Терлецкий Рыбаков Электродинамика (558159), страница 59
Текст из файла (страница 59)
преобразующиеся так же, как бх„т. е. по закону (1П.19). н совпадающие с а" в декартовых координатах, называются ковириантными компонентами вектора а. Задача 2. Показать, что а,=б»а». По аналогии с (!П.!8), квадрат длины вектора а и скалярное произведение двух векторов а и Ь можно определить как азша,а'=8»а'а», (аЬ)та,бс=йаа Ь». (1П.20) Задача 3. Показать, что скалярное произведение двух векторов а и Ь не зависит от выбора системы координит, т. е. является инвариантом.
Инвариантные величины часто называют скаллрами или тензорами нулевого ранга. Задача 4. Покпзать, что величины д,д, где Ч(х) — скалярная функци~ точки являются ковариантными компонентами вектора, обозначаемого ЧЧ» щ йгад Чз (х) (градиент). Здесь Ч (нобла) векторный оператор Гамильтона. Убедиться, что Ч»р=й,д'Ч» и др=(бгЧ»р). Записать Чц» в цилиндрических и сферических координагпих. По определению, ковариантные компоненты Тч ч тенэора ранга и преобразуются как произведения ковариантных компонейт п векторов а!", а!" ..
а!"' и совпадают с Т"' '" в декартовой системе координат. Таким оОразом, в соответствии с (1П.19) Т, ь=дч)чы. д )'ВТ», (1П.21) Аналогично определяются смеьианные компоненты тензора Т, т. е. »и раз ковариантные и и раз контравариантные. Они преобразуются как 306 произведения соответствующих компонент векторов а!и ... а, а!"„ц ... ад и в декартовой системе координат совпадают с Т'ь Задача 5. Показать, что Ть .
=йнь, ...йьь„Т"' Задача 6. Показать, что прьеобразование, обратное (1П.2!), имеет вид дхп дх' дхп~ дт'" (1П.22) Задача 7. Получить закон преобразования смешанных компонент тензора и показать, что Из определения тензора сразу следует, что произведение компонент двух тензоров М и Уз! рангов т и и лает компоненты нового тензора Т ранга т+п При этом, например, Мн,)Ц' " мТ",' Такой способ получения новых тензоров называется внешним иди тензорным умножением. Кроме того, применяется еще и дополнительная операция, называемая сверткой и состоящая в суммировании по некоторым парам индексов разной вариантности.
Внешнее умножение, дополненное сверткой, называется внутренним умножением тензоров. Примером внутреннего умножения является образование скалярного произведения лвух вектор~в. Задача 8. Показать, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности, [аЬ]'же"'а,бь. (1П.23) Задача 9. Убедиться в тензорных свойствах символа Леви — Чивиты ен" и нанпш его выражение в произвол~ной системе коордшшт, исходя из того, что инвариантный элемент обьема может быть записан либо в виде б)с=у'адх'дх'дх', где люде!!!б„))м(ба), либо как элемент обьена, иостРоенпый на трех векторах дх, ду.
дх, т, е. д)г=ачьдх'дуэдть. По аналогии с (1П.23), каждому вектору а можно сопоставить псевдовектор, обозначаемый [Ра]мго!а и называемый ротором или вихрем вектора а. Его контравариантные компоненты образуются по правилу (го!а)'ыан" д,а„. Задача 1О. Убедиться, что фориули (1П.24) определяет компоненты псевдовектора. Записать гог а в цилиндрических и сферических координатах, используя физические компоненты й,а' !без суммирования) вектора а.
307 Чаше всего„приходится иметь дело с тензорами второго ранга Т'", обозначаемыми Т. Внутреннее умножение в таких случаях показывается точкой, а савраска в самом тензоре Т --знаком Бр. Тогда, к примеру, равенства перепищутся следующим образом; а='Г Ь; ф=а Т Ь; Т=М Х; ф=бр(М Х)мМ:Х.
Из тензоров третьего ранга нам понадобится единичный псевдотензор Леви. - Чивиты е"", который полностью антисимметричен, т. е. меняет знак при перестановке любых двух индексов, а в декартовых координатах е""=1. В силуз псевдотензорности при отражениях ео' остается неизменным. С помощью ео можно двум векторам а и Ь сопоставить псевдовектор [аЬ], называемый их векторным произведением Мы ознакомились с двумя дифференциальными операциями векторного анализа —. взятием градиента и ротора. Существует еще и третья операция — — взятие дивергекяии вектора, обозначаемая йч аы(7а) и определяемая следующим образом; йчаыл Пзд;(йпзи').
()П.28) Задача 11. Показать, что йч а лвллетгч гкалярож. Выразить йча в Пилиидричегки» и сферических координатах. В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике понятий ковариантности и инвариантности уравнений. Уравнение принято называть ковариампкььи относительно некоторого преобразования координат, если в результате преобразования оно не меняет своей формы, т. е. левая и правая его части преобразуются одинаково.
Если же еще окажется, что преобразованное уравнение, будучи выраженным в новых координатах, не содержит параметров преобразования, то оно называется иивариаиткыи относительно этого преобразованияв. В этом же смысле используется и понятие инвариантны» тек»оров. Именно: тензор называется инвариантным относительно некоторого преобразования координат. если преобразованный тензор, будучи выраженным в новых координатах, оказывается неизменным, т.
е. не зависящим от параметров преобразования. К примеру, относительный радиус-вектор гз — г двух точек инвариантен относительно сдвига ае 1 ое; ь г'= г+а, а тензоры 81 и еа инвариантны относительно вращений (81' — -81, еш" = во ). 2П. ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА (г=йш — ~пд5. к-в ! (2П.! ) Смысл этой записи состоит в том.
