Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Указание: выбрат~ в качестве обьема (г бесконечно мю<ый цилиндр. Задача 15. Вывести из теорем Стокса тождества: 310 го<Огас(<рмО, (2П.9) ейз гог ам О. (2П.10) Вектор е, удовлетворяющий условию гоге=О, называется потенциальным или безвихревым. Как следует из (2П.9), в этом случае е= — ЧЧ, где а<в произвольный скаляр (скалярный потенциал). Вектор Ь, удовлетворяющий условию й(чЬ=О, называется соленоидальным.
В этом случае Ь=гог а, гле а — произвольный вектор (векторный потенциал). Задача 1б. Убедиться, что для уравнений Ч<р=е(х), гога=Ь(х), о<чй=у(х), где е(х), Ь(х) и ф(х) суть заданные функции, наиболее общими решеничми являются соответственно! ! ! ! Ч = 1! г е (Л т ) дЛ т сопя!, а = !! Л г!Ь(Лх ) го )дЛ -Ь Чф, й = г 1! Л ! г (Лх ) дЛ + го! с о о о при произвольных ф(х) и с(х). Найти условия на векторы е(х) и Ь(х), при кпторых эти решения существуют.
Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа ош(ЧЧ), Его особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным) оператором как в применении к скалярной, так и к векторной функции. В применении к скаляру Ч(х) он определяется так: ййш Й!ч йгад !р. (2П..1!) Используя определения сйо и йгад в произвольных координатах, имеем Лрц8 изд,.(йизд р). С другой стороны, дьц=еыд'Ч, откуда д!!р= ~ 8;!'д„и =Вид„цч ь=! где да — контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые условием д"8!!=8!. Итак, ДЧ=8-"*со!(й'!'лад!9). (2П.12) Задача 17. Записать оЧ в декартовых, цилш!дрических и сферических кпординотах. В применении к вектору а оператор о определяется следующим образом; зуа ш 8 гад д! ч а — го! го! а.
(2П.! 3) Задача 18. Показать, что в декартовых координатах (д!а) =Да,шдзчйгадан т. е. (2П.!3) согласуется с (2П.11). Найти физические компоненть! вектора йа в цилиндрических и сферических координатах. Задача 19. Используя разложение скалярной функции зр в ряд Тейлора 1 Чз(г+Ч)= 2 —,(дЧ)"Ч(г), =оп! доказать справедливость следующего представления для з)Ч! !О !Лю(г)=!ип — зо.Ч(г), (2П.14) -о а' где з).Ч среднее уклонение функции <р в обьеме шара радиуса а с центром в точке г, т. е.
Г Д.Ч(г)ш з~ !Ч(г+Ч)-Ч(г)ЗОБО В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями. Функция !р называется гармонической в области )г, если внутри нее она уловлетворяет уравнению Лапласа йЧ=О. Важным свойством гармонической в области Р функции является то, что она принимает свои наименыпее и наибольшее значения на границе области И (принцип максимума).
3!1 Задача 20. Доказать приииип .иаксилгулга, пользуясь (2П.14). Обратим внимание на важное свойство сферических средних, часто используемое при решении уравнений содержащих оператор Лапласа. Сферическим средкии некоторой функции гр(г) называется величина 1 (гр(г)).= — ~ гр(г+аЧ)65о (2П.! 5) Л ( гр ), = — — (а ( гр ), ). а да (2П.! 6) Замечая, что гр(г)=йш(гр(г))„выводим из (2П.16) еще одно интересное л ь представление для оператора Лапласа: 1 дз Агр (г) = !нп — —, (а ( Чз (г) ), !.
, сада' $ представляющая собой среднее значение функции гр(г) на сфере радиуса а с центром в точке г Задача 21. Показать, чта РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 1.!. Следует учесть, что вблизи электродов диссоциация молекул илет более интенсивно, чем рекомбинация ионов. Пусть сила тока ионов, рождающихся у катода, равна 1„' =1„, а у анода 1; =1, . На катоде нейтрализуются рожденные положительные ионы !„"и приходящие от анода 1,+, т. е.
