(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Лазайте посмотрим, как мы могли бы описать трехмерную воверхность, которая является сферяческай. Мы используем математику, аналогичную двумерной сферической поверхности, которая ацисывается двумя углами д и ф; поверхность находится ва постоянном расстоянии Ь от начала координат и углы ацределены, так что хг+ уз+ гз = Ьг, у = Ьзшдзшту. (12.2.4) г = Ьсозд, х = Ьзтпдсоэд, В четырехмеряом пространстве все, что мы делаем, состоит во аведеняи третьего угла С', такого, что г = а ил с соэ д, у = аид~зшдаштЬ. ет = а сааб, х = азшсзшдсоэтЬ, (12.2.5) При использовании такого угла с метрика на трехмерной поверхности <й = О цропорциональна квадрату радиуса и следующей величине (12.2.б) Ллз тога, чтобы сделать церехол х метрике (12.2.3) через радиальную координату, мы попросту вводим преобразование такое, что (г ге х + у + г ), г г 2 3 Й дс т.
зш (12.2.Т) которое приводит к эыраткеюпо для соя С (12.2.8) 1+ Ь з/4 12.3. Иитерпретатити космологической метрики Первый вопрос, который мы должны были бы исследовать, состоит в том, какова динамика объектов в такой метрике. Будут ли покоюциеся объек- ты аставатьсл в покое? Ллз таких объектов только и' не равно нулю и уравнение движения сводится к слелуюптему соотношению: Когда мы сравниваем выражеютз, мы находим, чта метрика (12.2.3) правильно представляет трехмерную поверхность, катарах на самом леле звлзетсз сферической.
В(1) является преобразующим множителем между коордвнатньтми дифференциалами и длинами дуги, который меняется со временем; так что метрика в общем случае не звлзетси статической. Кривая при настоянном значении Ф = 1 о = 2/3 Рис. 12.1. Так как Гм = О, такая система коордютат может быть реализована набором массивных час'гтщ. Используя выразкеяие метрики (12.2.3), мы должны были бы иметь возможность сделать некоторые прелсказавиз относительно наблюдаемых величин на языке функции В(Ф).
Может быть тогда возможно будет достроить модель вселенной, в которой точно оцрелелзется функция В(1). Например, стационарная вселенная Хаяла соответствует такай функции В(Ф), которая зкспоненциально зависит от времени. Вселенная Милна соответствуег такой функция В(Ф), которэл попросту пропорциональна времеви 1. Лазайте кратко рассмотрим некоторые свойства вселенной Милна для того, чтобы только повить, что вселенная выглядят одинаково в соответствующие моменты времеви с точки зрения наблюдателя, расцожакеююго в различных местах пространства. Мы говорили, что такал модель соответствует нулевой гравитации. Например, возмоитно переолределвть коордвнаты таким обритом, чтобы цолучившэлся в результате метрика была плоской. Тем не менее, когда мы переписали метрику, оказалось, что наша трехмерная поверхность имеет кривизну.
Мы мажем понять источник этой кривизны, рассматривак множество часов с идентичными маятника-. ми, которые расходятся с разными скоростями от заданного начала координат в заданный момент времени 1 = О. Если мы рассмотрим диаграмму Минковского, мировые линии различных часов представляют временные оси различных координатных систем.
Таким образом, поверхности равных моментов времени искривлюотси (см. рис. 12.1). Трехмерная ловерхкость "при заданном времеви" соответствует подобной гиперболической цоверхностя и, следовательно, имеет некоторую кривизну. Тем не менее, четырехмерное пространство точно такое же плоское, как и было ранее. Более близкая операционистсказ точка зрения на такую кривизну касаетсз измерения радиуса и длины окружности Если мы измеряем их в цодпростраистве "сейчас", то найдем, что длина окружности равна 2тгВ.
Измереюш при постоянном значении 1 соответствуют измерениям, проведенным так, как если бы локальнал галактика, убегаюцтаз наружу са скоростью, цропорциональной расстоянию, находилась в покое. Таким образом, радвус измеряется стержнями, двяжупцплиси вдоль своей длины. Линна окружности измеряется стержнями, движущимися перпендикулярно своей длине, отсюда зто наблюдение эффективной кривизны.
