(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Построеиие инвариаптов пение есть уравнение движения которой оставлены неопределенными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций Р4 и г з и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованнои в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.
В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручаюше скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функпии Р = г'з + Гз + Р4 + г з + .... Мы будем искать функционал Р, описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лаграпжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .
В настоящее время нет определенности относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом (В|гк 43].
Он сохравил линейные уравнения для полей, по изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движениеволновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях. Следовательно, мы будем искать полный функционал Г, рз + рз + р 4+ (6.2.1) который определяется из требования того, что результирующее урав- ЮР— = ЛТе, (6.2.2) бйи~ которое автоматически имеет следствием условие на дивергеицию Т"" (6.1.9).
Функционал Р должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному фувкциональному уравнению: (6.2.3) которое мы должны решить. Это в общем случае представляет чрезвычайно трудную задачу, и нет процедуры для получения решений таких уравнений. Мы должны будем положиться на нашу изобретательность в придумывании функционалов, которые есть решения в том смысле, что они удовлетворяют уравнению (6.2.2) при подстановке в него.
Нет единственного общего решения этого уравнения, даже если мы добавим, что для малого значения Ь мы будем выбирать такое решение, главные члены которого Рз и Рз выводятся нами другими методами. Тем не менее, имеется очевидное "наипростейшее" решение (включаюшее наименьшее число производных метрического тензора д„— только две производных).
Мы выбираем это решение. Когда этот выбор сделан, мы придем к теории, которая идентична эйнштейновской. С этого места мы откажемся от венерианской точки зрения и приступим к изучению теории гравитации с земной точки зрения, которая была изложена Эйнштейном. 6.3. Построение инвариантов по отношению к пнфинитезимальным преобразованиям Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала Р.
Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмем скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором А (х) и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим х уравыение, которое выглядит несколько иначе Если функционал Г удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора Ах, тогда этот функпионал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в Лекция 6 6.3. Построение ннвариантов 145 подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к и. Мы получаем, что | ! ( ) [ — (в ( (в~( д !.(,Л(А (*([ =О.
(б.3.2! ЮЬ,, Мы поместили черту под дифференциалом г1т для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы (т и и, происходит чередование индексов, а так как тензор Ь „— симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам (т и и. Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы ымечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре Ь, скажем, пусть Ь „меняется на Ь „+ саа, то величина функционала 5' меняется следующим образом: " 5Ь ог' (6.3.3) аа Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального 5 „и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина г' остается неизменным.
Пусть тензорное поле Ь„„меняется инфинитезимальным преобразованием А" на тензор Ь'„„. Выражаем Ьл„согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам оч и использовать явное выражение для ((ти, Л)): (6.3.4) Положим для удобства — ЛА" = (." и запишем уравнение через дла вместо Ь„„следующим образом: Уаа = Уга + Уа»(,а + У!»(,а + ! 9аа»' ! л л л (6.3.5) См., например, книгу Вебленв [1!ее! 27]. Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функщюнала г' от метрики д„„такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор д„„на тензор 9„'„, функционал Г не меняется в первом порядке малости по (",» при любом ~~(х). Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками», работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венернанские физики, что книги, дающие нам намеки на то, как приступить к решению, являются доступными.
Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат х" = х' + (,». Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.
Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для Е. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна д„, используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е. д""даа = Ж, (6.3.6) где теперь бл — правильный символ Кронекера, который равен 1, если )в = (т, и. нулю, если р, 7Е а.
Обратная к матрице А' = А + В, если  — инфинитезимальна, задается следующим выражением: 1 1 1 1 1 1 1 — = — — —  — + —  —  — —.... А' А А А А А А (6.3.7) Так как вектор (, — ннфинитезнмален, мы можем легко построить » тензор, обратный к тензору д' „, согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7) д!~~ = дад Со,дад СУ „д 1»у да „+ ... (6.3,8) Теперь исследуем кратко один инвариант, хоторый может быть легхо найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведет нас к нашей полной теории.
Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя: Вез А = ехр(Тг1окА). (6.3.9) Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства; » однако для того, чтобы показать, что оно выгля- ! Это равенство квлветск простым следствием из утвержденна о существовании матричного логарифма невыроткденнов матрипы, которое доказано, например, в книгах [Гент бб', Белл тб'). [Прим. перев.) Лекция б 146 147 ~ = | ~,~=~к-,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
