Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 65
Текст из файла (страница 65)
20), связанныс друг с другом преобразованием Лоренца. С учетом (90.12) имеем ,Р =) У 6Й=) О«6п — ) О" йп =О. и В собственной системе отсчета электрона у"= — д,О'"(г), т. е. !п 'с 1Г ли"= 6Р 6х»/'(г)= — -~(гт)дО»6 И=О. с~ о Предполагая систему островной (так как Е г з, О г " при г-«со), после интегрирования по частям находим У "= — ~ О "6 Р=О, или Оьбр=б, что с! эквивалентно (90.131, так как в собственной системе электрона ) О'~6 Р=сд«(о=О, 333 90.2.
Для электрона, движущегося со скоростью т, имеем: В=с '(чЕ), н=(!Ч-(1запзй)Ез/(Вк); й=(тЕх — Е(чЕ))/(4ксз), где 9 — угол между векторами г — ш и ж Считая электрон поверхностно заряженным эллипсоидом Хевисайда (модель Лоренца) )г — м(=ау '(1 — (1'з1п'О) '", поле Е определяем из (80.7). ИнтегРиРование н и й по обьемУ дает; Ег — — (1Ч-,бз/3) е'у!(2а); Рг — -т2е~у/(Засх). В модели Абрагама напряженность Рис. 21 поля рассчитывается более сложно и сводится к напряженности поля эллипсоида*. 91.1. Порог реакции соответствует минимальной энергии системы, когда в системе центра масс все образовавшиеся частицы неподвижны.
Запишем поэтому сохраняющуюся собственную массу системы до реакции в лабораторной системе, а после реакции — в системе центра масс 1(Е, ч-АУхс')' — Р7с'~ н'= =~.Ф,'с~. Отсюда Г„=Е,— УУ,с =(с /(2Ез)1 ~.Е; '— (4.',Ч-.Ф,)' . 91.2. Из закона сохранения 4-импульса У, ч-Ух=Уз-ЬУх и условий Уз=.й ~сх з выводим У~ч= ГУ~хс'=(У -' Уз — Уз1)= 2 .Е,'с'+2ИУ Уз) — (У Уз) — (УгУз)1, 1=! 91.3. Если Е' собственная масса системы частиц Е ';, то полная энергия системы минимальна, когда частицы .Ф', относительно неподвижны. Тогда .,й"=2, й", и Реакцию можно представить в виле Е,Ч-М, .ЭУзЧ- Ем где Ез=0, .Ех — —.Ф '. Из тождества (91.17) выводим сзЕ,.Ез — Е, Е-'~ сР,Есоз 0 — ЕА1,с' = =(.й'з —.Е',—.Езз)с~12, где 9 угол рассеяния фотона в лабораторной системе.
Отсюда дЕ,/д9=Ез1п9(Р,с)'(ЕЕ, созджср, (А1,с' — Е) 1 ', т. е. минимальное значение Е, соответствует углу 0=0, если ЕЕ,Ч-сР,( й',сз — Е)>0, и углу 9=я, если сР,(м,с' — е) — ее,<0. В обоих случаях созз0=! и (ер,с) =(2ч-е, (е — лудс~~', где 1 м(.гу'з —.зу( —.Фзз)с (2ч-е.Я,с'. корни этого уравнения относительно е, имеют вид (для 1г>0) Е,* = (уу,с'(Е,с* — 2ЕЦ вЂ” ' (7.(.Е,с' — Е) Ч- Е (Х'Ч-.Е,.Е ' (ЗŠ— Эу,с'))"*). Отсюда видно, что если Е,с'>2Е, то Е; >Е, >х/(АУзс~)>0, а если 2Е>Е,с~, то Е, >7)(.Ф,с')>0>Е~. Таким образом, Т~=Е, — Е,сз.
