(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Точные выражения для тензора Римана яют~йотся следующими: /1 114 ы = -е ~- и + — (У ) — — Л'У>) + е " ~ — зз+ — (Л) — — ЛУ >з4з -л~ 1 >з 1 >' 4з= — — Уе, В ы=)>1 зз= ",~ь'6 В зз= — —,(е — 1), .к'>э=В"~э= — — Ле ". (П.1.8) Все остальные компоненты равны нулю, за ис«люйв>'вием тех, которые могут быть получены тривиалыюй перестановкф>индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).
11.2. О связи между материей и кривизной!.'-; Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включязощие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие 1 2 (П.2.1) Компоненты тензора С>' имеют довольно простьзе выражения через суммы элементов ЯЯ" . Например, диагональна)е элементы есть 0 4 Я 12+В 13+11 зз> Взз + Н4з + Взз (11.2.2) Другими словами, хаждый из этих компонентов Вк>лючает в себя сумму по таким элементам Н*", в индексы которьэк:не включен диагональный индекс.
Пля недиагонапьных элементов узы также получаем очень простые выражения. Например, С з = В зз + зз ~з> С>=н ~з+Н ы, (11.2.3) и по аналогви с этими компонентами мы можем дегко записать соответствуюсцие выразкевия для других компонентов. Простота иыраженвй рассмотренных сумм мажет навести нас на мысль об интерпретации хривнзны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности илн плошади круга по отношению к вх величинам в плоском',пространстве через измеренную величину их радиуса: (П.2.4) Пляпа окружности = 2 иг(1 — К х п ощаиь), Лекция П 220 площадь = 4яг ~1+ — г В/, ,/ 1, 1 9 (11.2.5) г(е " — 1) = совзФалФ = -2щ.
(П.З.2) | к Игг~ С44 = 2т. о (П,З.З) 1 -Ле ~ -л г 1 — — ~/е л г — Ле г -л е — (Л— 2г 1 С 4=0= — — Ле, 1 ' л (11.3.1) и =-Л Р / 1 (11.3.4) ;, где К вЂ” коэффициент. Для трехмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идет речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 4к з плошади сферы радиуса г. Получаемый результат должен быть следующим где А — скаляр, получаемый двойной сверткой тензора кривизны.
Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме Н~з~з+Л зз+ зз В'з,з, что есть компонент тензора С44, который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса. Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть ередней кривизной трехмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трехмерную сферу с заданной плошадью поверхности.
Ее действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидож г ЬЖ~74), у, ~ р о ур *акр ( — / ~74 С/Зсзгл,„„р„) (один ферми на 4 миллиарда метрических тонн). Эта интерпретация используется прямо для компонента 44, который есть плотность вещества (или энергии) для вещества внутри этой сферы. Другие компоненты тензора кривизны правильно выводятся, когда мы требуем, чтобы один и тот же результат получался в любой координатной системе независимо от ее скорости.
11.3. Метрика Швврпшильда, поле впе сферической звезды Выражения для компонентов тензора С" „через функции и и Л являются следующими — (е — 1) = — — — (г (е — 1) ), 1 л 1Н гз гз Йг 1 (е-л 1) гз -л С~4=- — Ле л, г -л е" м') — — (2л" + (и') — Л'и') + — (2Л + (Л) — Ли). 4 Только выражение для компонента Сзз является громоздким, но так происходит, что его точное выражение редко бывает необходимо ис- ! П.З. Метрика Шваритильла, поле вве сферической звезды 221 пользовать.
Важное положение состоит в том, что дивергенция этого тензора должна быть равна нулю. Если мы имеем выражение для других компонентов, то требование обращения в нуль дивергенцни часто помогает избежать использования точного выражения для Сзз. В этом месте могут быть предложены следующие упражнения. 1) Доказать, что если нет материи внутри сферы радиуса Ь и распределение материи вне этой сферы является сферически симметричным, то пространство внутри сферы — плоское с метрикой % ='Ь. 2) Доказать, что если тензор энергии-импульса Те" известен всюду внутри сферы радиуса Ь, то каким бы он ни был вне этой сферы, это не повлияет на физику внутри сферы радиуса Ь.
(Предполагается, что вне этой сферы тензор энергии-импульса характеризуется сферически симметричным распределением.) Решение вне сферически симметричного распределения массы получается, если мы положим Т„„= 0 = С„„и решим получившиеся дифференциальные уравнения. Мы начнем с того, что заметим, что С44 зависит только от Л. Так как С44 равен нулю, то мы получаем Множитель 2 взят для удобства, так что постоянная величина гл есть полная масса звезды, умноженная на ньютоновскую гравитационную постоянную.
