся уравнениям Гамильтона с гамильтонианом Н= Н(0 д, р), в другой возможный набор канонических переменных Х'=(д', р'; 1', Н'), также подчиняющихся уравнениям Гамильтона, но с новым гамильтонианом Н'= Н'(г', д', р').
Можно сказать, что с активной точки зрения, одним из ярких представителей которой был Лоренц, преобразования Лоренца рассматриваются как особого рода канонические преобразования, выделенные из всех других своей универсальностью. Так как при активном преобразовании Лоренца система отсчета остается неизменной и физический смысл придается лишь непреобразованным координатам н времени, то становится понятной ошибочность широко распространенного мнения о том, что активная точка зрения содержит в себе принцип относительности Эйнштейна.
На самом же деле последний предполагает единство активной и пассивной точек зрения, когда преобразованным пространственно-временным координатам придается такой же физический смысл, как и непреобразованным. Вернемся теперь к электромагнитной теории массы, ограничившись статической моделью электрона и приняв, что при вычислении 4-импульса (90.1) выбирается фиксированная гиперплоскость оо, ортогональная оси Хо.
Очевидно, такой выбор соответствует активной точке зрения на преобразования Лоренца, когда система отсчета остается неизменной, а преобразуются лишь полевые величины, т. е. О"". Покажем, что так определенные компоненты 4-импульса (90.9) а, не образуют 4-вектор*. В самом деле, если считать, что 4-импульс (90.9) соответствует движущемуся электрону, то для неподвижного электрона Р(г1= — О'о (г) г) )г, от ' Во избежание недоразумений следует отметить, что при пассивных преобразованиях Лоренца 4-импульс 91а всегда ведез себя как 4-вектор по определению входящих в него Вм и бо„как компонент соответствующих 4-тензоров. Смг Широков Ю, М.
Релятивистская теория системы частиц.— Кандидатская диссертация. МГУ, Г951, Гл. 111. 285 (90.11) 286 или после переобозначения переменных интегрирования (г-+г') Р',г! — — — "О'" (г') д )" = — — О'""(х') до'„. (90.10) с~ с~ о Напомним, что о„— гиперплоскость, ортогональная оси Х'о. Отсюда, используя тензорный закон преобразования Ош' и до'„ через О"В и с1о„, находим Р4=1 А'О" (х)до„, О где Л вЂ” матрица Лоренца, а гиперплоскость о связана с сто преобразованием Лоренца.
Сравнивая (90.11) с (90.9), убеждаемся, что правильный закон преобразования У',си!= АиУ,"„ получается лишь в случае, когда (Ои"дои= ) Ои"дои. (90.12) в о Анализируя это соотношение в рамках статической модели электрона, немецкий физик М. Лауэ пришел к утверждению, ставшему известным как теорема Лауэ, которую можно сфор- мулировать следующим образом. Длл того чтобы электРо.
магнитный 4-импУльс Я!и!), вычисленный для статической .модели электрона по формуле (90.9), преоб- разовывался как 4-вектор при акпэивных преобразованиях Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы в собственной системе отсчета электрона выполнялись условия (Оьд) =0. (90.13) Задача 904. Доки!ишь теорел!у Лоуэ, ояириясь но соотношения (90.2) и (90.)2). Однако из сузцествования нулевого следа у тензора энергии— импульса электромагнитного поля з О„"=О!+03= — ~ Он+и=О ь=! вытекает, что в любой электромагнитной модели электрона з ',! ) Оис))'=) и с))'>О, ! т.
е. условия теоремы Лауэ не выполнены. Поэтому компоненты электромагнитного 4-импульса У!ип, вычисленные для движущегося электрона, не удовлетворяют правильному релятивистскому соот- ношению (89.23). Задача 90.2. Вычислить У1ь! в моделях электрона Лбригимо и Лоренца. Убедиться в нарушении соотношения (89.23). Итак, мы убедились, что электромагнитная теория массы без введения сдерживающих сил противоречива.