92.1. Рассчитаем силу тяги двигателя в собственной системе звездолета. При подсчете импульса вылетающих фотонов следует иметь в виду, что по свойству параболического отражателя лучи, выходящие из фокуса, при отражении становятся параллельными. Область зеркала разобьем на лве части: 7 где отражаются все фотоны; П- -где отражается половина фотонов (рис. 21), Замечая, что импульс фотона Р,'= Е,с(1 — а'/сэ)" о~, и считая распределение рождающихся фотонов изотропным, в областях 1 и П имеем соответственно: 6Рз~ ВГ'= — 2Р',Мсоз9б ЬР(ПбГ'= — 2 'Р,'Р1(1 — созЗ,-Ь2 'з1п Э,), где 109,=4аЯ/(Я' — 4а ).
Поэтому сила тяги равна * Смс Лоренц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. Л. — М., 1934. С. 329. 334 а (о „о ) 2хг а (1 е~) ~) — н~(ах 9 41 4 эВг))(Вэ+~ э)г йг' Чтобы составить уравнение движения звездолета, заметим, что сила тяги является ннвариантом. Разделим импульс Р звездолета на две части; импульс корпуса Р, и горючего Р„т.
е. Р=Р, +Р,. Рассмотрим два близких момента времени 1 и Г+АЪ выделив долю горючего, сгорающего к моменту времени г+Аг. Тогда из закона сохранения импульса имеем Р'(г)ч-АРуо(г)=Р(гч-йг)ь ч-АР~'(гч-йг), где, очевидно, Р'(г)=лу(г+Аг)13, Р(гч-Аг)=лу(гч-Аг)(11+913). Отсюда получаем уравнение движения гУ(г)й|1/йг= — й(Р~2' — Рн)!йг=р,=р',. Полагая гу(г)=луе — пт, где а=2лу,Ф(1 — е~!с') го, и интегрируя это уравнение с начальным условием и(0)=0, находим: и=с(Х вЂ” 1ЦХ+1), у ш[ Гуе)(ууе — пт))"; нм2Р,)(пс). РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЪ| К ЗАДАЧАМ ПРИЛОЖЕНИЯ 1. В цилиндрических координатах х'=г, х =п, х'=г (рис.
22) имеем: Ь, =е„ Ь,=е„г, Ьэ=е„ла=й|ад[1, г~, 1). В сфеРических кооРдинатах х'=г, х =9, х'=и (рис. 23) имеем; Ь,=е„Ьэ=еаг, Ьз=е„гз|п9, Ка=йад[1, гэ, гэыпэ91. 9. Запишем элемент объема в произвольных координатах: 0р=йх'йх'йх'= г йх'йхэйхз, где У=(д~") — якобиан преобразования. Взяв детерминант от матричного соотношения (!П.14), находим я=)яа)=(д~э(э= Яэ, т. е. й|г=дн'йх'йх'йх Закон преобразования ео„вытекает из инвариантности элемента объема, построенного на трех векторах йх, йу, йк: й Р=(йх [йуйк|) =еийхайуайга=есадь)чд Уэд„Уьйх йу йз" ме, „йх'йу"йх". Таким образом, ч „=дьг"д ~гд„|че'„э=)д„Г')е', „=дн'е',, Аналогично получим е'д=д-1'эе'ш= -1е 10.
В произвольных координатах гога=Ь;(гога)'=левад|ее 11. Выведем (1П.25), исходя из декартовых координат: Шт а = д;'а а = = дг (дх|'а') дх' / дх" = д„а' 4 а'д,д|Уэдх'|дх". Прямым дифференцированием якобиана .г убеждаемся, что г 'д,.г = =д„дэ/"дхг/дх", так что й1ча= г гд„(га"). Рис. 22 Рис. 23 335 13. йч г = 3, го 1 г = О, Ч ( аг) = а, гог [аг] = 2а, ч Ез (г) = = о 'и, йч А (г) = (пА'), го 1 А (г) = [пА ], п = г( г. 14. Запишем соотношение (2П.5а) ллк цилиндра (рис. 24): ( зугр= ~пгрб5= — уп'грдИпе(иер)чз. 2АЛ5,,) М„~ Отсюда после векторного умножения на п„и следует (2П.8а).
