filtri2 (557473), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Производные от Чупкции будут ь~Р ГГ л / Я > ~у — ЗО Ы (~йули ' — у =ГО +Ж~~Ы ' Р/ ;, Гэ -,гю,); — „-.г4а,. Выбрев сУ = О, ~У = О, молью обвулпть (пРи У? = 0) овму функцию и три ее производные; коэффициент с~~ = 1 взят для того, чтобы фу/ И Итак, функция Фильтрации Гшттерворте имеет вид ~ ~Ы)=У Чем выше порядок фьяьтре п, тем ва большем участке ~~0Р~ "приквта" к нулю (рис. 1.6). АЧХ ФМльтра Гаттервортв цорядкв тг будет / М'ГЮ у уу (1.13) Впц АЧХ Фтльтра Гаттервортв выведен на рис. 1.7.
Еривые косят моыотоиыо спадвьвмй харектер. причем в полобе пропускаыия чем выше п, тем бьмие к горивоптали. Нв гравице полосы кривые опускеются до д~г'( а = 3 дБ), в затем резко падают, особенно при больших га . Кяк видно из (1.13), парэметр ~ в фильтре Баттерворта обычно не вводится. Если требуется ио коей полосе прспусквкия, вплоть до границы, выдеркэвать эатухаиие меньше 3 дБ, то это ввполияется простым перекосом граничной точки, пря этом границей считают ие з) 1,, а некоторую более низкую частоту Ы;, где затухание не цревышает заданной велвчвны а„(илиРГУ')=б'~).
(ом. рис, 1.6 и 1.7): ле/ (1. 14) лм При больших чистотах, геках, чтоУ»~ из (1.14) видна асимптотикз: (К(Я(- — и ' что ооответствует затуханию ц(а)=аобу Р=а0п ф УР. (1.16) В логарифыическом масштабе икэды чвстот это есть линейный запри нарастания (рио. 1.8). Говорят, что затухание растет со оксроотью Юга дБ па декаду (т.е. при увеличении чвототы в 10 раз) или, что то ке самое, со скоростью 6п.
дБ на октаву (т.е. п)и удвоении чвототы). 1.4. Щдру)) Чйбййййй В этих йильтрех в качестве функции бмльтрации используется квадрат полинома Чебышева Т, (ж) степени Ух: б(Ж ~~,е) ер)' Соответственно их АЧХ будет !к(Ю~-~ (1.17) Псаиномы Чебышева — это специальные ф)цппюж, широко используемые во многих щжкоаениях. Их отличительной чертой является то, что нв участке !х( и( они имеют колебательный характер в пределах +1.
На гРанице, т.е. при ю = 1, ) (х) = 1. При дальнейшем росте„ш ~нкцви монотонно нарастеют, причем там быстрее, чем выше отепеньп, Асимптотически при )г-э( и / и Т (ЕО) м 3,)Г (1.18) т(я) Иэ математики известно, что полипом Чебышева 7' (х) нарастает быстрее любого другого полиномв той же стекенк,~п(л') и а Ф Ф при тех же отклонениях (-+1) внутри учзст~Тю) кв Ж(Ы. Именно этим свойством и обусловлен выбор Т,~~Ф) в качестве Чункции бмльтрации: он обеспечивает нзибокее крутой срез АЧХ.
ебэ) Типичный вид полинома Чебышева Т„М), Уа = 7, Фнкцэн бильтрвции и АЧХ фильтра тугв приведены нв рис. 1.9. )(чя АЧХ фхльтров ! Чебышева харвктерны равновеликие пульсвции 1 ! в полосе пропускания и резкий спад в пере) ходной зоне. Велзчиые пульсаций задается / выбором параметра Г Рис. 1.9 ,г =ю (1.19) Харектер спада АЧХ следует из асимптстнки ) Ю) (1.18). Прн больших частотах 0Я)~ ЯО~рТ (Я)-Ю6~- б(п-Г) оп фЯ-30(л- ° (1 20) юб 12 Скорость нарастзния затухания с ростом частоты здесь- также равна 20п дБ(дек.
Однако, если сркэнить фхльтры Чебышева (1.20) и Баттерворта (1.15), то видно, что при раной неравномерности в полосе пропускания ( а„= 3 дБ, е = 1) фхльтр Чебышева имеет постоянный "выигрыш" б(п-О дБ, т.е. его АЧХ в полосе эаиерииванзя идет сущестненно пкзэ. Еоли уменьивть допуск нв нерзвномерность в полосе пропускания, то это вызовет снижение взтухания на пе)мферии нз вехичиву,~в(в Х . (Я 1.5.