Впервые в рамках статической модели электрона сдерживающие силы были введены А. Пуанкаре, который, по аналогии с гидродинамикой, предложил записывать их в виде Х;„,= — д„ОГ. (90.14) При этом в собственной системе отсчета электрона О 8" = йа8 (О, р, р, р~, (90.15) где р — д'авление Пуанкаре. Таким образом, в собственной сис~еме сдерживающая сила равна ('„, = — Чр и условие равновесия имеет вид рК вЂ” Чр=о. (90.16) Переписав (90.16) в произвольной системе отсчета как г"'= — 7"„,, получаем дифференциальный закон сохранения энергии импульса д (О""+Ой")= — д то"=0. (90. 17) Таким образом, полный тензор энергии-импульса Т = О + Ор удовлетворяет условиям теоремы Беккера, что позволяет записать полный 4-импульс в виде (90.19) 287 ;,ло у() + аэо 1 ~ (Ооо+Ооо)л )г (90.18) с~ Вычисляя его в собственной системе электрона, где Р = О, находим собственную энергию Ео электрона, которая вследствие (90.15) оказывается совпадающей с электростатической энергией: Тоод) Ооол 1г ~ ~Ег 1Р 8к ) Представляя электрон в виде шарика радиуса а, заряженного по поверхности зарядом е, имеем Ео — — е' ((2а), (90.20) что позволяет вычислить собственную массу электрона: .Я = Ео(с' = е'/(2ас').
(90.21) Обратно: задавшись собственной массой М, с помощью (90.21) можно получить характерный размер г =ег/(Мог) 2 8 10 'з см (90.22) условно называемый электромагнитным радиусом электрона. Очевидно, в произвольной системе отсчета, в которой электрон имеет 4-скорость Г, в соответствии с (90.!8) и (90.21) полный 4-импульс электрона может быть записан в виде У=Ую+3' = МП=е~(7((2ас~). (90.28) При этом помимо электромагнитного 4-импульса рс<о существенный вклад в Р дает 4-импульс Ур, обусловленный давлением Пуанкаре. В соответствии с вышесказанным каждый из этих 4-импульсов порознь не является 4-вектором относительно активных преобразований Лоренца — таковым является лишь полный 4-импульс.
Что же касается собственной массы электрона (90.21), то в схеме Пуанкаре она является чисто электромагнитной. 4 9Е зАЕОны сОхРАнения энеРГии И ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ В предыдущих параграфах мы получили законы сохранения энергии и импульса для системы зарядов, взаимодействующих посредством электромагнитного поля. Рассмотрим теперь произвольную совокупность частиц, взаимодействующих посредством некоторой системы полей, которой, по аналогии с электромагнитным случаем, припишем тензор энергии — -импульса О<о такой, что плотность 4-силы г'", действующей ца частицы со стороны полей, оказывается равной ) '= — дрО<Р<ь (91.1) Если, с другой стороны, по аналогии с (90.14), эту плотность 4-силы представить в виде дивергенции некоторого «материального» тензора Оа<„ь то для полного тензора Т = О,о+ О< ь очевидно, справедливо равенство о"„У Р'= О.
(91.2) В таком случае выполняются условия теоремы Беккера, что позволяет записать сохраняющийся полный 4-импульс в виде йр'=-р~т <11'=-)~(О<<",+О,",)<1)с. с ~ с~ Обычно в полном 4-импульсе выделяют 4-импульсы отдельных материальных частиц <Р<„> и 4-импульс полей се<о, полагая ~=,' ~~рч+~<п (91.4) и или в компонентах: Е= 2 Е„+Е„ (91.5) л Р=~Р +Ро (91.6) и где ń— энергия л-й частицы; Є— ее трехмерный импульс; Е, и Р,— соответственно энергия и трехмерный импульс полей, переносящих взаимодействие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
