Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Л=4лрНг( ггЬ вЂ” гРа )' 32.3. Согласно результату задачи 29.2, вблизи кочьца А = А. =(2ис) [1п (За/го) — 2], гг г, откуда Е=4ла [[п(8а/го) — 2]. 32.4. Вначале сила тока растет линейно с напряженностью Но поля (рис. 10; участок р( ОА), поскольку Ф=ха'Но — И~с, где В аг Е=4ла [1п(8а)го) — 2]. Но при Н,=Н„напря- 2 женность поля вблизи внешнего обода кольца, где она максимальна, станет равной Н и коль- Р .
9 Рис. цо перейдет в промежуточное состояние. При этом Н„, = [2г)(его) ] + 2Но, т. е. поле складывается из поля тока 2Н(ото) и искаженного ,р лаз,-р внешнего поля 2Но (см. задачу 31.4) — участок АВ. Отсюда Н„= — Н„р 1+ — ] . При 2 ""[, Его) Но > Н [2 кольцо перестает быть сверхпроводящим и наведенный в нем ток отсутствует (участок ВСВ). С убыванием поля, т. е. при Но< Н„р!2, кольцо вновь переходит в промежуточное состояние, когда напряженность поля вблизи внутреннего обода равна Н„,=2Но — 21[(сто! (участок ВВ). В самом леле, если бы при этом кольцо было сверхпроводящим, то магнитный поток через него был бы постоянным: Ф = на'Но — ! Во = па'Н„,)2, откуда ) =(2Но — Н р) па~с)(2Е), н вблизи внутреннего обола Н = 2 Но — 2В(его ) = 2Но — (2Но — Н р) ла']()го).
Оценим разность Н вЂ” Н„, =(ЭН, — Н„,) х х [1 — ла')(Его)]. Положив хна)(4го), имеем ум ха')(Его) =х (1и 32х — 2) ' > >х(1пх41 5) ', так как(п32<3 5. Таким образом, уже прих>3 будету>1 н Н>Нри т. е. достаточно тонкое кольцо не будет сверхпроводящим. 32.5. Так как при внесении магнетика го! (Н' — Н) = О, то Н' — Н =т!у„ и ]В (Н' — Н)ОГ= — ] 20!овд)Р=О. Аналогично получаем ] В'-(Н' — Н)гнг=о, откуда и следует (32.21). Если в область Го с границей Во вносится сверхпроводник, то 'У' 33.1.
Сопоставим точечному магнитному мо- менту щ плотность тоха !=его!(еб(г)). Энергия ! его взаимодействия с магнитным полем Во = го! Ао 8гн !г г равна В'„=- ([Ао) бр=(щВо). Отсюда (см. задачу с~ 23 3) Р = Ч Рг" = (щ т) В, Е = [ха В [. й 34.1. Из уравнений (34В) и (345) находим .7г (рнс.
1!) о, сГйпг =п,с!8п„4ЯЦ =(п[)(ег(ог — с, (о,). Рис. 1! ЗбсЕ Для любого сечения трубхи тока, соединяющей проводники с потенциалами фг и гр,, (п1) г)5=(вг)г) г)5г, где г)5, — элемент поверхности первого проводника. Выбирая п=т=!(), находим Е=В ' 1=Угу(г)(й ' т), где 7(г)=г(5г(г!5(г). Интегрируя Е вдоль линии тока, находим ф г — фг — - ) (Ег!1) =Уг [! (г) (т о т) г)!. г г Суммируя Д по всем линиям тока, связывающим проводники, получим [Лг!5г= — !гг=(фг — грг)Ьгг где Ьгг задаегся (35.6).
Для произвольного набора пРоводников 7г=2„ггг=ф,~ Ь;о+ 2, Ь„) — 2 ЬагР„где Ь,о относитсЯ к линиЯм тока, г ом / гы уходящим в бесконечность. Отсюда и вьщекает представление (35.5). 35.2. Если заданы силы б токов, стекающих с электродов 5ь то при любом изменении распределения токов в проводящей области 1' [Е 0' — 1)г)г'=[фб!т[[' — 1)бр+ ~~фа ()' — 1)45=0.
