Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пусть н — внешняя нормаль к поверхности зеркала, ч--его скорость. Если в неподвижной системе падающий луч задается волновым 4-вектором )с"=(в[с, яо)е), то отраженный луч описывается 4-вектором Е с компонентами Р=)со 1 — — (пт) (вв) — -(пч) Ч- —,(вт)(пт) о о[ 27 Г 7 7 — 1 с ~ с оз — ~г й=lс в — 2 и-1- —,(ич)» (пв) — -(пч) -3- —,(оч)(нч) о' 77.4. В среде с показателем преломления л(в) волновой 4-вектор )с для света, распространяющегося в направлении а, имеет вид )се= †, а-л(оз) . Если (с с среда движется относительно наблюдателя со скоростью ч и волновой 4-вектор в ее собственной системе есть )с', то в системе наблюдателя й'=7(с" [1 Ч- (чв')луе], й = )с' [в л'+ »7/сЧ- (у — 1) л'(в т) ч/о' ].
Отсюда находим фазовую скорость света в системе наблюдателя при [а'ч]=0 и в линейном приближении по [)=о/с: в ! ч-])л(в') с зс ! в с)л зс оо- — — — — е, — Ч-о 1 — —, + — — ). lс л(в') ь [3 л ( л' л с)в) Полученное выражение для коэффициента увлечения п отвечает условиям опыта Физо и впервые было найдено Г. А, Лоренцем. В общем случае и определяется способом вхождения света в движущуюся среду. Так, в опыте Физо свет сначала попадает в переходный слой неподвижной воды, прилегающий к трубе, т.
е. можно считать, что источник света находится в самой среде. Однако в опытах с твердыми телами свет сразу входит в движущуюся среду. поэтому в собственной системе среды для света вне ее )со=у)с'~-ьу)ся(яч)/с, или со' — в — (вч)в/е. Так что при [я»]=0 и=! — л з+ [(с)л/с)оз)в]/л'. Если же (а'т)=0, то в линейном приближении п=! — л 78.1. В собственной сястеме кругового тока Г"=(О, !'), а в неподвижной системе /"=((ч]')7/с, !'-1- (7 — 1)(т!')»)оз). При вычислении дипольного момента р=] ргс))с кольца с током делаем замену переменных интегрирования г=г'-1-(7 ' — 1)(чг')ч/оз, 08=01"у ' и полагаем ]с))"=Гд('. Простые вычисления дают р=Гс »Б' [чп')=с ' [чт'), где пз' собственный магнитный ъгомент кольца с током. При вычислении магнитного момента учитываем конвекционный ток с плотностью рт, т.
е. в= — ~ [гД+рч)]с)р=щ'+ (7 ' — 1)(чш')ч[о'. 2е ~ 80.1. Согласно (80.6) и (80.7), на элементарный заряд ц действует сила Е=д(ЕЧ-с ' [»В])=ецио, ' [гг — щ+гз(! — ]3')]= — 370, ф=ец(1 — ])з)Д, где =(х — ос)зч- (тзч-гз)(1 — ])з). поверхность 0=сола! является эллипсоидом хевисайда: Р,'=а'(1 — ]3'). 80.2. Если р' — дипольный момент в собственной системе диполя и р,=г! — щ-1-7 'г„то е=у 'с ' [3(г — чс)(ру) — ~'(р',ч-ур',)], В=с ' [те]. 330 81.1. Характеристическое число 2 матрицы Р„" является корнем уравнения !Рз гбь! «ч )г(бг Вг) (ВЕ)г О 81.2. В первом случае В=с ' [гЕ], а во втором Е=с ' [Вг], тле !г!<с. 82.1.
С помошью (4!.!9) запаздываюшее решение уравнений (82.5) запишем в виде А" (х)=4кс '] 6""(х — х')7'"(х')дй'. Но с учетом (3.8) 6""=0(Т)Ь(сгТг— — )(г)сС(2к), откуда н следует (82.6). Контурный интеграл в (82.7) сводится к вычету в полюсе х'е=х" — )(, что приводит к обычному выражению длв запазлываюшнх потенциалов. 82.2. Пользуясь инвариантной трехмерной б-функцией (см. задачу 74.2), плотность 4-тока для точечного заряда е можно записать в виде 7'(х)=е(г" (т)б(х — Ц(с)[о(с)), где с — собственное время частицы, х"=с" (с) — ее мировая линия, п(т) — пространственно-подобная гиперплоскость с нормалью л"=(с "(с, проходяшая через точку 9" (с).