Теперь, когда мы прояснили значение трехмерных поверхностей лри настоянном значении Ф, давайте посмотрим, что мы можем вывести, что л 238 ЬВ ' Рэ = с', т.е., Ро = —. с. с3В (12.4.1) (12.3.1) (1+ ь з/4)з (12.4.2) так что В(со)т (1 + йтз/4)' (12.4.3) В (зе)т В(с)(1+ Йтз/4) ' (12.4.4) детектнруемое изменение в внлвмой частоте сигнала, который испускается где-нибудь в другом месте, причем это изменение въсразвм через функцию В(Ф).
Мы должны спросить, какой интервал соответствует времени приема, если мы точно определили время испускания свгнала и координату т. Траектория светового сигнала задается следующим соотношением (Вв) з = О, Если свет движется вдоль радиуса, мы имеем (Вв)~ = О = (сй) — (Вт)~, вз которого следует, что ИФ с1т В(1) (1+ йтз/4) ' Если мы обсуждаем часы при постоянном значении координаты т, тогда ссс есть интервал собственного времеви; число тикавий часов есть попросту /сЫ.
Лля того, чтобы сравнить частоты, мм должны вычислить отношение продолжительности времеви испускаюш сигнала ко времеви его приема. Если мы посыпаем сигнал, причем начинаем посылать сигнал в момент времеви Ф и зассанчнваем в момент времеви 1+ сзс, то начало приема сигнала соответствует времеви Фэ н его прием затсанчиэается в момент времени се + с1с|э.
Интегрируя вдоль световой траектории, определяемой соотношением (12.3. 1), от началыюй точки испускания до начальной точки приема, получаем Ф (12-3 2) поскольку координата т есть постоюсная величина для заданной галактики. Какова бы ви была длина интервала М вЂ” $, если обе величины Ж н с.'с1е малы сравнительно с изменениями функции В(8), то нз уравнения (12.3.2) следует, что (12.3.3) В(с) В(се) Таким образом, сравнение частот определяется функцией В($); полученный результат определяется соотношениемс св„г„,„, = — . ю, си = естественная частота. В(Ф) (12.3.
) ..4 В(со) Очевидно, что функция В(Ф) — масштабный фактор для вселенной. Если В(с) есть монотонно возрастакппая зависимость от Ф, что соответствует расширюощейся вселенной, то все принимаемые частоты вмеют красное смещение. Величина этого смещеэия будет приблизительно пропорциональна (се — С), если этот интервал мэл по сравнению с интервалом, на котором происходит изменение функции В(с). Перед тем, кэя мы сможем связать это красное смюпение с хаббловским красным смешением, мы долясны придумать схему для задавил расстояний, соответстэуюсцнх различным значениям координаты т. 1 12.4. Измерения космологнческих расстояний 12.4. Измерения космологнческих расстояний ЛавлГгхе прецставим себе, что мы пытаемся определить расстояние до уда- ленной галактики, рассматривая ее видимый угловой диаметр.
Предполо- жим, что галактика имеет диаметр Ь; тогда, если мы наблюдаем угловую протюкенность ЬВ, расстояние до галактики Ро должно залаватъся слелу- юсдим соотношением Предполагается, что Ь есть длина в равные моменты времени, т.е. сй = О. Мы предполагаем, что величина ф остается цостосшной и что сЗВ может рассматриватъся как ивфивнтезвмальная величина. Интервал является времеви-подобным с При диапазоне значений расстояний много меньших, чем 1/Л, величина т будет соответствовать расстоюппо, измеряемому таким способом с масштабным множителем В(Ф). Мы видим также, что цри использовании расстояний, измеряемых таким способом, красное смепжвие удаленвъпс галактик должно бьггь пропорцновалъно нх расстоянюо от нас (закон Хаббла) как результат, получаемый в первом порядке.