Поэтому изменение дгкоулевых потерь равно [[(ГЕ') — 0Е)[Л'=) о(Е' — Е)'ОР>0. 34.1. Записывая закон Ома в виде 1=о(Е+с ' [тВ]), где ч=(0, О, — о)— скорость электронов проводимости, находим поле внутри провода в цилиндрических координатах: В=В.=2яг)(с, Е,= — 2ягйо(сг; Вы=у[о,— и вектор Пойнтинга: 5,= — г!'К2о), 5,= — хг'/'о(сг, что соответствует плотности заряда р=(т1))с~, где ,ггяа'о г г !п(г(го) /=!',=!((яаг).
Потенциал вне провода ф=у~ — — 1, что соответствует (, сг о,[!п(а!.о)' повеРхностной плотности заРЯДа Ц= — 7(ха~о(с' — г/о) [4ха!п(а/го)) '-ЬаУо((2ол). 37.1. Противоречия с законом сохранения заряда не возникает, если записать (37.4) в виде — г!Д/г(1=4яоД/смо~(пЕ)г)5 — сила тока сквозь бесконечную сферу. 38.3. В цилиндрических координатах имеем ненулевые компоненты поля: Х=(Е„, Е„В„)=Ее [ ехр ( — !Ф)7(Х)(1 — ),г!)гг)гггт!й) о а г-+ог 322 Рис.
!2 у (в Т) йо = 1 п [В'/(4я)] йо = 1 п [яр] зйП/(4кс ) = О. 43.2. Орбитой электрона будет гипербола (рис. 12) р/г= 1-1-есоз(З-Зо), где е=(1 и-4Е'Ь'(а')'", Р=2Ь'Е]а, а=Хез, Е=лсо ооз/2, !80о= — 2ЕЬ]а. СчитаЯ излУчение слабым, используем интеграл движения гзЗ=Ьоо и запишем потери энергии на излучение в виде 11о 323 где ф — сог — (!'з )з)г~зг '1 — (!((сз — зз)г/з/ -Хlо !(с, Уг), )с=аз(с. оо.~(Хг) — функции Бес- оо селя, а функция у'(Х) определяется нз Х(г=О). 1] ! до с г М))2 — — -~-- — — сЦ+де 39.1.
и = — ~ (Е„' 8х.. з ~= — — Х (- )"'(Е]о)' 39.2. Учитывая, что энергия волнового пакета И'=] сей У есть интеграл движения, и используя теорему Умова — Пойнтинга дсо/дг 9 гйо Я = О, имеем т=йВ(йг= И' с[к(дн7дг)йУ= — И' '[гй(обйУ= И' '[ЯйУ, т. е. центр масс пакета движется с постоянной скоростью т (так как [БОУ интеграл движения). так как [Я] < сен](4к) = 2 о(ер еноо((8х) <(ее' ч-сгн') оо)(8к) = оош то о < оо. Если волновой пакет движется в вакууме как единое целое, то Е=Е(г — и), В=В(г — м), где о<с.
Если о<с, то из теорем Томсона (6.6) н (6.7) выводим: сЕ= [Вт], сВ= [гЕ], т. е. Е(оз — сз)мт(тЕ)=0, нлн ЕмО, что невозможно. Поэтому остается принять, что о=с. Но в таком случае Я=си, (ЕВ)=0, Е=В и плотность импульса З=Б/со=иге/сз, откуда и вытекает (39.15). Заметим, что если пакет движется вдоль оси Е, то напряженность Е(г — сг) поля удовлетворяет уравнению (дз(дхзч-дз/ду')Е=О, т. е. двумерному уравнению Лапласа.
Поэтому если Е(х, у — ° со) =О, то по принципу максимума Е=О. Это означает, что в поперечном направлении пакет не должен быть ограниченным, т. е. Е(х, у со)ИО. Как слелует нз (!6.!2), такое поле должно иметь вид Е(г — сг) (плоская волна). 40.1. Если Е„„= А амплитуда падающей волньц то Е„'=А сов Ф ехр( — 2), Е,'= — Е,'!ЗФ(! — з!и'ао!з!и'а) "', В'=Вг'=лА(з!п'а/з!и'а — 1) '"япФехр( — 1), где 2=/с'г(з!и а/з!и'ао — 1)г'з, Ф=(с'х(з!па/з!пас) -он. Векторные линии Я' = сВ' ( — Е,', О, Е„') Д4л) описываются уравнением 2 =(1 — з!по а„(з!пз а) 1п [ з!и Ф/з!и Ф„[, Ф = сопя!.