В эллиптическнх фхльтрэх в качестве Чункции ((шльтрецэи выбраны квадраты дробей Чебышева Р„(х): ( ~~я=~'с'у.'м ' '~'~" ~~.~~эоау (1 21) Типичный вид Внкцжи Р„~ю), и У, цоквэзн нв ряс. 1.10. В интервале!х!еу функция Т (т) имеет колебательный харавтер того же тина, что и Чункция Т,(я), Однако дальнейшее ее поведение существенно нное: прихэ( функция А'„(я) резко нарастает, стремясь к бесконечности цри некотором .хос . Это полью функцкж ®, (а)(и, следовательно, нуль функций 6'(л) и )л(х)) .
В взвисимости от поряэкв ех фикция ~Р~~М~ может иметь еще несколько рзз)~нзов ("хре~леег ' ) ° Существенно то, что между то паши разрывов Чункцэи по модулю нигде не спуокветоя ниже некоторого значения ~Р„„„. Описзнное поведение функции 4,(т) Определяет вид Ачх эллиптических бшльтрсв (рис. 1.11). )(ля них характерны рэвновеликие пульсации как в полосе пропускания, так н в полосе эадеркивзния и очень крутэй переходной учесток. Дроби Чебышева — обширный клясс чункций. При данном порядке и сущестнует не одна дробь Уп(,ю)(в отличие от единственного пвинома ) (х) ), в множество дробей, в котором Чункции отличаются друз' и жж от друга некотоРым пзрвмэтром о7 -.
С увеличением 4У точка первого' "В литературе эти 4ильтры называют также фьхьтрами Кжуэра и фильтрами Золотарем. 'и'При анзлизе функций фильтрации нз основе дробей Чебнше ва К (л) оказалось удобным представить отношение характерных частот в / = ~/у как синус некоторого угла в: е пв= ~~у . ~тот угол . ев,= принято называть "модульным углом". Посредством этого церэметра с использованием эллиптических функций вычисляются вое характериотики передаточной бинкции (отощйа, кстати, и назнанае власов фильтров — эллиптические) . разрыва приближается к 1 (т.е.
крутиана спада АЧХ возрастает). Одновременно уменьшается величина А' .;„(т.е, пульсации в полосе задерживавши увеличиваются). Рио. 1.10 Рис. 1.11 Из приведенного сравнительного анализа функций «мльтрации, а следовательно, и АЧХ трех )вссмотренкых типов фильтров, можно отметить их достоинства и недостатки. Фильтры Раттерворта отличаются самой равномерной (максимально плоской) "вершиной" АЧХ, но сравнительно пологим "срезом". Для получения крутого "среза" необходимо выбирать высокий порядок «щльтра.
Фильтры Чебышева дают быстрый спад АЧХ, причем важно, что он идет монотонно. При больших частотах (Ы »~ ) фьиьтры Чебыюеза обеопечивают практически полное подавление помехи. Вершина АЧХ имеет пульсирующий характер, Пульсации могут быть сделаны очень юлями (пеной ухудшения спада в переходной зоне). Эллиптические «мльтры могут обеспечить чрезвычайно крутой переход ст полосы прспускания к полосе задврживания. Недостатком их АЧХ является сравнительно слабое подавление помех на высоких частотах. 1.б. г ммы цолюсов и лей "классических" ьт в П.24) Рис.
1.12 Как указывалось выше, полюсы расположены в "квадрантной" симметрии. Оставив полонину полюсов, лежащих в левой полуплоскости,б, мы тем самым определим полюсы передаточной «ункцииА,,ю»,.„,,ю~, а следовательно, и саму «унынию КфР (с точностью до произвольного козффзциента я» ): Согласно методике, изложенной в разд. 1.2, по выбранной частотной характеристикеИУ) можно найти передаточную функцию К(~0. Для «мльтров Еатта1ворта выкладки оказываются очень простыми. Сначала осуществляют переход ото"('Р~ к передаточной ф1нклди по мощности С[Я заменой,~'АР,О: / С~Я- »>в ~ Ир1 = и лп (1 ° 22) у »зз /~('-/) Функция змеетГю полюсов. Определим их, приравняв знаменатель к нулю: л у+(О р -Р ч Гп Р~гэ,„,г ~ъГ. п-нечетное; (1 2ч) =$Я; гг-четное.
,ж'.ч' /'аког»хЮ (Ф»ея в виду, что ~=е*~ и -/=я, окончательно получаем: '»Х ,Д ,б»= ь', гз нечетное; я~ /7 х) ,Ь»= я 'з, гг четное. й=аб~,...,~ -г Таким образом, все Жх полюсов лежат на единичной окружности Л в ноРмиРснаннсй,б -плоскости, ДелЯ ее на Равные Дуги Уз . Если гх нечетное, то среди полюсов есть дза действительных полюса ф = -+1, а если гз четное, то исе полюсы образуют комплекснооойряженные пары (рис.
