Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Что же касается второй группы уравнений Максвелла (79.4), то она, как известно, эквивалентна соотношению Е„к — — д. Ав — да А,. й 95. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА Формула Адамара позволает получить не только уравнения поля, но и явный вид всех сохраняющихся в силу этих уравнений величин. При этом выясняется, что каждый закон сохранения оказывается тесно связанным с инвариантностью действия относительно некоторого преобразования координат или полевых функций. Чтобы установить эту связь, рассмотрим А' различных бесконечно малых преобразований нида Ьсмх„=Х'„'(х)Ь)ч, Ьсми,=(7(н(х)Ь)ч (г=!, 2, ..., У), (95.1) где Х'„о и (то' — некоторые функции координат, ЬХ„-- постоянные бесконечно малые параметры. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема Нетер. Если действие Е инвариинтно относительно )т' бесконечно махах преобразований (95.!), то существует д) сохраняющихся в силу уравнений поля величин А(о)=- )( с. к;(7' — т Х'„' б („=1 2 А!) (952) 1('с " с~(х, Это и есть лаграноеева форма уравнений ноля. Очевидно, что с учетом уравнений (94.15) формула (94.14) упрощается и вариапия действия ЬЕ оказывается зависящей лишь от вариаций поля и координат на граничной гиперповерхности и: 1Г(" ЬЕ= — ~( ~ яьби„— ть" Ьх„йок (94. ! 7) Применим теперь изложенный формализм к электромагнитному полю.
В этом случае роль полевых функций будут играть 4-потенциалы А", а в качестве лагранжевой плотности можно использовать инвариант ! 1 У= — — У вр, — — /' Аь. (94.18) 1бк 'в с" Чтобы убедиться в том, что прелложенная лагранжева плотность является правильной, вычислим сначала обобщенный полевой импульс к",. Учитывая, что Р. =д.Аь — двА., находим не зависящих в случае островной системы от выбора пространственноподобной гиперповерхности и. Доказательство теоремы основано на использовании формулы Адамара. Из инвариантности действия относительно преобразований (95.1) следует, что Ь" Я=О.
Поэтому при подстановке (95.1) в (94.17) находим Рис. 95.1 Ь"Х=Я.,-~ ~ я,'(Г," — т'"Х' д „=О. 1 Г сд (95.3) Для островной системы в случае 4-объема П, ограниченного двумя пространственноподобными гиперповерхностями о, и о,, из (95.3) следует равенство у, [о, 1 =.р„[ог 1 (95.4) Х'„ы=Ь„', (7',м=о. (95.6) Подстановка (95.6) в (95.5) приводит к дифференциальному закону сохранения д„т""=о, (95,7) что соответствует интегральной сохраняющейся величине 1Г У'= — ~ т""до . с~ и (95.8) В конце этого параграфа на примере электромагнитного поля мы убедимся, что 4-вектор (95.8) является 4-импульсом системы. Рассмотрим теперь преобразование бесконечно малого четырехмерного по- ворота Ьх„= Ь)гт х", (95.9) где Ь).т †бесконеч малый «уголп поворота в плоскости Х", Х".
Очевидно, что индекс г в (95.1) соответствует в этом случае двойному индексу (рч)мг. Таким образом, ЬХа †-обычный угол трехмерного поворота, а — сЬХ„,= о,— относительная скорость лвух систем отсчета, задающая некоторое бесконечно малое преобразование Лоренца. 299 полностью доказывающее теорему. Поскольку пространственноподобная гиперповерхность и в (95.2) совершенно произвольна, ее можно немного Леформировать в окрестности некоторой точки х (рис.
95.1) и записать равенство (954), выбрав п,=п, аз=о+бес У„[о Ч- Ьа1 — У, [о) = О. Отсюда, пользуясь формулой (74.13), нетрудно вывести соответствующие дифферендиальные законы сохранения: д,() н,ио — т "Х«' =О. (95.5) В качестве иллюстрации теоремы Истер рассмотрим преобразования сдвига и поворота в четырехмерном пространстве, предполагая, что действие Х инвариантно относительно этих преобразований. В случае бесконечно малого сдвига на постоянный вектор ЬХ имеем Ьв'х„=б«ЬХм Ьи,=о, Задача 95.1.
Показать, что 8)т„= — 8)э«, воспользовиншигь иззварианзпиозтью интервала относительно прсобразованийз (95.9). С учетом аитисимметрии Ьйт представим наше преобразование координат и полей в виде Ьх =1,'281 Х',""'; би,=1(2П(«юЬХ где Х',"о=8,"х' — Ь,"х"; (7'„«о= — (7';«' - некоторая функция, определяемая теизорными свойствами полей ис Тогда соответствующий дифференциальный закон сохранения (95.5) имеет вид а М"""=О, з где введены обозначения Мзютх" Т вЂ” х Т~«Ч-8««", (95.11) (о«Р 2) В" = Т я," (7(«" = -Вм». =1 Сохраитощаяся величина, очевидно, имев~ вид (95.13) ~« "Мз«бп„ с~ (95.14) О""= Т«" +д, Х'"", (95.16) симметричного и удовлетворяющего дифференциальному закону сохраиеиия с„О""=О, (95.17) сели Х'""= — Х""". Именно: оказывается справедливой следующая теорема. Теорема Белиифаите*.