сила катодного тока равна 1„++1~ =!. Аналогично, на аноде 1, +1„=1, и через сечение АВ течет ток 1, +1, =1, +1„=1 1.2. Приравнивая нулю силу, действующую со стороны равномерно зарюкенной сферы радиуса г на заряд в точке А(го<о), имеем я! ! — — х — Ох=О, — 1 где В=(гоо+г~ — 2гт х)нз, х=соаЗ. ПеРеходЯ к пеРеменной интегРиРованна В, сводим уравнение к следующему: 'о'о — — Ф(В)Ой=О, д Г В дго ~ гго 'о где Ф'(В)=1(В). Решение этого уравнения дает Ф(В)=а+Ь(В, где а, Ь— постоянные интегрирования. Таким образом, !(В)= — Ь/Вз, и при всякой дру~ой зависимости щар в опыте Кавендиша оставался бы заряженным.
1.3. В полярных координатах (рис, !) уравнение линий напряженности имеет вид (г, +г, ') !! — (гз — г,) ]=сопя!, где г, л -— (!')4 ь го ~ г!сов 3) и'! влади от заРЯдов р г 'а!пзЭ=сопа!. 1.4. По закону Био Савара Лапласа, в точке Р контура б'м охватывающего проводник С, с током, индукцня магнитного поля равна где г=г,— г,, тз — единичный касательный вектор к С,.
После скалярного умножения на постоянный Рис, 1 3!3 вектор а это выражение с учетом. теоремы Стокса принимает вид ГГ (а В) =- ~ (и го!, 1гга) г " ' ) 45„ с~ где гФО, т. е. Р не лежит иа поверхности 5, натянутой на С . Из (2П.4г) выводим го!э(га)г э= — (аЧ)гг э, так что Рис. 2 ! (аВ)= — -(аЧ) (пг)г эо5,. с Отсюда, вводя элемент телесного угла г!П=о5,(пг)г ', получаем (!.!2). Учитывая неоднозначность функции П(г), изменяющейся на 4к при обхоле С„ приходим к закону Ампера: 1 Г 4к (Вб!г)= — ~(Ч,П41,)= — й с, с, 1.5. Приравнивая нулю индукцию магнитного поля вне бесконечного прямого цилиндра радиуса Я, приходим к уравнению д ) гФ(г) — г!а („г „х)г эг!г=О, о где Ф'(г)=Цг), и=(Аз+а'+2Яаз!пц)п', а>Я (рис.
2). Решением этого уравнения является гФ(г)=л=сопа, т. е. ((г)= — бгй 1.7. Если проводящий контур является четко определенным и топологически неизменным, то эквивалентность формулировок Максвелла и Фарадея следует из того, что при всяком изменении магнитного потока, связанного с контуром, линии индукции пересекают его. В противном случае верна лишь фарадеевская формулировка. Так, в опыте Фарадея (см. рис. !.!!! контур не является четко определенным, так как неизвестно, по какому пути следуют электроны внутри диска.
Если же связать магнитный поток Ф с воображаемым контуром ОА60, то дФ/г!Г=О, но э. д. с. индукции 8~0, так как диск пересекает линии индукции, т. е. ОФПСО. В опыте же с тороидом контур С гальванометра не является топологически неизменным, так как к нему прирастает петля челнока 27. Поэтому, хотя дФ/дг~О, все же 4'=О, так как контур С не пересекает линий индукции. 1йй Если бы правило Ленца было неверным, то ток индукции был бы направлен так, что, взаимолействуя с магнитным полем, обеспечил бы дальнейший свой рост, а значит, и неограниченный рост связанной с ним энергии в противоречии с законом ее сохранения. 1.11. Приравняем работу А, совершаемую магнитным полем тока 1 над магнитным зарядом гл при его медленном обносе вокруг тока, и работу А' возникающей при этом э. д.
с. индукции: 3!4 1 4ясп (асс-~'=)с~ с =-ч- с г с а где Ф=4ялс -- магнитный поток полюса лг. 2.1. Положить в (2.7) )=рбг!'Ьг. д ~ 2.2. р= Рбуг, лс= — — ~ [гР3'б'г'-'г МЬЕ 2с дс~ ЗЛ. В сферических коорлинатах из (3,7) выводим: Ь(г)=(2яг ) 'Ь(г)= — (2яг) 'б'(г); б( — а)=б( — а)б(0 — 0,)б( — а,)/(ггз1п О). ЗЗ.