1.12). 14 А(Р)- „ А> йф-Р,> прйм р 1 1 Найти передаточную Функцию Фильтра Баттервсрта третьего порядка. Из (1.24), а такие из рио, 1.12 видно, что 3' ~,=-А Р-л=е =гт( л ~уел( —,)= -о~+~- у . Передаточная Функция ~ц,, й~ р гРлгР < Комплексная частотная характеристика / (~й~)+ХАЯ~'.2~Я)т~ ~1-2Р') р (~Я-Р') Амплитудно-частотная характеристика «ю~=) куы))- По такой ие методике определяются полюсы Фххьтров Чебышева, а такие полюсы и нули эллиптических Фкхьтров, Однако здесь выкладки значительно более трудоемка, и поэтому имеет смысл пользоватьоя не расчетными Формулами, а данными справочников, в которых приведены точные ревультаты.
Полезно иметь представление о диаграьме полюсов Фьхьтров Чебышева и диаграмме полюсов и пулей эллиптических Фххьтроз, а также о том, как изменение конФигурации диаграьмы влияет на изменение АЧХ. На рис. 1.13 в .качестве примера представлено несколько диаг)ммм полюсов Чмльтров Чебышева и приведены соответствующие вм АЧХ.
Полюсы располоианы на эллипсе. В зависимости от порядка гх и заданной неравномерности в полосе пропускания О„ (кхи параметра Е' ) размеры эллипса изменяются. При ((шксированном п. "расширение" эллипса приводит к уменьшению пульсапий в полосе пропускания и более кологшпу срезу АЧХ (см.а и ы на рнс. 1.13). При бшксирсваннсм ~7„ размеры эллипса тем болмье, чем низа порядок ю (см. с и й ка рис. 1.13). Диаграмма полюсов и нулей эллиптического Фхльтра зависит не только от и и а», но и от модульного угла ач (см. примеры, при- веденине нн рис.
1.14). Группа полюсов расположена почти так же, как полюсы Фильтра Чебышева (по крайней мере, при малых 4У ). Нули лежат на мнимой оси в некоторых точках1?е,,Р,,..., в которых Кйг) О, Число нулей меньше числа полюсов. При увеличении параметра с частота первого нуля.ур~, уменьшается, одновременно несколько изменяется полокевие полюсов. В АЧХ при там же су„увеличивается крутизна ската, но возрастают пульсации а~ в зоне задеркизання.
Влияние конФэгурации полюсов и нулей на характер АЧХ становится более понятным, если рассмотреть вклад каидого отдельного полхса и нуля в АЧХ. рис. 1.13 1ьщ Щ куем ьэее Рис. 1.14 Запишем выражение для передаточной Пункции по заданным полюсэмРщ,Раг.-. и нулям Рог ° А» ~Р Р46) Ф РОМ)- Ф~-;.,)У-Р;)... Перейдем к комплексной чаототнсй характеристике (,Ь,~'Ы ) и ее модулю: 17 (А'~й) ) = (1. 26) !Ю Ан))~'Ао Ае!". Каждая скобка в числителе и знаменателе представляет собой ' длину векторе, проведенного иэ особой точки Д, или /~, в текущую точку,/'У мнимой оси (рис. 1.15): 4~М) де~Я>...
КГя-,е,'М ~,' Ю" (1. 26) Вклад в АЧХ отдельного нуля или полюсы ("царциальная" АЧХ) определяется тем, как изменяются с частотой длины этих векторов: ~» ~~~,6~у ) Ае (~) 4()~). (1.27) тря разнесенные резонансные кривые (рис. 1.17,б): центрзльщю— болев широкую и низкую и две боковые — более высокие и узкие.
Оказывается, что ширине и взаимное расположение их подобрвны твк, что при перемножении пслучвется выровненная реэультирухщня АЧХ (рис. 1.17,в). щ) 4 Рис. 1.15 Рис. 1.16 На рис. 1,16 показана парциальнзя АЧХ, связанная с 4 -м полюсще,б„» =-ы„»,~,е„» (рис. 1.16,а), Она резонансного типа с максимумом в точкеж.=,д,» (рис. 1.16,б). Величина максимума / 4' „„-",,„» тем больше, чем ближе полюс к мнимой оои [нв рис. 1.16,б пунктир соответствует смещению полюса блике к мнимой оси).Хврзктер спада кривой при большом удвлении52 от 6,» не вавасит от~с~» и является гиперболическим К~»(М-р Олнвко, если прснормироввть кривую пс ее максимуму, вывод будет другой: чем ближе полюс к мнимой оси, тем круче (отнссительно) спадает парциальнвя АЧХ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