Аналогично, (2П.8б) вытекает из (2П 5в): Г 1 ( гога= ~[па]до= — ~[па]йЧ-[пе...] 2ЬЛбе ) ЛЯ Рис. 24 после скалярного умножения на п . Заметим, что если в (2П.8б) положить а=счз, где с — -постоянный вектор, то получается (2П.8а). Поэтому теоремой Стокса обычно называют только соотношение (2П.8б). 16. Условии существования решений: гоге=О, йчЬ=О. 17. В произвольных ортогональных координатах з Л9= 2. ()гзазлз) с.(лгйзйз"' снй).
'=1 19. Л,гр(г)= (ГЧ)з<р(г)д$~ -~-0(а4)=О,!азЛЕз(г)-~-0(а"). 8каз ) г, 28. Допустим, что гармоническая функция Ез принимает максимальное значенце рз в некоторой внутренней точке О. Рассмотрим шар малого радиуса а с центром в этой точке. Среднее уклонение ~р в этом шаре Л,гр=О(а ), в то времх как Ез(а) — хзе = 0(аз). Поэтому внутри шара найдутся как точки, где ез<ези так и точки, гДе Р>де, что пРотивоРечит исходному допущению. ДОПОЛНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА Предметом молекулярной оптики является выявление связи между молекулярной струкпгурой вещества и его оптическими свойствами. Мы рассмотрим электро- и магнитооптику — разделы молекулярной оптики, в которых изучается влияние на оптические свойства вещества внешних электрического и магнитного полей.
Эти разделы находят широкое практическое применение. 1Д. Электрооптика (эффект Керра) Начнем с изучения явления, открытого в 1875 г. английским физиком Дзх. Керро.ч. Суть его состоит в том, что оптически изотропное вещество, будучи помещенным во внешнее электрическое поле, становится оптически анизотропным: оно ведет себя как одноосный кристалл, главная оптическая ось которого совпадает с направлением поля. Это означает, что в таком веществе наблюдается двойное лучепреломление, т.
е. показатель преломления света оказывается зависящим от сго поляризации. Для объяснения этого явления рассмотрим так называемую ячейку Керри, т. е. лиэлектрический образец, помещенный в поле заряженного конденсатора. В дальнейшем будем различать постоянное поле конденсатора с напряженностью Ее=(0, О, Ео) и поле линейно поляризованной световой волны, распространяющейся поперек поля конденсатора.
Обозначим электрическую напряженность поля волны Е = (О, в „е,). Будем считать, что поляризационные свойства отдельных молекул вещества известны. Допустим, что молекула обладает постоянным собственным электрическим дипольным моментом ре и, кроме того, под действием внешнего поля Ее она может приобретать индуцированный дипольный момент йе Ем гдс йе — -симметричный тензор статической поляризуемости молекулы. Йтак, полный дипольный момент молекулы равен [см. (58.1)) р = ре+ йв ' Ее. Чтобы вычислить поляризованность Р вещества, нужно усреднить вектор р по всем возможным ориентациям молекул и умножить среднее на концентрацию )У молекул. Вероятность той или иной ориентации молекулы можно определить, использовав распределение Больцмана (58.5): б И'= Е ' ехр ( — б (1 ) г) о, (1Д.1) где [1=(1гр) '.
Чтобы воспользоваться формулой (!Д.!), вычислим в соответствии с (58.6) энергию 1/ взаимодействия молекулы с электрическим полем Ее: 1 (г= — (Р Е ) — Ее йе Е„. 2 ((Д.2) 337 Ориентацию молекулы относительно системы координат ХУЕ будем задавать с помощью углов Эйлера 8, е, ф, для чего введем систему координат 123, жестко связанную с молекудой, а ее оси направим по главным осям тензора полярнзуемости й„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
