(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле Следующее, что мы рассмотрим — подготовим переход к квантовой теории. Если скалярные частицы описываются скалярным полем Ф, Лекция 10 210 10.3. Леиствне для матернальньгх полей в гравиташеонном поле 211 тогда соответствующий вклад в действие есть (10.3.1) д = — Фх (ф,„ф'" — пз~ф ). Легко может быть сделано обобщение на случай криволинзн2ных координат; мы предполагаем, что 5 = — ] Мех з/-д (д' ф,„ф д — зп~ф ).

(10.3.2) 2,/ Это выражение является очевидным образом инвариантным при произвольных координатных преобразованиях, это есть одно из налагаемых на него требований, и приводится к соответствующему выражению для плоского пространства. Тем не менее, мы можем выписать другие выражения, которые являются идеально правильными ннварнантами, квадратичными по полям ф, и которые включают в себя тензор кривизны. Все эти выражения обрашаются в нуль в том случае, когда пространство становится плоским. Возможно, что действие должно содержать пропорции зз и д соответствуюших членов, например, )' Ф „г-з вз ~з1 и*,/ д [и "Ф,„з,„з, 1зз.з.зз Мы видим, что действие, которое мы записываем, не является единственным.

Первое слагаемое, которое мы записали, должно здесь присутствовать, так как только оно и приводит к правильному результату для плоского пространства. И нет экспериментального свидетельства о приливных силах и т.д. и т.п., что могло бы быть причиной для включения или невключения других слагаемых, таких как н выражении (10.3.3). Единственная рвзумннл вешь, которую мог бы сделать физик теперь, состоит в том, чтобы выбрать некоторые слагаемые, которые являются епроше", чем другие слагаемые, пренебречь более сложными членами в действии и посмотреть, какого рода теорию он получил в результате. В некотором смысле возможно производные есть более сложные объекты,чем просто ноля, поэтому член с множителем д является более сложным, поскольку он содержит четыре производных, две в полях и две в тензоре В"".

Слагаемое с множителем а содержит только две производньзх, тем не менее обе производных по полю д„„. Однако трудно определить усложнение теории, которое было бы сделано недвусмысленным образом; всегда возможно провести интегрирование по частям, так что производные исчезают в одном месте и вновь появляются в другом — простота, которая очевидна в случае, если начать формулировать теорию с одной исходной точки, может не соответствовать простоте, которая получилась бы, если теорию формулировали бы, исходя из другой начальной точки.

Если нами используется построение квантовой мехнники, исходя из уравнения Шредингера, то простейшее действие, по-видимому, лолжно быть таким, которое соответствует а = О. Но так как мы начали формулировать квантовую механику, задаваемую через интегралы по траекториям, то простейшее действие кажется должно быть таким, которое соответствует сз = 1/6.

Каждая из возможностей выбора значения сз кажется наипростейшей с соответствующей точки зрения. Я не знаю никакого удовлетворительного способа опрепелить величину зз и считаю, что определение действия для скалярного поля является неоднозначным.1 Значение члена, такого как член со множителем д в соотношении (10.3.3), состоит в том, что он характеризует то, должны ни мы иметь дело с частицей, которая может чувствовать гравитационное поле вне области, достаточно большой по сравнению с той, которня характеризуется локальной кривизной.

Если частица имеет структуру, которая в некотором смысле инфинитезимально мала, тогда она не может чувствовать кривизну. Но если, что скорее всего, частица, двигаясь, совершает движение типа штопора в окрестности своего положения, то член, включающий в себя локальную кривизну, может быть очень хорошо представлен. Мы приведем пример, рассматривая ситуацию в электродинамике, как иное исходное положение приводит к иному ответу достаточно безобидным путем. Здесь принцип минимального электромагнитного взаимодействия приводит к замене д / д — -+ ~ — — зеАн~ (10.3.4) дхн 1,дхн в лагранжиане.

Предположим теперь, что перед тем, как мы сделали такую замену, мы записали интеграл от лагранжиана следующим образом: и я з з ф 7 и ф ~ з з ф дхи д д + е ззе' ф(у" у" — 7""у") — — ф. (10.3.5) дхн дх" Последнее слагаемое не записывается при обычном изложении теории, поскольку оно тождественно равно нулю, причем потому, что 'Современное рассмотрение втой проблемы, вннючвзопзее в себе обсуждение проблемы соентрв атома водорода см. в [К!е1 89).

