(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Чистый эффект состоит в том, что приемник движется относительно излучателя, так что частота смешается (7.2.1) д О ~~ = ~~~~у~(1 + 5/с) = ~испу)н(1 + йй/с) Таким образам, приемник на дне получит фотон с частотои, отличнои ат частоты, с которой испускался фотон. Заметим, что это заключение не зависит ат энергии я = пасу н существования энергетических уровней, что необходимо было постулировать в соответствии с аргументами, которые были приведены ранее. Это заключение основано на ожидаемом поведении классических объектов; вычисление следует нз геометрии и кинематики и дает прямое физическое предсказание, следующее нз постулата эквивалентности.
Как и ранее, этот вывод 7.3. Максимзлъвые скорости хода часов не является парадоксом; часы выглядят более голубыми на вершине ящика, человек, живущий на вершине ящика, выглядит более голубым, чем человек, живущий на дне ящика. Аналогично предыдущему, мы можем вычислить сдвиг частоты для света, испускаемого человеком, живущим внизу. Так как в этом случае приемник удаляется ат источнвка, человек, живущий внизу, выглядит краснее, когда его рассматривают сверху, Один вз способов описания этой свтуадии состоит в том, чтобы сказать, что время течет быстрее на вершине ящика; течение времени различно при различных гравитапнонньгх потенциалах, так что течение времени не одвнаково в различных частях нашего мира. Как велико это различие хода времени может быть в резличнъв~ точках пространства? Пля того, чтобы вычислить это различие, мы сравниваем ход времени с абсолютными временными интервалами, определенными через собственное время ~й.
Предположим, что имеется два события, происходящие на вершине, о которых сообщается, что они разделены временем й, тогда ф = дй; Ь = ~Щ1+ ф!Сз), (7.2.2) в пределе малых скоростеи. Величина ф есть просто разность потенциалов между положением событий и точкой отсчета.
Более точное вычисление дает вам выражение, которое может быть использовано при всех скоростях (7.2.3) Вновь мы должны напомнить, что мы не просто исполъзуем ньютоновские потенциалы в этом выражении; наше определение ф должно быть релятивистски точным. 7.3. Максимальные скорости хода часов в гравитационных полях Теперь, поскольку мы заключили, что гравитаднонные эффекты приводят к тому, что часы идут быстрее в областях с более высоким потенциалом, мы можем поставить забавный вопрос.
Мы знаем, что часы должны идти быстрее, если мы перемещаем нх вверх от поверхности Земли. С другой стороны, когда мы перемешаем нх, они должны замедляться, вследствие влияния эффектов специальной теории относительности. Вопрос состоит в там, как мы должны были бы передвигать часы вверх и вниз вблизи поверхности Земли, чтобы сделать эту разницу па времени как можно больше? Лля простоты рассмотрим эту задачу в предположении, что Земля имеет однородное гравитационное поле л рассматривается движение только в одном Лекция 7 159 158 2-Р Наз часы Ь=,й 1+ '~ (7.3.1) Рис. 7.4. измерении. Ясно, что эта задача имеет решение. Если мы движемся очень быстро, со скоростью света, часы не обгоняют наземные часы вовсе, и мы получаем время меньшее, чем время наземных часов, Если мы поднимаем часы на очень небольшую высоту и держим их там, то будет некоторый избыток времени по сравнению с наземными часами.
Ясно, что имеется некоторый оптимальный путь движения часов так, чтобы этот избыток времени был наибольшим для заданного интервала времени на Земле. Правила состоят в том, что мы должны принести часы назад для того, чтобы сравнить их с показаниями наземных стационарных часов. Мы дадим ответ немедленно, хотя было бы хорошим упражнением проделать вычисление во всех деталях. Пля того, чтобы сделать так, чтобы движу1циеся часы ушли вперед наибольшим образом в заданный интервал наземного времени, скажем за один час, мы должны бросить их вверх с такой скоростью, чтобы они свободно падали все время и вернулись назад ровно через один час.
См. рис, 7.4. Задача будет более сложной, если мы попытаемся проделать это в большем числе измерений, однако получается тот же самый ответ; если мы хотим сделать так, чтобы часы вернулись назад, но на другое место на Земле, мы должны осуществить движение часов по баллистической траектории. Такой же самый ответ получается для случая неоднородного гравитационного поля. Если мы должны "выстрелить" часами с одного спутника Земли на другой, то истинная орбита часов это та, которая соответствует максимальному собственному времени. При работе с подобными задачами возникает некоторое беспокойство, поскольку мы не сделали точных определений.
Например, решения типа свободного падения не обязательно являются единственными; задача о баллистическом движении "пушечного ядра" в об1цем случае имеет два решения, что означает, что два значения угла и два значения начальной скорости будут давать максимум (орбита спутника может проходить длинный путь вокруг Земли). Тем не менее, любое из этих решений соответствует максимуму времени пролета 7.3. Максимальные скорости хода часов для движущихся часов. Имеется лидля этих траекторий относительный максимум или абсолютный не столь важно для наших целей,но что важно, так это то, что эти решения наводят на мысль о том, как мы можем получить механику из вариационного принципа.
Чтобы понять значение максимальной величины времени пролета, мы можем рассмотреть, что происходит в пределе малых скоростей. Время пролета есть интеграл от сЬ, который представляет скорость тикания этих часов. В нерелятивистском пределе интеграл, который должен быть максимизирован, есть ез ,/Г-' '7Р 2сз ' Первый член интегрируется по разности времени в заданной системе отсчета (11 — 1е).