Тснзор (95.16) удав.затворяет дифференциальному закону со:граненая (95.17) и снммстричюн соли Хм-=(В'««-В "-В ы))2. (95.18) Для доказательства убежлаемся, что Х'""= — Х""', поскольку В*«"= — Вы" [см. (95.13)). Поэтому (95.17) является слецствием (95.7): д„О "' = д„Т"" = О. Далее, с помощью (95.!5) теизор О можно привести к виду О""=(Т"'-1- Т"") 2 — д,(В"~«+ В«м)/2, (95.19) откуда очевидна его симметричность. Теорема доказаиа. Из теоремы Белиифаите с учетом результата задачи 89.2 следуег, чго сохраияющийся 4-вектор вр может оьпь записав в виде ' Вс)(п)йпгс Е з. Оп Гбе вр(п апйц)аг щощепгшп оГ щезопв--рбув)са, !939, т.
6, р. 887; КовепреМ Е. 8пг !епзепг (щри1з(оп — епегй)е — Мепю(гез де ГАсаб. Коу. Ве18.. 1940, г. 18, Гаке. 6, п !536. 300 Физический смысл ее мы выясним на примере электромагнитного поля в конце параграфа. Заметим теперь, что канонический теизор энергии импульса Т. вообще говоря, ие является симметричным, т. е, Т«" + Т«. Поэтому подстановка (95.12) в (95.П) с учетом (95.7) дает д Вь« 7 « Т« (95.15) Оказывается, что равенство (95.15) можно использовать для построения нового зепзора (95.20) Покажем, что и АУ"" также может быть выражено через тензор О. Для этого образуем новый тензор М'"" ы х" О'" — х" О"", (95.21) ко~орый вследствие (95.17) и свойства симметрии 61"" = О"" удовлетворяет дифференциальному закону сохранения д,Мг""=О.
Подставляя (95.16) в (95.21), имеем Мг""=х" Тм — х" Тг" ах "д,Х'и — х" д,Х™=х" Т'" — х" Тщ+ Но (см. (95.18)] Х""" — Х"'"=5'"', поэтому М"""=М'"' — д,К""", (95.23) тле 7(щ — хЯХг 1, Хзх г(гЯ (95.24) Бла~ одари антисимме ~ рни тензора (95,24) можно использовать результат задачи 89.2 и с учетом (95.! 1) и (95.22) получить — М'""бп =- М'"'бп с~ — о с~ (95.25) 6А,= 6)»„А "=82м(8," А" — 6," А" )/2. Сравнением (95.27) с (95.10) находим (7<я ) — 68,! 8 ~Я (9527) (95,28) Поэтому, согласно (95.13).
8""'=к,' (7™н=(гмА" — Т'"А"))(4и), (95.29) что позволяет найти гентор Белинфанте (95.18): Х'"'= — Г'"А 7(4к). Теперь уже нетрудно с помощью (95.16) и уравнений поля дьем'"=0 вычислить симметричный тензор энергии — импульса О: Е"" = — — р"' р'8„— -(Га р„) 8"", (95.3!) очевидно, совпадающий с (89.8), Таким образом, 4-вектор (95.20) совпадает с 4-импульсом,9'ы! электромагнитного поля.
(95.30) 30! Итак, с помощью симметричного тензора энергии импульса О можно вычислять сохраняющиеся величины дэ' и эУ"". Чтобы выяснить их физический смысл, рассмотрим конкретный пример свободного электромагнитного поля (/» =0). Прежде всего на основании (94.19) и (94.13) вычислим Т"": 1 1 ТЯ Рмд,! ! (Р Р х )8Я (95.26) 4к ' 16л Так как Т""и Т"", то необходимо строить симметричный тензор О. Замечая, что А является 4-вектором, найдем вариацию ЬАр при преобразовании (95.9) по аналогии с бх"; Рассмотрим сохраняющийся антиснмметричный тензор лУо"= — лУ "о. Для выяснения его физического смысла вычислим сначала его пространственные компоненты , ~ и М о а б К с~ (95.32) Замечая, что аа,М~"'1(2с)= [гй]о где й-.плотность импульса электромагнитного поля.
имеем 1 .Я;— м — ецгмвз= [гй],б)г, 2 '" (95.33) т. е. М вектор момента импульса электромагнитного поля. Что касается й ~', то, вводя радиус-вектор центра масс электромагнитного поля Г й'= х'Ооой(' сцв (95.34) й 96. ТАХИОНЫ Как отмечалось в 4 бо, гипотеза о существовании частиц. лвижущихся со сверхсветовой скоростью, физически приемлема и не противоречит теореме Эйнштейна о предельности скорости сигнализации, если отказаться от одного привычного представления. Имеется в виду представление о возможности создания эмиттера, испускающего сверхсветовую частицу в заранее обусловленный момент времени из заданной пространственной области, и абсорбера (детектора), регистрирующего поглощение такой частицы в опрелсленной пространственной области.
Иначе говоря, сверхсветовые частицы физически допустимы как точечные объекты, удовлетворяющие принципу перекяюччвни, согласно которому абсорбер становится эмнттсром. а эмиттер — абсорбером при переходе к системе отсчета, в которой изменяется последовательность момента поглощения и испускания в пространственно разобщенных точках. На возможность существования сверхсветовых частиц было обращено вниманиео в 1960 г. Впоследствии (!967 г.) американским физиком Дж. Фейнбергом эти частицы были названы тахианами. Соответственно обычные, досветовые, о Смл Терлецкий Я.
П. Принцип причинности и второе начало термодинамнкиЛДокл. АН СССР, !960. Т. 133. С. 329. 302 с учетом (95.20) получаем 1Г -Уво'=- (хоОо х Ооо)б(г=хойм — Яг йо (95.35) Дифференцируя (95.35) по времени, находим дйлйв=обо'7'томи', (95. 36) т. е. сохранение величин вуо' выражает не что иное, как закон равномерного поступательного движения центра масс электромагнитного поля. Сохраняющийся антисимметричный тензор лУ обычно называют релятивистским тензорам мо.иента импульса полевой системы, а соответствующий тензор третьего ранга М'"' — релятивистским тензорам плотности момента импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
