(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Мы записали сначала действие в плоском пространстве, так как мы знаем это; исходя из ! ! 10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле 213 Лекдия 10 посредственно через метрический тензор. Наши предыдущие выражения выглядят проще, поскольку они определяются через комбинации метрического тензора, но этот вид часто оказывается более .*Ь полезным --------- Ь --------- Ь ! 10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле 215 Рис. 10.1.
некоторого вида критерия, мы выберем наипростейшую форму для действим, которое есть инвариант. Требование, что действие должно быть инвариантом, приводит к ковариантным уравнениям для полей. Это не является ограничением на то, какие известные поля мы можем включить в рассмотрение, поскольку все известные законы физики могут быть ковариантным образом записаны. Лифференциальные законы обладают этим свойством. Любой закон, записанный как дифференциальное уравнение, может быть легко преобразован к ковариантной форме; мы предполагаем, что в касательном пространстве этот закон оказывается тем же самым, каким мы его знаем, затем мы вращаем и растягиваем координаты.
Результирующие уравнения включают в себя производные полей вплоть до второй производной метрического тензора. Как только мы проделали эти выкладки сначала в дифференциальной форме, затем в ковариантной форме, тогда мы можем использовать нашу теорию для того, чтобы вычислить, например, уравнение движения вещества в звезде. Рассмотренные процессы могут описываться законами, характеризующими непрозрачность, законами рассеяния и т.д.
Что не является допустимым, так это использование законов, которые могли бы нарушить сохранение энергии. Мы не можем, например, сказать "до свидания" тем нейтрино, которые образовались; эти нейтрино теряют энергию из-за наличия гравитационного потенциала, когда они покидают звезду, и последовательная теория не может быть написана, если мы пренебрегаем этим эффектом и влиянием плотности энергии нейтрино на модификацию гравитационного поля. Следовательно, не будет достаточным записать интегральные уравнения диффузии со свободными траекториями с конечным средним, но мы должны следовать уравнениям движения частиц диффузии, которые описываются полными законами, записанными в виде дифференциапьных уравнений.
.Пля того, чтобы сделать выражения для нас проще, запишем здесь подынтегрэльную функцию в выражении для действия для полей не- Л/:д Н ~ ( иЛ ат рр ир Лр ат+ 2 нр Лт ар 4 -2д™д"дЛ) + ~,(-дд 1д ид — д "д )1 р (10.3.12) Последний член есть производная, поэтому его интегрирование в выражении для действия дает в результате нуль, так что часто мы можем вполне обоснованно выбросить этот член из рассмотрения. Для многих задач будет достаточно записать действие как интеграл от первого члена, обозначаемого как Н, так что Ы =- — б/й4хН, 1 21з где Н-~:~др (Г„.Р -Г „Г ~.
р0.3.13) Теперь мы снова готовы построить квантовую теорию, после того как мы имеем теорию с эйнштейновской точки зрения. Эта теория является более полной, чем та, которую мы обсуждали с венерианской точки зрения — мы имеем полный лагранжиан, вхлючающий взаимодействие с материей, и который оказывается правильным во всех порядках. Если мы ограничим наше рассмотрение вселенной, которая содержит только гравитационные поля и скалярную материю, то творим поля получается путем анализа разложений через константу взаимодействию дрн — при + 2ЛЬрн" (10.3.
14) В этом лагранжнане члены, которые квадратнчны, соответствуют просто пропагаторам, члены, включающие в себя произведения двух ф и одного Ь, и члены, включающие в себя трн Ь и два ф, соответствуют диаграммам, которые показаны на рис, 10.1. Таким путем мы приходим к предписанию для вычисления амплитуд квантовой механики для движения материи после того, как мы начали рассмотрение с геометрической точки зрения. Когда придет время, мы будем пользоваться классической теорией для того, чтобы обсудить движение классических моментов и обсудить космологические вопросы, н мы будем использовать квантовую теорию для того, чтобы вычислить излучение гравитапнонных волн. 216 Лек11ии 11 а„. = Лй„„+ Азт„„. (10.3.15) г~ = з/0(г,с)т, (11.1.2) Третья альтернативная точка зрения на гравитацию будет представлена после того, как мы обнаружим пути, пользуясь которыми, мы приходим к выводу, что квантово-механическая теория запутывает нас.