Пругие два члена могут быть переписаны, чтобы иметь вид, который должен быть очень привычным, умножая на массу частицы и меняя знак, получим | Уй У1 1Ь = (11 — 4е) — — / 1й ~ — тцз — паф . (7.3.2) Пля того, чтобы максимизировать это выражение для фиксированной величины интервала времени (Ф1-Фо), мы берем минимум интеграла в правой части последнего соотношения. Но этот интеграл есть не что иное, как классическое действие для частицы массы т в гравитационном потенциале 41.
Мы видим, что требование того, что собственное время должно иметь максимальное значение, эквивалентно принципу наименьшего действия в классическом пределе. Эти результаты наводят нас на мысль о том, как мы могли бы получить закон механики (эквивалентный, грубо говоря, второму закону Ньютона), который бы был релятивистским. Этот принцип состоит в том, что вариация / 1Ь должна быть равна нулю, т.е. гз Б( аз=О. (7.3.3) 1 Именно Эйнштейн высказал гипотезу, что этот принцип будет описывать движение в присутствии гравитационных полей. С использованием этого принципа была решена задача нахождения уравнений движения, задаваемого этим полем.
Оставшаяся проблема сейчас состоит в том, чтобы связать потенциал 11, который появляется в этом 7А. Собственное время в общих «аордвнатах 16О 161 выражении, с окружающей средой. Это было огромной проблемой до Эйнштейна. Как мы можем получить правильное выражение для потенциала ф? Что происходит, если мы используем неверную теорию гравитации, как если бы мы работали в системе, в которой имеются центробежные силы, но мы не знали бы этого? Мы видели, что гравитационные силы запутанно смешены с силами инерции, так что мы не можем сделать универсально правильного разделения на эти две силы. Погадка Эйнштейна и состояла в том, что в подобных ситуациях не должно иметь значения, рассматриваем ли мы универсально правильное значение потенциала ф или нет; если этот потенциал корректно определен, то описание физики должно быть независимо от того, каким частным образом мы разделили инерциальные и гравитационные эффекты.
Таким образом, для того, чтобы сконструировать формулу для ф, которая бы удовлетворяла этому свойству, мы должны изучить очень тщательно способ, пользуясь которым, интервал собственного времени сЬ выражается в различных координатных системах, когда мы применяем преобразования такие, которые мы символически записывали как "гравитация' = гравитация + ускорение" . Такое изучение может позволить нам построить выражение для бз, которое является ннвариантным при всех нозможных преобразованиях. 7.4.
Собственное время в обнпкх координатах Лля того, чтобы получить формулу Эйнштейна для (сЬ)~, мы должны рассмотреть системы отсчета, которые не только ускоряются, но также находятся под действием сил, которые искажают их форму произвольным образом. Мы хотим получить общую формулу для координат, которая аналогична определению координатных систем, вращающихся друг относительно друга х = хсозс>я+узшс»Ф> х = л> у' = усов~А — хзшыз, с' = с. (7.4.1) Мы описываем ускорение общего вида и растяжение произвольного вида, устанавливая, как каждая из четырех координат одной системы зависит от всех координат другой системы у = у(х',у',х',с>), 8 = с(х>',у',х',1). (7.4.2) Рассмотрим вначале ситуацию, которая возникает, когда ф = О. В этом случае мы знаем, что собственное время в нескрученной системе есть просто (здесь мы положим с = 1) (сЬ)' = (а)з (,Ь)' (бу)' (,Ь)з.
(7.4.3) Дпя того, чтобы описать собственное время в штрихованных координатах, мы просто переписываем дифференциалы следующим образом: сЬ~ сЬ (Нз)з с?с> сЬ~сЬ (7.4.4) Это определяет метрический тензор д' „, который содержит описа- ние длины дуги сЬ в произвольным образом скрученной и ускоренной системе дх" дх" " дх" д*я (сЬ) = (1+ 2ф/с )(ссс) — (сЬ)з — (ссу)з — (сЬ)з. (7.4.6) Это выражение только слегка отличается от случая, когда гравитационное поле равно нулю.
Именна Эйнштейну принадлежала идея о том, что полное описание гравитации могло бы быть всегда определено метрическим тензором д д, таким как (сЬ)э = д ясЬ сЬ~. (7.4.7) Случай нулевого поля соответствует частной простой форме для метрического тензора д з = и з. При изменении координатной системы новый метрический тензор задается соотношением: дх" дх" (7.4.8) дх' дхнУ "" Как и ранее, движение частиц задается требованием, чтобы собственное время достигало максимального значения на траектории движения.
Если возможно, используя некоторый разумный способ выбора преобразований, привести тензор к виду д' я = о>,>с > тогда мы можем Заметим, что д', представляет десять функций координат (х', у', з>, б), так как имеется десять билинейных произведений сЬ'*сЬЯ. Метрический тензор — симметричен. Как только мы имеем зти десять функций точно определенными, то нахождение траекторий, для которых собственное время достигает максимума, должно будет представлять собой чисто математкческое упражнение. Что же происходит, когда гравитация не равна нулю? В простом случае, который мы рассматривали в предыдущем разделе, мы нашли, что собственное время задается чем-то вроде следующего со- отношения Лекция 7 162 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