вкругой достаточно общий метод оцевнваюш расстояний основан на использовании видимой яркости галактик. Предполагается, что галактики имеют постоякную среднюю "стандартную" яркость, что соответствует испускаюпо заданного числа фотояов заданной энергии в кажную секунду. Этот метод анапогичен оценнвавню расстояний по методу стандартной свечи, при котором говорится, что Р =(Стандартная интенсивность/Видимая ннтенснвность), поскольку интенсивность удовлетворяет закону обратных квадратов. Лля нашей нынешней зэлачн видимый телесный угол есть (Б~/Р~), где Ь вЂ” есть диаметр галактики; мы должны включить также множитель, учитывающий замедление времени, поскольку Ф фотонов, испущенных в нашем направлении в интервале времени сзс, должны будут наблюдаться в интервале Ыв, связанном с интервалом ссг оютношевием (12.3.3). Если мы сравниваем интенсивности, мы должны включать множитель, который учитывал бы уменьшение энергии фотонов вследствие наличия красного смешения, выраэсение для которого приведено в соотношении (12.3.4).
Конечный результат, описывающий соотношение между расстоянием Р н т, есть 240 2яз й+ йз Т г = — + — = -ЗаСр+Л. Я ЯР (12.5.2) — (РЯ ) = -З~Ж 4( 3 3 4И Оз 4й' (12.5.3) — (ро ) = -Зро 41 з з ~о 40 ~Й' (12.5.4) 4л з 3 (12.5.5) (й + Я~) = 244 —. В' (12.5.б) Гй+ йз'4 Т 4 = 3 ( ) = Зх4зр + А, (12.5.1) Соотношение (12.4.4) отличаетсм от соотношения (12.4.3) на множитель К(гв)/Я(г), так что числа Рв и Р не совпадают. Тем не менее, возможно свмзать все это вместе и получить выраясевие ллл й(4) в идеальном случае; эти рассмотренна являются стимулом длм наблюдений, которые делаются с помощью 200-дюймового телескопа на горе Папомар; большую часть времени этого телескопа астрономы используют, наблзодая галактики, измеряя их лиаметры, ннтенснвкости, красные смещения в лелях поиска наилучших обоснований характера фуккпии Я($) в том случае, если рассматриваемая в настоящее времм модель является правилыпам описанием эволюции вселенной.
Если мы задаем вопрос о числе галактик, которым следовало бы находитьсл в оболочке толщины Ир на расстоянии р от нас, мы получим, конечно, различные выраженим в зависимости от того, означает ли р расстомпке Рв-типа нли расстояние .Р-тяпа. Несмотря на это, ответ окэзываетсм сле- дующим Йт4 Я (4) Чисдо галактик между (р) и (р+ 4р) = з з ' Е (12.4.5) (1 + йг з/4)з в предположении, что галактики имеют одну и ту же среднюю плотность массы лрн всех значениях радиуса (л — константа).
Должно быть подчеркнуто, что все такие методы исследования структуры вселенной имеют встроенные в теорию предположения, которые могут быть в большой степени неверными. При определении расстояния из видимой юркости галактик предполагаетсм, гго нет существенного изменения яркости галактюги с возрастом. Некоторые астрономы пытались вычислить сложные поправки для предполагаемой эволюции эвезд, ио по правде говоря, мы не знаем точно, как интенсивности эволюционируют в старой галактике. Должны ли мы предпочитать измерять диаметры галактик? Нет, посколыгу не только трудно измерять диаметры длм удаленных гэлактик, но мы также не знаем увеличиваютсм или умевылаютсм дюь метры галактик с возрастом.
Лэльнейшие трудности связаны с тем, что когда галактики стэловятсл очень тусклыми, то почти невозмовгно быть уверенным в том, как много мы нх теряем вследствие их тусклости. Эти трудности не затрагнвают полученных резулътатов при усзювии4 что мы предполагаем, что модель Хейла правильно описывает эволюцюо вселенной; эта модель является единственной полностью детализированной космологнческой моделью, в рамках этой модели безоговорочно определяется, что галактики в среднем должны бытль одинаковыми, так ках вселенная находится в стапионарном состоянии. 12.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