Заменяя сингулярное выражение гг г на 1пп г[г(г'ч>а)3 ' и замечая, со что йч(гг з)=0 при г~О, преобразуем (3.7) по теореме о среднем и теореме Гаусса — Острогралскогщ — г ) с11 = — ~ 1гп -г — -=ПО). Г Г(г) сг г чс Г(0) Г 65 4я (Хг(г'+а)~ 4я 1,,~г Фа Б, Х4. Е=Е,=О(г — а)1дг ', где 0(х) —.ступенчатая функция Хевисайда, т, е.
0(х>0)=1, 0(х<0)=0. Для нахождения Е(г=а) вычисляем силу ЙЕ действующую на элемент заряда Ьс со стороны всех остальных зарядов, т. е. Е(г=а С=ЬГ~Щ. Но ЬЕ16Д=Š— Е"', где Е=Д/аг напряженность поля вне сферы, Е'м=!11(2и') — напряженность собственного поля элемента заряженной поверхности, совпадающая вблизи этой поверхности с напряженностью поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. 5.1.
Взяв дивергенцию от (5.3), найдем д(йчВ)1суг=О. Поэтому, если (46) верно при г=О, то оно верно всегда. бсй Полагая КмйчŠ— 4яр, из (6.3) находим дК,'гг= — 4я(йч)+йр1'дг)мО с учетом (2.7). Поэтому если К=О при г=О. то КыО. С учетом результата залачи 5.1 убеждаемся, что для отыскания полей Е и В достаточно решить уравнения (5.3) и (6.3), т.
е. система (6.4) непротиворечива. 6.2. В первом случае 1=рч и р, Е, В суть функции от г — чп Поэтому вектор Хж — с ' [чЕ1, согласно (64), удовлетворяет уравнениям гогХ=О, йчХ=с '(чЧ)(чХ) или Х=Чср и Лср=с '(чЧ)'ср. Для ограниченной системы зарядов Х вЂ” 0 при г оэ. Поэтому умножение последнего уравнения на Ч и интегрирование по частим дает Я(Чср) — г '(чЧЧ)'301г=О. Прн ч<с подынтегральное выражение строго положительно, т. е. Чср=ХмО.
Во втором случае для вектора Ч м Е+с ' [чВ1 получаем уравнения йчЧ вЂ” с г(чЧ)(чЧ)=4я[р — с"'(ч))], гогЧ=О. Однако для равномерного движения зарядов необходимо, чтобы в тех точках, тле рпО, было Е=е(Е+с ' [чВ3)=0, или Ч=О, Но тогда в этих точках р=с '(ч1), и всюду йчЧ вЂ” г г(чЧ)(чУ)=0. Тем самым все сводится к первому случанг. 6.3.
Согласно (6.7), в магнитном облаке, движущемся со скоростью и, существует электрическое поле Е=г ' [Ви3. На частицу заряла е, входящую 315 в облако со скоростью гс, действует сила (ег'с) ((ге — и) В), и прирост кинетической энергии по выходе из облака равен дзТ= — (е/с)(и[Вот)). Но е(ге (Вйг])>0 (рис.
3), и поэтому яйла Т= — з)йп(иге). Таким образом, частица будет приобретать энергию, двигаясь навстречу облаку, и терять ее, его нагоняя. Однако первое более вероятно, и в среднем частица ускоряется. Это видно из следующего. Пусть распрелеление облаков по скоростям изотропно и задается функцией Г(и). Тогда число столкновений частицы Рис. 3 с облаками за 1 с пропорционально ((и) ! и — гь !, а среднее значение (пге) пропорционально ггпу(п)(и — те!(иге)г('и(0, 13.2. Умножая (13.10) векторно на г и интегрируя по объему У, занятому источниками (включая среду), находим егд .кг Г„""""~- — 41'=ещ х„гзчб(дУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