Учитывая, что [см. (748)] с)()'=сбег)п', преобразуем (826) к виду А" (х)=2е]0 [х — «~(т)](г" (с')б [(х — ч(с')) ]Ос', где выполнено интегрирование по дсг'. Но [см. (3.8)] 0 [х' — 9е(с')]Ь [(х — Ц(с'))г]=Ь(с — т') [2(х" — 9" (т)) (7„(т)] ', где с(х)--запаздываюший корень уравнения (х — 9(т))'=О. В результате получаем следуюшее коварнантное представление длв потенциалов Льенара — Вихерта: А "(х) = е(7"(с) [(х" — 9"(с)) (с„(т)] 82.3. Вводя антнсимметричные 4-тензоры Π— П, — П, — П Пг Пг Пз О -гз Е, ŠΠ— Š— Е 2 О О Р -Р, Π— Рг Мз — Рз — Мг Рг — Мз О Мг Рз Мг — М, О запишем уравнения (42.2), (42.4) и (42.6) в виде: 2' = сс„б"", А " = д„Е"", ПУ~ 4к5з 83.1.
Из закона преобразования тензора (83.2) выводим; Р'=7 Р— -[тМ] -с- — г(гР); М =7 М+ — [гР] ч- — т(гМ). ) .г с е 33! Поэтому если в собственной системе среды М'=О, то в неподвижной системе М=с ' [Рт]. То же получается и из уравнений Максвелла — -Лоренца. Так, согласно задаче 63.1, в движушемсв диэлектрике !"""=дР)ссч- (тР) Р— — гб)чР=сР)с)!+го! [Рг]едР/йсч-сгосМ, откуда М=с ' [Рг]. 83.3.
4-векторы 7" и Р'"(с„параллельньс, так как в собственной системе среды они сводятся соответственно к векторам ! и сЕ, связанным законом Ома ]=пЕ. Отсюда н следует (83.!9). 83 4. л„[6""]= — (4кС'с)Г, л„[Г""]=О, где 4-векторы с', л имеют в собственной системе весцества компоненты Р'=(сс), !), л"=(О, п). 84Л. Рассмотрим произвольную частицу с инертной массой лг, энергией Е и импульсом Р. Согласно предположению о распространении взаимодействия со скоростью света, любой акт взаимодействия включает в себя некоторый элементарный процесс с участием частиц, движущихся со скоростью света в=с (рис. !9).
Так как для такого процесса выполняются законы сохранения энергии н инертной массы, то ЙЕЧ-с)с=О; с)лг-ьс)р=О, где е, р и р=рс суть соответственно х' Во айхал ср, сй>л — 1 — ып ыт +(! — созна) 87 2. В данном случае А "=(Хе))г1, 0) и движение явлиется плоским. Запишем уравнение Гамильтона Якоби в полярных координатах г, и: Используя два интеграла движения: энергии д5/дг= — Е=сопз! и момента ~бг зЕ находим Е=Кп — Ег+~ — зг р — М с з-Ь дг ( (сз импульса д5/ да = К= сопз1, е е зз) с' с Для определения траектории электрона положим до/дК=ао=сопз1, т. е. по=а-1-К би —.зузсз-1-2Š— ич-~ — Кз') из ~ сз - - сз [ сз 332 т тз энергия, инертная масса и импульс «световой» частицы. Так как с'=с'=сапог, то (сбс) =0 и из теоремы живых сил имеем бк=(со)р)=собр.
Отсюда 6Е= — бк= — собр= =сзбт, т. е, соотношение эквивалентности и Эйнштейна. Далее, из теоремы живых сил Рис. 19 выводим ОЕ=(ибр)=и'йиЧ-2 'тз)и'=с'йи. Резпение этого дифференциального уравнения имеет вид (84.8), где  — постоянная интегрирования. 84.2.
