(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Не проверяя в деталях решения А. Тауба, я полагаю, что он столкнулся с аналогичной ситуацией. Зля того, чтобы объяснить наличие кривизны в отсутствии материи, мы должны взять предельный случай решений, которые имеют ясную физическую интерпретацию на малых областях, и затем разрешить этим областям стать бесконечно большими. Цена, которая при этом должна быть заплачена, состоит в том, чтобы неограниченно отсрочить объяснение растущего количества "внешней" материи, которая нам требуется, Лекции 1() 10.1. Полевые уравнения гравитации Мы нашли тензор, называемый тензором кривизны, который определяется исходя из того, что происходит, когда мы переносим векторы по некоторой замкнутой кривой в нашем пространстве. Поскольку эта величина является тензором, мы можем использовать ее для того, чтобы образовать величины, которые должны быть использованы при написании ковариантиых уравнений. Мы ие получили никакой физики, просто записывая эти уравнения, тем не менее, мы должны точно определить связь этих уравнений с реальным материальным миром.
То, что сделал Эйнштейн, состоит в том, что он попросту предположил, что такая связь есть. Не существует способа вывести эту связь из более фундаментальных принципов. Каждая возможная гипотеза имеет свои характерные свойства, поэтому возможно для более позднего исследователя предположить наличие некоторого критерия, который бы делал выбор единственным, но это по сути дела некий обман. Некоторая подсказка, которая может помочь нам, состоит в том, что гравитация взаимодействует с плотностью энергии, так что поскольку плотность энергии в теории относительности есть компонент (44) тензора второго ранга, то в уравнениях нам необходимо иметь тензор второго ранга. Кривизна является тензором четвертого ранга, так что мы сворачиваем его (по верхнему и нижнему индексу) один раз и используем тензор Риччи.
Первая гипотеза Эйнштейна состояла в том, что тензор энергии-импульса попросту равен тензору Риччи 1зТ„„= В„„. Тем не менее, возможен другой выбор; мы можем добавить к тензору Риччи метрический тензор, умноженный на скалярную кривизну (свернутый тензор Риччи). Таким образом, получаем то, что в конце концов выбрал Эйнштейн: (10.1.1) 3 Вя» дямВ 1 Тя . 2 Существует хороший аргумент в пользу того, почему такой выбор лучше. Если мы вычислим ковариантную дивергенпию уравнения (10.1.1), то ответ состоит в том, что зта величина тождественно равна нулю.
Это означает, что закон сохранения энергии есть попросту следствие вида уравнения (10.1.1). Если мы положим гензор энергнн-импудьса равным только вектору Риччи (а не тензору Эйнштейна), то закон сохранения энергии был бы тогда физическим постулатом, который принес бы больше информации и привел бы к меньшей свободе. В действительности выбор метрических тензоров не является однозначным; когда мы работаем с ними, у нас есть возможность свободы выбора четырех функций, соответствующих четырем функдиям, которые описывают общее преобразование, задающее новые координаты через старые.
Так как закон сохранения энергии есть тождество, то выбор четырех функций в метрике является полностью свободным. Насколько хорошо выбор Эйнштейна соответствует Природе? Как мы получаем тензор Т"" и каково значение этих уравнений и кривизны? Для того, чтобы ответить на зти вопросы, мы поработаем с этими уравнениями некоторое время. Прежде всего мы попытаемся понять связь этих уравнений с остальной физикой и с вариационными принципами. Для того, чтобы записать принцип действия в релятивистском виде, нам необходим интеграл, который есть скалярный инвариант.
Мы выбираем, что действие для гравитационного поля есть 1 Г Яз = — — / ФхВ,/:д. 21з / (10.1.2) В тех выражениях, хоторые мы выписываем„мы обозначаем Фх = НхйуйзЖ. Действие Яз есть скаляр, поскольку В есть скаляр и ~/:д И4х есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант (оз) — дыми ох (10.1.3) Вследствие того, что д„„есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае (Нз) = Р(М) — С(<4х) — В(йу) — А(дх) . (10.1.4) Отсюда мы видим, что элемент объема И4х не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объема есть ~ГАВСР Ах' Ну' сЬ' йЬ = ~/-д' Ы4 х', (10.1.5) где д' = Рейд,',„. Если мы делаем ортогональные преобразования, то Ух = л4х' и также определитель Рейд„„равен Рейд„'„.
Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объема есть (10.1.6) ! 10.1. Нолевые уравнения гравитации 201 Декция 10 202 Яя — 04х Е(д,',„) = И'я Е(д„„) (10.1.7) 1 / „1 у ~ — Ври яиВ~ (10.1.8) (10.1.0) (10.1.18) Величина,„/ — д есть скалярная плотность. Это означает, что ее изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины Яз по отношению д„„ Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от В как действие гравитационной части полной задачи.
Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариалионного принпипа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нушо (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увиделн эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести варналионный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Показательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не нх доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Показательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.
Мы хотим показать, что если функционал Я = й~з Е(д„„], (10.1.8') есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда коварнантная дивергенция вариации Яз по отношению д„„тождественно равна нулю. Палая ннфиннтезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам х» — ~ х'", х" = х'"+ Ь"(х'), изменение д„„ задается соотношением д ° -+УЯ.(') =д (х')+Ь -д (Я')+Ь яд (х')+Ь У.а(х')- (10.1.10) ! 10.1. Полевые уравнения гравитации 203 В ырвжал деиствие в новых координатах, опуская штрих у менных* по котор м ведет щ тегрнрован е, январи тное действие выражается в виде еЕ (Ь,идфсв + Ь,рдиа + Ь дяви). (10.1.Щ 69„„ Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции Е.
Мы кладем его равным нулю, так как мы знаем, что изменение в действии должно быть равно нулю при любом Ь вследствие вида функции Е 1 дЕ ад„„ ди~ 0 (10 1 12) Обозначим Д"" вариацию величины 2Лздя по отношению к д„„. Д' = 2Лз — ~. Величина Д"" есть контравариантная тензорная плоглвосгль второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде 1 (дая0 ),и дяи,а У = О, (10.1.14) которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция Д"" равна нулю Р'"; = О. (10.1.15) Пля демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведем сейчас для того, чтобы в дальнейшем нх использовать.
Вначале вычислим свернутые символы Кристоффеля. Используя определение, получим ~ю~ 9 дх и) 2 У (9 м~+йт~и дя Лекция 10 204 (10.1.17) д~" = Ме"/д, н таким образом аа я ° У,л = д,лМ~ = да,л9 У: (10.1.18) Следовательно, С"" = Д"'"/л/:д, ~а",„— 0 (10.1.25) т~,„= -г". т'д, ал (10.1. 26) Т"" =-Г" Т д- — д Т" 1 ад 2 а У (10.1.27) бу=б л хам[У„„,А„,...[=0.
(10.2.1) (10.1.246) Второй и третий члены взаимно сокращаются, тах ках тензор д„„ — симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу д"", умноженную на градиент д„„. Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение МЯ" матрицы д„„ связывается с соответствующим элементом обратной матрицы соот- ношением у""у~,л = [1об( — У)[,л (10.1.19) н свернутый символ Кристоффеля равен следующему соотноше- нию Г,"„= [юк(-9)Ь = — ( /:91,' 1 (10.1.20) Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Пля скалярных функций ховариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам Ф;а = ф, .
(10.1.21) Пля хонтравариантного вектора ховариантная дивергенция есть А",.„= — (~/-у А"),„. (10.1.22) л/=у Ковариантный ротор сказывается равным обычному ротору Аюи — Ар;а = Аа,у — Ау,р (10.1.23) Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров г'""а, — — — ( / — дг'") „, если г' = -г' ". (10.1.24а) У ,Пля симметричных тензоров 10.2.
Лействие для классических частиц в гравитационном поле 205 Используя эти соотношения, путем прямых вычислений можно получить, что ссютношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Тах каи ховарнантнэя производная метрического тензора у„„обращается в нуль, то ковариантная производная (л/-д),л также обращается в нуль.
(Заметим для точности, что обычная производная (л/=у),л есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку л/-д есть схалярная плотность, а не схаляр). Тензор, ассодиированный с тензорной плотностью Я"", также является бездивергентным, В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений явлюотся в действительности тензорными пяотвосплямв, а не тензорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