Лекция 10 оно в точности равно нулю, не может быть никакого твердого и надежного правила относительно того, как отбросить этот член. Тем не менее, когда мы делаем замену градиента в соответствии с соотношением (10.3.4) для того, чтобы включить электромагнетизм, результирующий лагранжиан оказывается не тем же, каким он был до преобразования; лагранжиан имеет дополнительное слагаемое, е7 7 б)и (10.3.6) где б'„„= А„,„— А„,„. Этот член есть член аномального момента, открытого Паули.

(Впервые это было сообщено мне Вентцелем.) Электродинамика частиц спина 1 усложняется также аномальными квадрупольными моментами. Очевидно, не существует более простого выражения для лагранжиана, который можно записать, так что в теоретических работах должны представляться вычисления с альтернативными теориями, которые соответствуют различным аномальным моментам. В нашей теории гравитации ситуация аналогична.

Это как если бы частнпа обладала аномальным моментом инерции, добавляемым к обычному моменту инерции, обусловленному распределением массы. В электромагнетизме подобные неоднозначности не появляются при описании частиц с нулевым спином — они впервые появляются при описании частиц со спнном 1/2. С другой стороны, в гравитации трудности возникают даже при обсуждении простейшего случая скалярных частиц. Не существует решения для преодоления таких трудностей — мы должны признать, что множество альтернативных теорий (различных значений а) оказывается возможным. .Пвижение частицы в заданном гравитационном поле описывается уравнением, которое получается, когда мы вариируем действие по отношению к полю ф.

В зависимости от того, как мы переходим к квантовой механике, различные варианты действия приводят к простейшим результатам. Таким образом, мы не можем доказать, что что-либо проще, если это не приводит к одновременной простоте при решении множества различных задач. Лля различных задач необходимо выбрать различные значения а для того, чтобы упростить решение, нли для того, чтобы отказаться от цронзводных.

Если положить а = О, то тогда мы приходим к ковариантной простоте только в том смысле, что требуется меньше алгебраических вычислений прн таком исходном положении. При этом нет какой-либо подразумеваемой физической простоты, так как все значения а приводят к различным степеням сложности или в той, или в другой задаче. Лазайте приступим к получению уравнений движения поля материи ф. Исходя из соотношения (10.3.2), мы можем использовать следующие вариации обратной матрицы и квадратного корня от де- терминанта: бде = д д бдад~ б(~ д) = ~/ д д бдсвд> для того, чтобы получить следующее выражение для Т"": (10.3.7) бЯ .„„1 т =-2 — - =,Р,ф ф'.,:д;- (ф..ф:- ф ) бд 2 — аз/-д Н"" — — д"" Я) ф — 4оффд~д —, (10.3,8) Палее мы вычисляем вариацию по отношению к полю ф и кладем вариацию равной нулю для того, чтобы получить нечто, что является анапогичньгм уравнению Клейна — Гордона (Г-~д""ф, )„+ ~~ 'ф+2цЛ /:~ф=О.

(10.3.0) Получим уравнение, в котором тензоры появляются путем деления на скалярную плотность |/ — д — Я вЂ” дд'"ф,„) + т ф+ 2ойф = О. 1 2 ~Г-а ,Ф (10.3.10) Используя соотношения (10.1.20) и (10.1.21), мы видим, что последнее уравнение может быть переписано в виде ф,"„+ (тп~ + 2аВ)ф = О. Связь с уравнением Клейна — Гордона может быть замечена при рассмотрении случая а = О; обычный даламбертиан просто заменен на его ковариантный аналог, ковариантный даламбертиан. Предшествующие шаги дали нам вполне определенную теорию, поскольку мы точно определили, как движется материя и какой есть тензор источника.

Легко проверить, что для тензора, который мы выписали, ковариантнэя дивергенция Т"".,„равна нулю, трюк здесь состоит в том, чтобы использовать каждый раз, когда это необходимо, сами полевые уравнения. Таким образом, ход рассуждений оказывается последовательным, все соответствующие тензоры являются бездивергентными, и это оказывается достаточно существенным, чтобы в рассуждениях исходить из этого. Лля того, чтобы построить более полную теорию, мы добавляем дополнительные члены к действию так, чтобы представить другие известные поля.

Характеристики

Список файлов лекций