Рассмотрим элемент о)Е» гиперповерхности У«У„=.гУ «с' в У-пространстве, построенный на 4-векторах АУ', ЙВ', ОЯ'. Так как У«ОУ«=У»бй«=У»бЯ»=0, то з)Е„= — с»„„з)У"бй'ОЯ'мзз1„0Е, где Дз„=У„,'(гУс) 4-векэор нормали к гиперповерхности. Таким образом, времениподобные 4-векторы ОЕ" и У" параюзельны, поэтому отношение их временных компонент есть инвариант. При этом ОЕо/У Г йазь если выбрать о)У" (ОУо ОУз 0 О). 48 (ОВ» 0 ОУз О).
4Я. (ОЯо 0 0 ОУз) Далее, рассмотрим гиперповерхность в х-пространстве с элементоМ ба„= — с«„„бх"о)у бз', построенном на пространственноподобных 4-векторах бх", бу', д" Если выбрать бх'=(О, бхз, О, 0); бу'=(О, О, Охз, 0), 4 *=(О, 0,0, бтз), т. е. считать ба, элементом гиперповерхности с нормалью л„=(1, О, О, 0), то ЙЕ„да»=о)Е»бао=бГ.
85.2. Пусть Е=(0, О, Е); В=(0, О, В), а начальные условия при т=О имеют вил х"=0; У»=(В»)с, р). Вводя обозначения ымеВ/(.Яс); )о=еЕ/(Вс), запишем уравнения Минковского !85.5): х~=Ххз; х'=озх~; х = — гох'; х =) т~, обозначая точкой дифференцирование по т.
Интегрирование с учетом начальных условий дает 1. Если Лез,!(Кс)мр<1, то траектория имеет вил х г=р,[1з-а, сов~/! — р'(и-по)) ', где е,щр ' [1— Ауз»(! з)1Еззох. Р ыКс(! з)! Е Е „„ д Е< .г!с'. то а, < 1 и траектория «эллипсовидна» г' (вращающийся эллипс). Если Е=Мсз, то а,=! и траектория «параболовидна» (инфинитное движение). Если Е»йс~, то с, >1 и траектория «гиперболовидна»: электрон приходит из бесконечности, совершает неско- Рис. 20 лько оборотов вокруг ядра и уходит в бесконечность. 2. Если р> 1, то траектория имеет вид г=р,[аз с!з гГр' — !(и — и») — !) ', где е,мр '[14-Ау«с»(рз — 1)/Е«3пз! Р,жКс(р' — 1)/(рЕ). В этом случае траектория закручивается вокруг начала координат. При Е<Мс' движение финитно (сз>!), а при Е>Мс'--инфинитно (аз<1).
88.2. Согласно <4б.!9), Рг= — (6Е)"'"/6ь, причем в мгновенно сопутствующей сисз еме отсчета Ра = [2ез ((Зс»Ц (6в'/6Р)з. Далее, (6 Е)" =у(6Е)'"'"ау(и6Р'"'") =у(АЕ)'""', так как, согласно задаче 436, 6Р'"'"=О. С учетом равенства 61'=6т=у '6ч. отсюла следует, что Ре=Р„, 89.2.
Используя !89.2П. составим разность 8»=гйй,— ги»о= — ~ (О'" — О»") х х6Р=- д,Х' "6И Но так как Х' "= — Х ", то п=!=1, 2, 3 и по теореме о о с6 Гаусса в Остроградского с учетом островного характера системы имеем г 8"= 1пп — ~цХ'»«68=0. Очевидно, что для островной системы любой тензор „с6 К"' со свойством К" = — Ка удовлетворяет соотношению ) сз«К" 6а„=О, где и†пространственноподобная поверхность. 89.3.
Циклически переставляем индексы; Х'""= — Х""=- — Х" =Х'"'=Х = — Х"'" = — Х'""ыб. 89.4. Пусть А""=2 '(О"" — О""). Если О«=О", то в любой системе отсчета Аажб, что возможно только при условии, что А'"ыО. 90.1. Запишем соотношение (90.2), считая, что электрон движется со скоростью «, и выбирая в качестве поверхностей по а, соответственно гиперплоскости п(х =О) и о«[х"=(гз)/с) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