Если внутри сферы радиуса а, где находится вся масса, нет особенностей, то постоянная должна быть равна Мы уверены, что зависимость от времеви отсутствует, поскольку так что Л вообще не зависит от времени. Последняя задача состоит в том, чтобы получить выражение для и. Мы делаем это, приравнивая С'л и С44, так как обе эти величины равны нулю. Отсюда приходим к выводу, что Лекция П 222 (11.3.5) г = -А+ 1(1), е" ((й)а = е "е1(б((й)а, (Ц.4.3) (11.4.1) которое может происходить только в том случае, если функшы и имев'г следующий вид: где 1(а) — произвольная функция времени. Тем не менее, так как функция и появляется в коэффициенте при величине (сй)а в метрике следующим образом: мы можем исключить множитель ехр(1(г)), изменяя масштаб времен- ной координаты.
вкругие элементы метрического тевзора не изменя- ются при такой замене, так как в них включена только функция Л(~ ). Полученный результат известен кек метрика Шваршпильда ((Ь)а = 1 — — ~ ((й)а — — га(япа В((14()а + ((йУ)а). (11.3.6) г,( 1 — 2тп1 г Интересно, что полученная метрика не зависит от времени, хотя мы никогда не говорили о том, что мы ищем статическое решение.
Отсутствие зависимости от времени метрики Шварлптильда следует из предположения о сферической симметрии н того, что мы рассматриваем метрику в области с нулевой плотностью давлешы. ,Пля случая реальной звезды такой, квх Солнце, точной сферической симметрии нет, поскольку имеется вращение и поскольку имеется утолщение (бадпж) на экваторе. Тем не менее, зти отличия вызывают лишь небольшие отклонения от случая сферической симметрии. Если имеется световой поток от звезды, то будут появляться другие поправки, поскольку плотность энергии не будет равной нулю в пространстве вие звезды. Тем не менее, решение Шварцшильда достаточно точно описывает ситуацию с Солнцем, так что прецессии пернгелия Меркурия задается правильно в пределах ошибок измерения.
11.4. Сивгуля(рнасть Шварцшильда Метрика, представленная в соотношении (11.3.6), имеет особенность при г = 2ла. Для того, чтобы узнать, является ли эта особенность, причиняющей беспокойство и имеющей физический смысл, мы должны посмотреть, соответствует ли эта особенность физическому значению измеряемого радиуса от начала координат (что не есть то же самое, что наша координата г) 11.4. Сннгулярносаь Шваршпнльда Мы получаем ответ, рассматривая эту метрику с использованием другого подхода. Мы могли бы предположить, что правильное опи- сание сферически симметрнчной метрвки должно было бы иметь сле- дующий вид: ((аэ) = В(В)((аа)~ — В(В) (((1*) + Ии) + ((1з)~) (11 4 2) где Ва = яа + ра + аа.
Метрика Шварцшильда приводится к такому виду путем подстановки а г= В+ — +ш, 4В используя которую, получаем следующее выражение Особенность в интервале собственного времеви исчезла. Мы видим, что это было следствием особенности в определении радиальной координаты г'. Тем не менее, метрика (11.4.4) выделяет частное значение радиуса В = тл/2 квк полажение, в котором обращается в нуль коэффициент при ((й)а. Нам еще следует исследовать, что происходит с физическими пропессамн в этой точке.
Эти результаты не нуждаются ни в каком непосредственном наблюдательном следствии.' Когда мы подставляем величины, соответствующие массе Солнца, мы находим, что такой критический радиус существовал бы, если бы масса Солнца была сосредоточена внутри сферы, имеющей радиус, равный всего 1.5 км. Тем не менее, хотя очевидно эта ситуашы не будет иметь место в Солнечной системе, разумно исследовать это критическое значение радиуса как свойство пылей теории.
Физическая интерпретация этого особого значения радиальной координаты связана со скоростью, на которой процессы, происходюцие вблизи Солнца, проявлялись бы для удаленных наблюдателей. Ранее мы вычислили, как свет из областей с более низким грввитапионным потенциалом сдвигается вниз по частоте, так что все объекты выглядят краснее. Радиус В = ла/2 соответствует потенциалу, который настолько низок, что свет не был бы достаточно энергичен для того, чтобы покинуть звезду, так что никакой свет не достиг бы наблюдателя, который находится на большом расстоянии от звезды. Лекция П 224 225 де н(™о) = 2о г бо ог.
В 13 -+ Р 3, В13 Рз (11.4.6) бТ 25 2Т Йг г (11.4.8) (11.4.7) Р зз+Р 1п+Р 33 = О, След = Т+ 2Я = О, Т = — 2о. (11.4.9) дТ 8Т (11.4.10) Йг г Мы можем увидеть, происходит ли что-либо катастрофическое с геометрией пространства в этой точке, в точности вычисляя компоненты тензора кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
