rtc_uch_08 (557483)
Текст из файла
МИЦИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (технический университет) Ю.В. КУЗНЕЦОВ, В.В. ГОЛОВАНОВ ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Учебное пособие Утверждено на заседании редсовета 14 декабря 1998 г. Москва Издательство МАИ 1999 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рис. 1.1 1БВ1Ч 5 — 7035 — 2301 — Х Кузнецов Ю.В., Голованов В.В. Временной и частотный анализ линейных цепей: Учебное пособие.
— М.: Изд-во МАИ, 1999. — 40 с.: ил. Даются основные теоретические соотношения и методика составления и решения динамических уравнений, описывающих линейную цепь, а также рекомендации по использованию преобразования Лапласа для анализа линейных цепей. На примере анализа конкретной цепи показана методика выполнения расчетно-графической работы. Приведены указания по выполнению лабораторных работ в рамках темы «Частотные и временные характеристики линейных цепей». Для студентов радиотехнических специальностей, изучающих дисциплину «Радиотехнические цепи и сигналы».
Р е ц е н з е н т ы: В.Н. Скосырев, В.И. Лобов © Московский авиационный институт, 1999 Под анализом радиоэлектронной цепи понимается определение реакции у (~) цепи при заданном воздейстпвии (х1(~), х 2(1), ..., х~(~)), стпруктпуре цепи и ее начальном состоянии ( Х1(0), А2 (О), 111~(0) 1 (рис. 1.1). Реакция у (~) — это временная функция тока или напряжения на заданном участке цепи, называемом выходом.
Воздействиями являются внешние независимые источники тока и (или) напряжения, генерирующие заданные временные функции и подключаемые к определенным точкам цепи, которые называются входами. Стпруктура линейной цепи представляет собой совокупность соединенных между собой линейных элементов цепи, в качестве которых в данной расчетно-графической работе (РГР) используются сопротивления Л, индуктивности Ь и емкости С. Начальным соппоянием цепи является совокупность значений переменных состояния в нулевой момент времени Х.
(О), которыми в данном случае будут токи через индуктивности и напряжения на емкостях цепи. Решение задачи анализа радиоэлектронной цепи проводится различными методами, которые можно разделить на временные и частотные. Особенностью временных методов является то, что в про- цессе анализа все воздействия и реакции описываются функциями времени, а линейная цепь задается динамическими уравнениями, которые представляют собой математическую модель взаимодействия токов и напряжений в элементах цепи.
Здесь, будут рассмотрены методики составления динамических уравнений, связывающих временные функции воздействий и реакции, а также процедуры их решения, т.е. определения реакции в явном виде. Частотные методы анализа обязательно включают преобразование временных функций в частотную область х,(~) «=»Х,(р), при этом линейная цепь также описывается своим эквивалентом в области частоты, а найденная реакция требует обратного преобразования в функцию времени у(~) «=» У(р). В качестве частотного преобразования в данной РГР используется одностороннее преобразование Лапласа (ОПЛ), а линейная цепь характеризуется системными функциями Л,.(р), связывающими ОПЛ реакции У(р) с ОПЛ воздействий Х (р) и начальных состояний линейной цепи А (О) /р.
l 2. СОСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Пусть задана цепь второго порядка, изображенная на рис. 2.1. Воздействиями являются источник напряжения е(1) и источник тока ~ (~), а искомой реакцией — ток через индуктивность ~ ~(~). Задано также начальное состояние: напряжение на емкости У~ ~ и ток через индуктивность»~(0)=1~0 в нулевой момент времени. Требуется составить дифференциальное уравнение (ДУ) «вход — выход» методом узловых напряжений. ~с(Ю) ~~ ~с(~) 1. Определяем опорный узел.
В принципе можно выбрать любой из четырех узлов схемы в качестве опорного, но для упрощения задачи анализа лучше взять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей и (или) источников напряжения. В данном примере это узел О. 2. Выбираем узловые напряжения. Из трех оставшихся узлов только два могут быть выбраны для обозначения узловых напряжений. Это узлы 2 и 8, напряжения на которых относительно опорного узла обозначены 1'с (~) и К~ (~) соответственно. Напряжение узла 1 не обозначается в качестве узлового напряжения, поскольку оно известно и равно е(1). 3.
Записываем узловые уравнения, представляющие собой сумму токов, вытекающих из узлов, выбранных в п. 2, причем токи необходимо выразить через введенные узловые напряжения и внешние источники. Для узла 2 уравнение имеет вид ~с® '® "~с® ~с® ~ь® (2.1) Л1 2 Для узла 3 узловое уравнение запишется в виде ~ь® — ~с® 1 + — ~ К (т) с6 т+ в (О) — в (Х) =О.
2 о (2.2) ~с(') ~ь ® 'ь(') = д +'(') 2 (2.3) 4. Для получения ДУ «вход — выход» можно воспользоваться таким приемом: провести преобразование Лапласа над узловыми уравнениями, проделать алгебраические преобразования, а затем сделать обратное преобразование Лапласа, вернувшись во временную область к исходному ДУ «вход — выход». Но сначала нужно выразять искомую реакцию (выход) через узловые напряжения. В нашем примере Рис.
