(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как мы включили в рассмотрение только первые, вторые и третьи производные координат, то мы имеем достаточно общее преобразование в следующем виде: е „ а (6.5,5) Тогда необходимо только подставить одно преобразование в другое. Подставляя закон преобразования д„„, используя соотношения (8.5.3) для производных, находим дх" дх" 1 Уад Уав д фа уу = ууауу + (дал «т + ууа«Ьдат + уууу«Ьа«т)х х' дх' (8.5.6) Для вторых производных величин д„„имеем следующие соотношения о У аа,ат уаа,ат + Ьаяат + Ьдоат| (8.5.7) где Ьоууат ун ууо«Ь оат ° Теперь, когда мы имеем эти соотношения, мы хотим получить линейные комбинации вторых производных компонентов метрики, которые не имели бы величин Ь„,у .
Мы используем тот фонт, что величины Ьаууат полностью симметричны по их трем последним индексам, в то время как доя, симметричны только по индексам пт. Переставим индексы (д ++ и) и, вычитал соответствующие выражения, получим ,о >о О У аа,ат У аа Ет Уае,ат + Уаа,«т = Ьеоат Ь«аат (8.5.8) Индексы (пт) входят абсолютно симметрично в правую часть этого соотношения, но это утверждение не обязательно для левой части. Верхний индехс "Оа означает то, что рассматриваемая величина берется в точке касания хо. Мы получаем соответствующие инвариантные комбинации, рассматривал то, что мы имеем две произвольные системы координат в касательном пространстве, и требуем, что одни и те же формулы должны выполняться в обоих случаях.
Так как эти пространства — касательные, то производные координат могут отличаться только квадратичными членами, так что 182 (8.6.3) оВа +о у =-9 д о (8.6.5) а уа 1 а Рр у" =х + — а„„х х 2 (8.6.2) ха=у х". Р (8.6.8) Следовательно, при алтиснмметрировании по индексам (а — т) мы получаем следующее соотношение руатда = (9аф,кт дае43т утр,иа + Утп,ууа)~ (8.5.9) 2 величину, которая равна самой себе в штриховаиной системе координат. Таким образом, имеется двадцать линейных комбинаций, которые мы искали.
Эта величина не является тензором; она не является достаточно обшей; она определяется только в месте, в котором обращаются в нуль результирующие поля. Эти линейные комбинации являются несократимыми частями гравитационного тензора, теми, хоторые не могут быть устранены преобразованием системы координат. Онн представляют чисто приливные силы.
Таким образом, теперь мы имеем определенный репепт для нахождения кривизны, Сначала нанти преобразование (к римановым нормальным координатам), которое связывает величины у„„с величинами уур, причем первые производные компонент урр равны нулю. Тогда выраженные через преобразованные компоненты д„„величины, определяющие кривизну, задаются соотношениями (8.5.9). Эти соотношения остаются теми же самыми в любой координатной системе. Оставшаяся задача состоит в том, чтобы выразить И,р через исходные произвольные координаты и исходные компоненты д„„. 8.6.
Кривизна квк величина, относяппаяся к произвольным координатам Вывод выражений для кривизны через общие координаты происходит наиболее гладким образом при использовании способа, состоящего в последовательном восхождении по ступенькам к искомому результа; ту. Налее, мы снимаем ограничение на первые производные (которые теперь могут быть не равньуми нулю), но оставляем координаты локально ортогональными; тогда выражения д„„и 9„'„следующие о р О р ~ дскуу ууауу + уар рх + Уау,рмх Х 2 1 1,о у уу=Ъуу+2 д уу,.х х Величина 9' есть та же самая, что и была ранее с нулевыми первыми производными.
Так как мы уже выбрали вторые производные, иам необходимо только рассмотреть преобразование типа В.б. Кривизна в произвольных координатах Кубические члены не будут влиять на правильность приводимого ни- же результата. Выражение для первых производных вставляем в ура пение выражающее у через д 1 ' юе уя ут о ур ууауу + 2 У ад,ю.х х ж цап + (Уад,а + лууп + аа3уа)х уб фт р р о р е 1 р р 1 пя Рлт + атдрр я + О УУтуре я + О ятд, Л р + 9вд рт (8.6,4) где авд = ц,ц,аруу . Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе о'"„„: Нам необходимо решить зто уравнение таким образом, чтобы ав„„ было выражено через у" у исходной системы координат.
Эта процедура делается с использованием обычных приемов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой (а, <т), затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение: о 2 (У~а,уу + УщУ,е — Уеуур,] = - [а,б, а) (8.6.6) Из соотношения (8.6.4) видно, что у'~,~ есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой а, л в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины д'~ уу, теперь могут быть заменены на д" д, в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые каординаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом: 1 Кзтпр = (уа0,от уое,Я Утр,ае + дта,аф) 2 + (ра,а)9РЯ(тб,Л) — (уКа)УР~(та,Л~.
(86.7) Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сдепано линейным преобразованием: 185 184 ,о дал =лад (8.6.9) Ва~да ~тада1 = -В„„д, =+Взааа (а) (б) (в) (8.7.1) у~~ = ь аь ~у~д = Ча~. а ф (8.6.10) В .е-+В-.,я+В д.. = О. (8.7.2) балу, г я ая (8.6.11) д д дх" „ д а =5 а дх"* дха дх' дха' (8.6.12) (8.6.13) (8.6.14) (8.6.15) а закон преобразования имеет вид: (8.6.17) Все, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать и переписать все соотношения еще раз.
Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей Е „, и мы имеем Среди соотношений, которые могут быть получены, имеется следу- ющее соотношение: Что же происходит с различнь1ми членами? Поскольку то, следовательно, (в последующих соотношениях латинские индексы соответствуют штрихованным координатам) д„'„„= 1,,~,.5Я 1,"„у„„,.„ оттпп ~' ту юп5 иеран> 9 Цад~Цм = 9 ~' т1' ду та1» пь в1~ ь аяаалхаа ° Когда мы вставляем эти соотношения в выражения для компонент В, мы получаем, что В не является более инвариантом. Окончательное выражение для В (при выводе которого используется соотношение (8.6.11)) имеет следующий вид: 1 Ват~Ь = (Уаа,ат Уаа,дт Утд,аа + 9аа,ад) 2 + [ра,а]д~~[гд, Л] — [рд,о]да"[тп, Л], (8.6.16) 8.7.
Свойства Великого Теизора Кривизны Хотя величины В„„, не являются инвариантами, они образуют тен- зор, как можно было бы заключить из закона преобразования (8.6.17). Легко можно показать, что тензор определяется только двадцатью 8.7. Свойства Великого Тензора Кривизны величинами, как мы ранее и утверждали. Выражения (8.5.9) были по- лучены путем антисимметризации па индексам (а, т) и впоследствии по (д, о). Имеютсл следующие симметрии для компонент тензора: Следующее алгебраическое соотношение содержится неявно в соот- ношении (8.5.9) (н, следовательно, в соотношении (8.6.16)): Лапайте посчитаем число независимых компонент тензора кривизны.
Первый индекс может не быть равным второму, третий не может быть равным четвертому. Только антисимметричные комбинации могут быть не равны нулю — мы напоминаем, что имеется шесть возможно ненулевых компонент для антиснмметричного тензора второго ранга, так что за исключением симметрии, связанной с перестановкой первой пары и второй пары, здесь имелось бы 36 компонентов; последняя же симметрия (8.7.1в) уменьшает это число до (б х 7)/2 = 21. Алгебраическое соотношение, определяемое (8.7.2), содержит только одно нетривиальное ограничение.
Ясли два индекса являются одинаковыми, то соотношение (8.7.2) является тождеством, поскольку имеются симметрии в соотношениях (8.7.1). Например, В1т1а + В1ат1 + Выса — В1т1а В1т1а + О = О (8.7.3) Так что все индексы должны быть различными для того, чтобы это алгебраическое соотношение имело смысл.
Но когда все индексы различны (1,2,3,4), то имеется только одно дополнительное уравнение. Итак, в общем случае имеется только два1шать независимых компонент Великого Тензора Кривизны (Тензора Римана). То, в чем мы нуждаемся для построения нашей теории, это не тензор, а полностью инвариантнал величина, которая может быть подставлена в лагранжиан. (Вместо этого, Эйнштейн говорил, что Тензор Энергии-Импульса равен другому тензору, которые получэ; ется из тензора кривизны.) Принцип наименьшего действия должен включать в себя интеграл по всему пространству, который должен быть полностью внвариантным под действием преобразований.
Подынтегральное выражение должно быть мировой скалярной величи- ной Лекция 8 Лекции 9 д В«~в = В а ° аь А (8.7.5) (8.7.6) В,, =О. (8.7.7) д В,д =Вд. (И' 2ез г — о й 8сз (9.1.1) (8.78) (8.7.9) (9.1.2) Мы получим такой скеляр, поднимая индексы тензора кривизны и свертывая по парам верхних и нижних индексов. Мы можем, напри- мер, поднять первый индекс Но если в этом месте мы проведем свертывание по первой паре ин- дексов, то зта величина, к сожалению, обращается в нуль То, что необходимо сделать сначала, состоит в уменьшении ранга тензора и свертывании по первому и последнему индексам (Заметим, что одну н ту же букву В удобно использовать для всех тензоров, получаемых из тензора кривизны.) Этот тензор второго ранга (тензор Риччи) — симметричен.
Затем мы вновь уменьшаем ранг тензора для того, чтобы получить нашу скалярную величину (" скалярную кривизну" ) для подынтегрального выражения д~~д дВ»»д» = д В»~Ф» = В Ф» = В Теперь интеграл по объему от этого скаляра не является иввариантом, поскольку элемент объема не является скаляром; величина с1х Ыу оз ш' меняется при изменении координат, причем это изменение определяется определителем матрицы Х,„". Таким образом, интеграл от инварианта есть Это выражение определяет действие Эйнштейна — Гильберта для пу- стого пространства [НИЬ 15). 9.1.
Модификация электродинамики, требуемая принципом эквивалентности Принцип Эквивалентности постулирует, что ускорение будет неотличимым от гравитации в каком бы то ни было эксперименте. В частности, ускорение не может быть отличимо от гравитации по наблюдеппо электромагнитного излучения. В этом месте у нас возникает некоторое беспокойство, так как мы унаследовали предрассудок, что ускоренно движущийся заряд должен излучать, тогда как мы не ожидаем, что заряд, находящийся в гравитационном поле, излучает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