Таким образом, энергия периодически [с периодом йх=(к//с')яппо/япсо] втекает в менее плотную среду и вытекает из нее, перемешаясь также вдоль границы раздела. 40.2. Для монохроматических волн металл можно рассматривать как среду с комплексной диэлектрической проницаемостью еяе'-1-!4кп/ы, Поэтому, полагая в (40.!3) и= /а, имеем Я=]( ссе — 1)/( ссе 91)!' или дла п»Я оксо! — с2соЯксг) . Для расчета давления света на зеркало используем (39.20), полагая В= [вЕ] и В"= [в Е" ]= — [вЕ" ]: у=И=(ЕЧЕ")'/(Зк) Ч- (ВЧВ)'((8я)= Ез(1ЧМ)/(4к). 43.1.
Согласно (13.4) и (13.56), импульс, уносимый излучением в одну секунду, с учетом (43.6) равен У Рис. 14 Рис. 13 з, с о 2ет 4е2 | г)9 Л~е'~ ]Г 3 2Р~Ь ЗЕЬ1 о В случае рассеяния на малые углы ЕЬ»а н получается известная фор.аула Бора ЛВ' яИгег((ЗтигсзЬзоо). 44.1. Используя потенциалы Герца, из (44.14) выводим г(з = с ' (пй), А=с 'П вЂ” с ' [пХ], откуда и следует (44.!6). 44.2. В указанном приближении Аж(гу-Ьс .ггтп,)/г, откуда Р,= — (4') 4 — т т 2 Зс 1 + — ([п згг] [п зг' ]и из), где (...) означает усреднение по углам. Умножая (442) 3 на х' и интегрируя по объему, находим гУ=р/с, а после умножения (44.2) на х х" и интегрирования получаем Миг= — [пга]+п О/(2с), где О - — тензор квадруподьного момента системы.
В результате второе слагаемое в мощности т ! г излучения преобразуется к виду — ([пй]гч- — [пО п]гч--(й [пО п])). Но последе' 4сг с нее слагаемое исчезает, так как с учетом симметричности тензора 11 и равенства 3(и,и,) =ба оно сводится к Оит'с„ьяО. При вычислении скаляра Км([пО п]') используем в качестве осей координат главные оси тензора Я, в которых Оа= 'гт ( =Оэбт. Поэтому К=()хм(ири — игигг) =О'(125 — 2„О'] /15, так как !5(иги,')= =! 426п. Отсюда и вьпекает (44.20). 46.1. Для получения Р, и Рь нужно проинтегрировать по сфере выражения (46.15) и (46.17). Из сферического треугольника, натянутого на векторы ч, ч, в (рис. 13), находим созу=созЭсозпЧ-з!пЭз!ппсозгр. Поэтому усреднение по углу зг даст ((пч)')ч=(ч)т(пч)г(от+ [! — 3(вч)г(от] [чу]г(2ог) ', ((пФ)ч=(пч)(чч)!от.
Наконец, после усреднения по Э получаем (46.20) н (46.2!). 46.2. Исследуя на максимум выражение (ЙРгг/ой)ч, полученное в задаче 46.1, приходим к уравнению Хи ().+!) '+Ви/3+тгт)гл — 1=0, где и=1 — (пч)с(о~, ).=[от(ч)т/[чч]~] — Зс')(2о~) — 1(2. Из этого уравнения с учетом того, что при отис (рнс. 13) ).жс!Э~о — 1, ).-Ь! с!Э'а — 2 '(! — от/ст), получается нужный результат.
324 цилиндрические координаты и полагая о=о„хмг — оч, (46,7) к форме у(х)м(г'-',х')о')с' — (х — г+и)'=О. его решения в двух случаях; о<с и о>с. случае корни равны 46.3. Используя приводим уравнение Проанализируем 1. о<с. В этом х~ э=у ((г — о!) '! (о)с)[(г о!) ! г )7 ] )! 7— = (! — о )с ) так как у(г — и)=(о')сг) [г'ч- (г — о!) )>О, то хг>г — ог>х,, и условию запаз- дывания ч<г удовлетворяет лишь хг.
Подстановка этого корня в потенциалы Льенара - Внхерта дает 0(г г) еу[гг ! !г(г — ог)г] — пг. А6 ~рт)с 2 о>с. В этом случае корни равны х,д — — о ((и — ) х(о)е) [(г — и) — г /о ] оы [(о')сг) — 1] "г. Так как у(г — и)>0, то условию запаздывания удовлетворяют оба корня, если 2 '(х,тх,)= — о'(г — и)>г — и, или г<и, Отсюда ф = 2ео [(г — ог) гог — г' ] '"0 (о! — г — г(о), А =(зт)с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