что три основные дифференциальные операции йгад, йч и гог могут быть представлены в следующем виде: )г йгад Р = (гш = !пп — ~ в Ф 0 5, =,,„Р~ (2П.2а) )Г йч а =((Уа) = !пп — ~!(па) 05, я-и ! 5 (2П.2б) го! а = ! ч а ( = !пп — ~ [па ) 05. ,, Р)' (2П.2в) Здесь )г — бесконечно малый объем. содержащий точку г, в которой вычисляются йгад ях й» а, го! а; 5 — замкнутая поверхность, окружающая 05 — ее элемент; п--елиничный вектор внешней нормали к 5; йш означает, з-в что поверхность 5 стягивается к точке г.
Формулы (2П.2) проясняют смысл ' Например, уравнение плоскости (нг)=а только ковариантно, а уравнение сферы г'=аз еще и инвариантно относительно вращения. 308 Для получения практически важных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается полезным следующее интегральное прелставление лля оператора Гамильтона обозначений (Ча) и [Ча]. В связи с представлением (2П.1) оператор Гамильтона Ч часто называется оператором обьемоого дифференцирования. Задача 12.
Убедиться в справедливости представления (2П.2), взяв в каче(тве объема (г ьчар с центром в точке г. Задача 13. Пользуясь (2П.2), вычислить йчг. гогг, йгаб(аг), го1[аг], йгадзр(г). йчА(г). го(А(г), где а — постоянный вектор, гм]г]. В дальнейшем, сели специально не оговорено, мы будем пользоваться декартовыми координатами, в которых оператор Ч выглядит особенно просто: з У=2 е(',.
12П.Э) =( Если объект левствия очеса опэ ч зв*ичсиповаи. о в соотве~ствии с (2гз 21 с ним можно обрашаз ься, как с обычным вектором. В то же время [см. (2П.З)] он является оператором дифференцирования. В частности, в соответствии с правилом б(АВ)=(дА) В+А6В имеем Ч(,(В).-(ЧА)В, АЧЬ, или, помечая объект лействия оператора Ч жирной точкой (.) внизу, условимся писать ч(А В'1= чАВч-чА В.
Вычислим. к примеру, йч[аЬ]: йч [аЬ) м(Ч [аЬ )) =(Ч [аЬ) т (Ч [аЬ)). С каждым слагаемым, помеченным точкой 1), можно работать уже по правилам векторной алгебры, т. е. (Ч [аЬЗ) =(Ь [Ча]) м(Ь го( а), (Ч [аЬ]) = — (а [ЧЬ) ) м — (а гог Ь). В результате находим йч [аЬ1=(Ь го( а) — (ага( Ь). (2П.4а) Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества; йч((ра) =(рйчай(аЧ(р), (2П.46) го( ((ра) = (р го( а+ [Ч(р а], (2П.4в) го1 [аЬ ] = а йч Ь вЂ” Ь й ч а+ (Ь Ч) а — (а Ч ) Ь, (2П.4г) йгад(аЬ) = [а го1 Ь) -Ь [Ь го( а] 1-(ЬЧ) а+(аЧ) Ь, (2П.4д) тле в послслних лвух тождествах использовано обозначение (аЧ)=а(д,. для оператора дифферснццрования вдоль вектора а.
Из представления (2П.2) выведем некоторые полезные интегральные теоремы. Выберем некоторый объем (г, окруженный поверхностью 5, и разобьем его на достаточно большое число А( ячеек. Пусть (-я ячейка имеет объем Л 1;, окруженный поверхностью ЛЯ,. Тогда, по теореме Лагранжаь, внутри Л(г( найдутся такие точки г(", г(", г(", что булут справедливы соотношения Л(гЧЧз(го()= у пц(65, ЛУ(йч а(г[")= у (па)65, ЛУ,гога(г(з')= у [па]дЯ. ьь м, ьз, Произвелем теперь суммирование по всем ячейкам и положим Л(-ьсо.
Тогда в пределе левыс части перейдут в интегралы по объему Р; а правые части — в ь Смл Фихтенгольц Г. й(. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1966, Т. !. [[ 112. 309 интегралы по внешней поверхности 5, поскольку интегрирование по внутренним поверхностям <55, производится лважды с противоположными значениями нормали а. В результате получим следующие интегральные соотношения, являющиеся различными вариантал<и обшей теоремы Остроградского: ) Чцзбр<=упц<05, ) <йч ад(<= у(па) 45, (2П. 5а) (2П.5б) [ гог ад 1'= у [па) 45. (2П.5в) Наиболее часто используемое соотношение (2П.56) известно как теорема Гаусса — Остроградского. Теорему Остроградского можно применять и к компонентам тензора.
Подставим, например, в (2П.5а) вместо <р компоненту тензора Т". Тогда ) д,ТаИ'=уп< Таб5. Свертка по < и 1 дает ( )чтбр=~(п т)45, где б)чТ вектор с компонентами д;Т'". Если в (2П.5а) положить Ч=ио, то получается широко используемая формула интегрирования по частям: ) иЧобр'=) ипод5 — [оридК Отметим, что здесь и и о можно считать произвольными тензорами.
Задача 14. Получить с помощью (2П.5а), (2П.5в) теоремы Стокса: (2П.7) [[ярр) 45=уча<й!, (2П.8а) ) (п гог а) 45= у(та) 01, (2П.8б) з с где 5 - поверхность, натян1 тая на замкнутый контур С; т — единичный вектор, касательный к контуру и направленный по правому винту относительно а (т. е. поверхность 5 являе<пся правоориентированной относителы<о контура С). Вывести (2П.8а) из (2П.8б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