2.! Поскольку преобразование Лапласа используется в данном случае с целью получения ДУ, начальные условия можно принять равными нулю. В результате преобразования Лапласа получим систему алгебраических уравнений, решая которую с помощью правила Крамера, находим Рс(р) и ~~(р). Подставив их в соотношение для преобра- 5 И1+И2 И2 ЬСИ1 'Р Ь Ф) ~ си + 'Ф) 1 1ь (Р)— (2.4) 2 1 2 1 2 СИ Ь ЬСИ ~с(') ~с® +ю ь(8)-В (1) =О. И2 (3 1) 1 2фс(О И1 И2. ЬСИ Ь Ы1 ЬСИ 1 1 (2.5) (3.3) (3.4) зовапия Лапласа искомой реакции, после алгебраических преобра- зований найдем Умножив 1~ (р) на знаменатель этой функции и проведя обратное преобразование Лапласа, получим искомое ДУ «вход-выход». Ь() 1 2 Ь() 1 2 .
082 СИ1 Ь Ыс ЬСИ1 ЬЩ 3. СОСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ Составим ДУ «вход — выход» для цепи, приведенной на рис. 2.1, методом переменных состояния. 1. Вместо емкости вводим источник напряжения Кс(1), а индуктивность заменяем источником тока ~~(~). Эквивалентность такой замены базируется на известной теореме замещения. В результате получим эквивалентную схему, изображенную на рис.
3.1. 2. Любым известным методом находим ток ~с(1) через введенный источник напряжения 1'С(1) и напряжение Р~(1) на введенЙ1 (1) % (2) ном в п. 1 источнике тока ~ ~(1). Направления указанных токов и напряжений необходимо обозначить на схеме (см. рис. 3.1). Например, У (~) можно найти, записав закон Кирхгофа для токов, вытекающих из узла 2. При этом учтем, что напряжение узла 1 относительно опорного узла О равно напряжению источника Уса Теперь искомый ток ~с(~) можно определить как сумму токов, втекающих в узел 1 через И1 и И2. еЯ- 1'СИ) ~С(~)- ~'СИ) еЯ- ~С(1) 'с(1) — И + — +~(ц — а~В (3.2) 1 2 "1 В результате получим систему уравнений, которую принято записывать в упорядоченном виде: (1) =-И2с,(~)+ ~с®+И2~® ' сД=-ъ~(1) - — ъ'сй+ — е (ю)+ '(1).
1 1 И1 3. Учитывая связь между током и напряжением в емкости и индуктивности, заменяем в левой части системы уравнений Н Вь(1) Н Ус(8) У~ — — Ь и ~с(1)=С „. Разделив первое уравнение систеЫ1 мы на Ь, а второй на С, окончательно получим систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и внешних воздействий в форме Коши: "'Ь® И2.
1 И2. ~ 'с®+Тес(~)+ 1 "~с® 1. 1 1 1. С'с® И С ~с®+ И С ®+ С'®. 1 1 4. Дальнейшее решение системы ДУ возможно в матричной форме. В нашем случае, когда требуется составить ДУ «вход — выход» относительно ~ ~(~), можно воспользоваться методом преобразования Лапласа, рассмотренным в рамках метода узловых напряжений. В результате получим систему алгебраических уравнений, ко- торую решаем по правилу Крамера. После алгебраических преобразований находим выражение 1~(р), которое в точности совпадает с аналогичным выражением (2.4), полученным методом узловых напряжений. Дальнейший переход к ДУ «вход — выход» проводится с помощью обратного преобразования Лапласа и дает идентичное ДУ второго порядка (2.5).
4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «ВХОД вЂ” ВЫХОД» ДУ «вход — выход» в неявном виде определяет связь между искомой реакцией и внешними воздействиями. Нахождение решения ДУ заключается в получении явного выражения реакции как функции времени. Для определения реакции необходимо задать внешние воздействия в виде функций времени, имеющих начало. Не ,для всякой функции времени можно найти решение в явном виде, но если воздействие является, например, односторонней экспонентой с началом в нулевой момент времени или суммой таких экспонент, то решение найти можно.
В качестве показателей этих экспонент можно испольэовать любые действительные и комплексные числа. Кроме того, для нахождения решения нужно знать начальное состояние цепи, например, независимые начальные условия, т.е. значения переменных состояния цепи в нулевой момент време- ни. Для конкретности вернемся к цепи, изображенной на рис. 2.1, и приступим к решению ДУ «вход — выход».
4.1. Свободное решение ДУ «вход — выход» Определение свободного решения 1 (1) проводится для однородного ДУ, которое получается из ДУ «вход — выход» путем обнуления внешних воздействий: е(1) =О и 1(1) =О. В результате получим Ы ъ,(1) Ы1,(1) г +2ао ~ +1оо'с~®=О (4.1) Р + 2 а о Р + 1о о = О. 2 г (4.2) Решениями составленного характеристического уравнения являются собственные частоты линейной цепи: Р12 О О ОО' 2 2 (4.3) В зависимости от соотношения между а О и аО получается пара собственных частот (СЧ), характерная для той или иной радиоэлектронной цепи: а) ао~а о. Собственные частоты являются действительными и отрицательными числами р1 и Рг.
Они изображаются крестиками на действительной оси комплексной р-плоскости (рис. 4.1, а). В случае равенства а Π— — а О собственные частоты вырождаются в одну кратную СЧ р= — а О (рис. 4.1, б). Рис. 4.! Цепи с такими СЧ принято называть апериодическими, поскольку свободное решение в этом случае представляет собой сумму двух затухающих экспонент (рис. 4.2) 1 (1) =А ер1 +В е1'л~, (4.4) где А и  — амплитуды экспонент, определяемые в процессе даль- нейшего решения ДУ «вход — выход». В случае кратных СЧ сво- бодное решение имеет вид (рис. 4.3) Решепйе однородного ДУ начинается с составления характеристического уравнения, получаемого из дифференциального заменой Л (4.5) 2. 2 1 2 "д' 2ао — Сд + у, ' гоо — усд 1 1 в 1~ (8) =А е 0 + В1е 0 и также является апериодическим.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