Рассматривая зти члены в действии, мы могли бы проанализировать, почему полевое слагаемое может не включать в себя определенную пропоршпо Л величины ) Ух ~/-д. Эта величина должна быть интегралом„пропорпиональным объему Вселенной, который предположительно есть константа. Получившееся в результате уравнение для такого поля ведет себя до некоторой степени так же, как если бы гравитоны имели массу и универсальный источник. Рассмотрение предельно большого радиуса действия гравитационных сил делает довольно бессмысленным введение такого слагаемого в действие, даже если бы зто приводило к согласованной теории. Уравнения движения, получающиеся из подобного рассмотрения, есть Постоянная Л известнакак "космологическая постоянная".
Эйнштейн хотел, чтобы Вселенная была замкнутой, так что он определил зту постоянную как значение, которое допускает для такой Вселенной стационарные решения, Позднее Эйнштейн ссылался на введение космологической постоянной как на свою Великую Ошибку; хотя он выбрал ее значение равным нулю, он мог бы придти к заключению, что Вселенная могла бы расширяться (или сжиматься).
И только позднее Хабблом было открыто, что удаленные галактики движутся от нас и Вселенная расширяется. С того времени, как такое изменение эйнштейновской теории вселенной было введено, космология была "испорчена" трудностями, связанными с определением значения космологической постоянной. Я согласен со второй гипотезой Эйнштейна и думаю, что значение Л = О является нанболее вероятным. 11.1. Кривизна в окрестности сферической звезды Теперь мы обратим внимание на нахождение решений уравнений Эйнштейна для некоторых случаев, которые представляют физический интерес. Оказывается, что имеется очень небольшое число наблюдений, связанных с гравитацией, которые не могут быть адекватно объяснены ньютоновской теорией гравитации, и имеются только два решения уравнений Эйнштейна, которые пытались найти.1 Одно из них есть решение, которое описывает гравитационное поле в окрестности звезды (которое должно точно определять отклонение луча света и прецессию орбиты Меркурия).
Пругое решение связано с описанием распределений массы, близких к однородным, и тем самым, это есть решение, которое представляет интерес при рассмотрении космологических моделей. Если мы предполагаем наличие сферической симметрии, мы ожидаем, что метрический тензор будет давать в результате выражение возможно следующего вида для квадрата интервала собственного времени (сЬ) = А(й)~ + Всат ей — С(й)з — В ((йУ)з + з1п' й(с(р)з) г',(11,1,ц где символы А, В, С, .0 обозначают функции, которые могут.
зависеть от координат (г, Ф), но не от (д, 4). Такое решение допускает динамические решения, в которых движение материи является чисто радиальным. Можно уменьшить число неизвестных функций, сделав разумный выбор новых координат. Например, заменим масштаб координаты г согласно следующему правилу: получившееся в результате выражение (оз)з через т' и ог' вместо т и Й имеет тот же самый вид, но новая функция В есть в точности В = 1. Таким образом, функция В оказывается излишней, так как В = 1 соответствует нашей задаче без потери общности. зп Н настоящее врвмв известно очень много точных решений уравнений Эйнштейна. Например, большое число точных решений мовшо найти в книга (КШМХ 82').
(Приза нарев.) 11.2. О связи между материей и кривизной 219 Второе преобрнз>овавие делается путем замены масштаба времени. Мы положим (11.1.3) з = з (з,г). Используя зто преобразование, мы вводим йовую функпию, которая может быть выбрана так, что коэффициент при произведении й ш> равен нулю. Это взначает, что если положить В = О, то потери общности не проюфдит. Обычно с зтогоййяеста, чтобы пралвинфйься в вычислениях, принято работать не с' функциями А и С, а с новыми функциями У и Л, которые определи«э«с« следующим обрезом: ,4=с" С=с"- > (П.1.4) (в этих обозначены>х мы следуем Шваршпильду). Метрический тен- зор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для коордднат (г,6,4,з), то компоненты метрического тен- зора являются следд»юшими: з "' с — г дзз г ип д (П.1 3) 2 Поскольку тензор является диагональным, элементы обратного тен- зора д>'" явлюотся обратными элементами соответствуюшвх компо- нентов д„„; более точно имеем следуюшие выражения: 1 ы — ы ~ е ~ дзз Ъ(т д (11 1'б) > гз ипзд' дм дл — — и т.
д. дг' дз (П.1.7) Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно бзять вычислено довольно много сумм. Когда все это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции у и Л и их производные по отношению ко времени з и радиальной координате г. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи н точки для обозначения производных следующим образом: и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
